Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике Глава IV. СТАТИСТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ СИСТЕМ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ13. Понятие системы массового обслуживанияПерейдем теперь к анализу методики моделирования систем некоторого класса, имеющих широкое практическое применение. Для каждого типа реальных систем выбирается своя формализованная схема, способная представить процесс функционирования системы с достаточной для практики точностью. Рассмотрим системы, характеризуемые тем свойством, что они выполняют некоторые операции над объектами, поступающими из внешней среды. В качестве примера рассмотрим работу бензозаправочной станции. На станцию прибыла машина. Если к моменту ее появления имеются свободные бензозаправочные колонки, машина становится на заправку, в противном случае машина ожидает, пока не освободится одна из колонок станции. Процесс работы станции описывается случайными величинами; поток машин, поступающих на станцию, является случайным (машины прибывают в случайные моменты времени), время обслуживания каждой машины тоже величина случайная (в зависимости от количества заправляемого бензина) и, наконец, время ожидания в очереди тоже случайная величина (зависит от количества машин в очереди). Качество обслуживания машин на бензозаправочной станции можно характеризовав средней длиной очереди, средним временем ожидания в очереди или средним временем пребывания машины на станции (с момента прибытия на станцию до момента окончания заправки). Аналогично можно описать работу других реальных систем, например разгрузку пароходов в порту, обслуживание самолетов взлетно - посадочными полосами, обслуживание клиентов в парикмахерских и абонентов на АТС и т. д. Эти системы, различные по своей физической природе, имеют тем не менее сходную структуру процессов функционирования. Все они характеризуются потоком заявок (машин на бензозаправочной станции, самолетов в аэропорту, клиентов в парикмахерских), наличием обслуживающих каналов или линий (бензозаправочных колонок, взлетно - посадочных полос, мастеров в парикмахерской). Для формального описания систем такого типа существуют специально разработанные математические схемы, которые получили название систем массового обслуживания. Основными процессами в системах массового обслуживания являются процесс поступления заявок и процесс собственно обслуживания заявок каналами (линиями) системы. Остановимся кратко на характеристике этих процессов. Заявки, поступающие в систему, образуют поток, т. е. последовательность событий, специальным образом расположенных во времени. Если с точки зрения обслуживания все заявки данного потока равноправны, то такой поток называют потоком однородных событий. В этом случае каждое событие характеризуется только моментом времени Чтобы описать детерминированный поток, достаточно задать набор конкретных значений Для описания случайных потоков однородных событий задается совместный закон распределения случайных величин Как правило,
Совокупность случайных величин Важным классом потоков однородных событий, имеющих многочисленные применения, являются стационарные ординарные потоки с ограниченным последствием (так называемые потоки Пальма). Случайный Обычно потоки Пальма задаются функцией плотности Прежде чем перейти к рассмотрению соответствующей формулы, введем понятие интенсивности потока. Математическое ожидание при
Здесь
носит название интенсивности потока и определяет среднее количество заявок, поступающих за единицу времени. Для стационарных потоков с ограниченным последействием имеет место соотношение (формула Пальма), связывающее функции плотности
Это соотношение и позволяет получить функцию плотности Случайный поток однородных событий с ограниченным последействием может быть потоком без последействия, если закон распределения оставшейся части интервала времени между заявками не зависит от того, сколько этот интервал уже длится. В практике применения теории массового обслуживания важную роль играет так называемый простейший поток однородных событий. Поток называется простейшим, если он является стационарным, ординарным и потоком без последействия. Для простейшего потока вероятность
поэтому простейший поток часто называют пауссоновским. Функция плотности
где До сих пор мы рассматривали только ординарные потоки. На практике встречаются случаи обслуживания групповых заявок, образующих «сгустки» событий. Для того чтобы описать неординарный поток, необходимо, кроме момента поступления заявки Рассмотрев методику математического описания потоков однородных событий, перейдем к изучению процессов обслуживания заявок. В общем случае система массового обслуживания состоит из линий (каналов), способных параллельно и независимо друг от друга обслуживать поступающие в систему заявки. Каждая линия может находиться в двух состояниях: линия свободна или занята. Поступившая в систему заявка при наличии свободных линий принимается к обслуживанию, в противном случае заявка ожидает некоторое время В зависимости от величины 1. Система с ожиданием 2. Система с отказами 3. Система смешанного типа (отоо). Это наиболее распространенный тип систем массового обслуживания. Поступившая заявка ожидает обслуживания некоторое время, а затем получает отказ и уходит из системы. Кроме времени ожидания Обычно Остановимся теперь на возможных видах дисциплины очереди и порядка обслуживания заявок. Заявки, ожидающие в очереди, занимают освободившуюся линию в соответствии со следующими возможными правилами: 1) линию занимает заявка, которая раньше других поступила в систему; 2) линию занимает заявка, для которой оставшееся время пребывания в системе наименьшее; 3) заявки принимаются к обслуживанию в случайном порядке; в простейшем случае, если имеется одна свободная линия и в более общем случае В системах массового обслуживания встречается обслуживание с преимуществом. Каждой заявке, поступившей в систему, присваивается некоторый коэффициент преимущества. С учетом этого обстоятельства к обслуживанию принимается та заявка, коэффициент преимущества которой наибольший. Возможны случаи, когда запятая линия прекращает обслуживание заявки, если в систему поступает заявка с большим коэффициентом преимущества, причем в некоторых случаях недообслуженная заявка получает отказ и уходит из системы, а для других — после обслуживания заявки с преимуществом линия возвращается на дообслуживание прежней заявки. Мы рассмотрели ситуации, для которых характерна очередь заявок. На практике встречаются также случаи очереди линий, т. е. поступившая в систему заявка находит свободные линии и занимает одну из них в соответствии со специальными правилами, аналогичными правилам для очереди заявок (в порядке освобождения линий, в случайном порядке, с учетом равномерной загрузки линий и т. д.). Для удобства изучения реальный (процесс обслуживания можно представить в виде последовательности различных фаз. Это равносильно расчленению системы на автономные агрегаты таким образом, чтобы последующий агрегат мог приступить к обслуживанию заявки лишь после того, как работа предыдущего агрегата с данной заявкой полностью закончена. Примером трехфазной системы может служить обслуживание покупателей в магазине: первая фаза — выбор товаров и выписывание чека, вторая фаза — оплата чека в кассе, третья фаза — получение покупки в отделе контроля и выдачи покупок. Более сложным примером многофазного обслуживания может быть технологический процесс, связанный с обработкой деталей на многостаночной линии. Деталь не может быть принята к обслуживанию Итак, мы рассмотрели наиболее распространенные виды процессов функционирования систем массового обслуживания. В заключение необходимо сказать несколько слов об искомых величинах при решении задач, связанных с системами массового обслуживания. Для систем с отказами наиболее характерными показателями качества обслуживания является средняя доля отказов
Кроме средней доли отказов, для характеристики качества обслуживания часто пользуются вероятностью того, что за время Для систем с ожиданием характеристиками качества обслуживания обычно являются среднее время ожидания, среднее количество заявок в очереди и т. д. Качество обслуживания системами смешанного типа характеризуется как средней долей отказов (или вероятностью того, что за данный промежуток времени все заявки будут обслужены), так и средним временем ожидания (средним количеством заявок в очереди).
|
1 |
Оглавление
|