Глава III. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА СТАТИСТИЧЕСКИХ ИСПЫТАНИЙ ДЛЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ

9. Математическая модель

Рассмотренный выше метод статистических испытаний может быть использован для моделирования не только простейших вероятностных схем, но и процессов функционирования различных реальных систем, встречающихся в технологии, организации производства, автоматическом управлении, экономике, планировании, учете и обработке информации.

Моделирование процесса возможно лишь в том случае, если для него построено четкое формальное описание, учитывающее основные закономерности процесса и действующие факторы.

Процесс представляет собой последовательную смену состояний системы во времени. Каждое мгновенное состояние системы описывается набором чисел которые достаточно полно отображают основные свойства системы в данный момент. Очевидно, что в общем случае значения зависят от времени и, следовательно, могут быть выражены как функции времени Эти величины будем называть в дальнейшем характеристиками состояний процесса. Значения можно интерпретировать как координаты точки в -мерном фазовом пространстве. Если рассматривать фазовую координату как функцию времени нетрудно представить фазовую

траекторию как вектор - функцию с составляющими по осям координат

Математическая модель реального процесса есть некоторый математический объект, поставленный в соответствие данному физическому процессу. В дальнейшем под математической моделью будем понимать совокупность соотношений, связывающих характеристики состояний процесса с параметрами системы, исходной информацией и начальными условиями. Это, однако, не означает, что математическая модель состоит только из соотношений, выражающих характеристики состояний процесса как явные функции параметров, начальных условий и исходной информации. В общем случае этого может и не быть. Сущность математической модели заключается в том, что при совместном рассмотрении составляющих ее соотношений характеристики состояний процесса однозначно определяются как функции упомянутых выше аргументов. Однако однозначность (в полном смысле слова) определения характеристик состояний имеет место только для вполне детерминированных процессов, при исследовании которых не учитываются случайные факторы. На практике же чаще всего приходится изучать случайные процессы, характеристики состояний которых описываются случайными функциями времени.

Характеристики состояний процесса могут быть случайными функциями в силу различных обстоятельств: вполне детерминированные системы могут иметь случайные начальные условия или случайные параметры; при вполне детерминированных параметрах и начальных условиях сами процессы также могут быть случайными. Последнее обстоятельство чаще всего объясняется воздействием на элементы системы случайных возмущений, возникающих как внутри, так и вне данной системы. Наиболее распространенной на практике является ситуация, когда сам процесс, начальные условия и параметры описываются случайными функциями. Рассматривая этот наиболее общий случай, будем говорить, что с помощью математической модели однозначно определяется распределение вероятностей для характеристик состояний процесса, если задано распределение вероятностей для начальных условий, параметров системы и возмущений, действующих на ее элементы.

Математическая модель процесса создается в результате его формализации, т. е. четкого формального описания с требуемой степенью приближения к действительности. Создание математической модели — это необходимый этап каждого серьезного исследования процесса. В дальнейшем математическая модель используется для получения общих закономерностей пли конкретных числовых данных, связанных с изучаемым процессом.

Рассмотрим подробнее основные способы использования математической модели, а именно:

1) аналитическое исследование процесса;

2) исследование процесса при помощи численных методов (с применением всех видов вычислительной техники);

3) исследование процесса методом статистического моделирования (моделирования на ЭВМ с учетом и имитацией случайных факторов).

Все упомянутые методы имеют специфические особенности, четко разграничивающие возможные случаи их эффективного применения. Остановимся подробнее на исследовании процесса аналитическими методами.

В общем случае математическая модель в первоначальном виде не может быть использована для аналитического исследования процесса; как правило, требуется предварительное преобразование математической модели в систему соотношений (например, уравнений), пригодную для аналитического исследования. Это преобразование является наиболее существенной и в то же время наиболее трудоемкой частью аналитического исследования. Как правило, аналитический метод дает настолько полную и наглядную картину исследуемого процесса и характеризующих его величин, что к аналитическому исследованию на практике прибегают в первую очередь. Однако преобразование математической модели в удобный для аналитического исследования вид - задача трудная и в большинстве случаев неразрешимая; поэтому воспользоваться аналитическим методом исследования на практике удастся весьма редко.

Исследование процесса при помощи численных методов, по существу, не отличается от аналитического исследования. Интересно только отметить, что класс уравнений, пригодных для решения численными методами,

значительно шире, чем класс уравнений, доступный аналитическому исследованию. Однако исследование процесса с помощью численных методов оказывается, как правило, менее полным по сравнению с аналитическим. В качестве результатов при исследовании процессов численными методами обычно получают таблицы значений искомых величин для конечного набора значений параметров системы. Применение средств вычислительной техники (в том числе и быстродействующих ЭВМ) при данном способе использования математической модели ограничивается лишь автоматизацией вычислений — автоматическим воспроизведением выбранного численного метода.

В этом отношении моделирование процесса на ЭВМ принципиально отличается от исследования его аналитическими или численными методами.

При моделировании процесса на ЭВМ имеет место воспроизведение происходящих явлении с сохранением их логической структуры и расположения во времени. Для моделирования процесса на ЭВМ необходимо, преобразовать его математическую модель в так (Называемый моделирующий алгоритм. Реализация моделирующего алгоритма на ЭВМ является как бы имитацией явлений исследуемого процесса с учетом их взаимодействия. Легко заметить некоторую аналогию между моделированием процесса на ЭВМ и экспериментальным исследованием процесса (в натуре, на макете, лабораторной установке и т. д.). В том и в другом случае последовательно воспроизводятся состояния процесса (при экспериментальном исследовании — физически, при моделировании на ЭВМ — путем вычисления координат наблюдение и фиксация которых в нужные моменты времени позволяют получить сведения, необходимые для исследования процесса.