Глава IV. СТАТИСТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ СИСТЕМ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ

13. Понятие системы массового обслуживания

Перейдем теперь к анализу методики моделирования систем некоторого класса, имеющих широкое практическое применение.

Для каждого типа реальных систем выбирается своя формализованная схема, способная представить процесс функционирования системы с достаточной для практики точностью.

Рассмотрим системы, характеризуемые тем свойством, что они выполняют некоторые операции над объектами, поступающими из внешней среды.

В качестве примера рассмотрим работу бензозаправочной станции. На станцию прибыла машина. Если к моменту ее появления имеются свободные бензозаправочные колонки, машина становится на заправку, в противном случае машина ожидает, пока не освободится одна из колонок станции.

Процесс работы станции описывается случайными величинами; поток машин, поступающих на станцию, является случайным (машины прибывают в случайные моменты времени), время обслуживания каждой машины тоже величина случайная (в зависимости от количества заправляемого бензина) и, наконец, время ожидания в очереди тоже случайная величина (зависит от количества машин в очереди). Качество обслуживания машин на бензозаправочной станции можно характеризовав средней длиной очереди, средним временем

ожидания в очереди или средним временем пребывания машины на станции (с момента прибытия на станцию до момента окончания заправки).

Аналогично можно описать работу других реальных систем, например разгрузку пароходов в порту, обслуживание самолетов взлетно - посадочными полосами, обслуживание клиентов в парикмахерских и абонентов на АТС и т. д. Эти системы, различные по своей физической природе, имеют тем не менее сходную структуру процессов функционирования. Все они характеризуются потоком заявок (машин на бензозаправочной станции, самолетов в аэропорту, клиентов в парикмахерских), наличием обслуживающих каналов или линий (бензозаправочных колонок, взлетно - посадочных полос, мастеров в парикмахерской). Для формального описания систем такого типа существуют специально разработанные математические схемы, которые получили название систем массового обслуживания.

Основными процессами в системах массового обслуживания являются процесс поступления заявок и процесс собственно обслуживания заявок каналами (линиями) системы. Остановимся кратко на характеристике этих процессов.

Заявки, поступающие в систему, образуют поток, т. е. последовательность событий, специальным образом расположенных во времени. Если с точки зрения обслуживания все заявки данного потока равноправны, то такой поток называют потоком однородных событий. В этом случае каждое событие характеризуется только моментом времени в который оно поступает.

Чтобы описать детерминированный поток, достаточно задать набор конкретных значений

Для описания случайных потоков однородных событий задается совместный закон распределения случайных величин

Как правило, целесообразно заменять величинами являющимися длинами интервалов времени между моментами поступления заявок:

Совокупность случайных величин задается совместным законом распределения вероятностей.

Важным классом потоков однородных событий, имеющих многочисленные применения, являются стационарные ординарные потоки с ограниченным последствием (так называемые потоки Пальма). Случайный называется ординарным, если вероятность появления двух и более событий за промежуток времени для любого является величиной малой по сравнению с I. Случайный поток называется потоком с ограниченным последействием, если интервалы между моментами поступления заявок есть независимые случайные величины. В этом случае каждый интервал можсг быть задан своей функцией плотности Поток однородных событий называется стационарным, если его вероятностный режим не зависит от времени, т. е. все интервалы между заявками имеют одинаковое распределение за исключением, быть может, первого интервала Для функция плотности равная является условной функцией плотности при условии, что в начальный момент интервала поступила предыдущая заявка. Первый интервал отличается от при тем, что относительно поступления или непоступления заявки в момент никаких предположений не делается. Поэтому представляет собой безусловную функцию плотности.

Обычно потоки Пальма задаются функцией плотности при Функция плотности может быть найдена через

Прежде чем перейти к рассмотрению соответствующей формулы, введем понятие интенсивности потока.

Математическое ожидание при равно:

Здесь — средняя длина интервала между последовательными заявками. Величина

носит название интенсивности потока и определяет среднее количество заявок, поступающих за единицу времени.

Для стационарных потоков с ограниченным последействием имеет место соотношение (формула Пальма), связывающее функции плотности

Это соотношение и позволяет получить функцию плотности по

Случайный поток однородных событий с ограниченным последействием может быть потоком без последействия, если закон распределения оставшейся части интервала времени между заявками не зависит от того, сколько этот интервал уже длится. В практике применения теории массового обслуживания важную роль играет так называемый простейший поток однородных событий.

Поток называется простейшим, если он является стационарным, ординарным и потоком без последействия. Для простейшего потока вероятность наступления событий за интервал времени длины выражается законом распределения Пауссона.

поэтому простейший поток часто называют пауссоновским.

Функция плотности случайной величины при для простейшего потока имеет вид показательного распределения с параметром X:

где —интенсивность потока. Другие примеры потоков Пальма мы рассмотрим в следующем параграфе.

До сих пор мы рассматривали только ординарные потоки. На практике встречаются случаи обслуживания групповых заявок, образующих «сгустки» событий. Для того чтобы описать неординарный поток, необходимо, кроме момента поступления заявки задать распределение количества заявок для каждого момента

Рассмотрев методику математического описания потоков однородных событий, перейдем к изучению процессов обслуживания заявок.

В общем случае система массового обслуживания состоит из линий (каналов), способных параллельно и независимо друг от друга обслуживать поступающие в систему заявки.

Каждая линия может находиться в двух состояниях: линия свободна или занята. Поступившая в систему заявка при наличии свободных линий принимается к обслуживанию, в противном случае заявка ожидает некоторое время после чего получает отказ и уходит из системы.

В зависимости от величины системы можно разделить на три группы:

1. Система с ожиданием Поступившая заявка терпеливо ожидает возможности быть обслуженной до тех пор, пока эта возможность ей не представляется (например, разгрузка пароходов, прибывших порт назначения, и др.).

2. Система с отказами При невозможности быть принятой к обслуживанию немедленно (все линии заняты) заявка получает отказ и уходит из системы (например, автоматическая телефонная станция: если требуемый номер занят — мы слышим короткие гудки).

3. Система смешанного типа (отоо). Это наиболее распространенный тип систем массового обслуживания. Поступившая заявка ожидает обслуживания некоторое время, а затем получает отказ и уходит из системы.

Кроме времени ожидания для характеристики свойств обслуживающей системы обычно вводится величина — длительность обслуживания заявки или время занятости линии.

Обычно оказываются случайными и задаются соответствующими законами распределения, однако возможны случаи, когда они считаются фиксированными.

Остановимся теперь на возможных видах дисциплины очереди и порядка обслуживания заявок. Заявки, ожидающие в очереди, занимают освободившуюся линию в соответствии со следующими возможными правилами: 1) линию занимает заявка, которая раньше других поступила в систему; 2) линию занимает заявка, для которой оставшееся время пребывания в системе наименьшее; 3) заявки принимаются к обслуживанию в случайном порядке; в простейшем случае, если имеется одна свободная линия и ожидающих заявок, то вероятность быть принятой к обслуживанию для каждой заявки

в более общем случае вычисляется с учетом оставшегося времени ожидания и т. д.

В системах массового обслуживания встречается обслуживание с преимуществом. Каждой заявке, поступившей в систему, присваивается некоторый коэффициент преимущества. С учетом этого обстоятельства к обслуживанию принимается та заявка, коэффициент преимущества которой наибольший. Возможны случаи, когда запятая линия прекращает обслуживание заявки, если в систему поступает заявка с большим коэффициентом преимущества, причем в некоторых случаях недообслуженная заявка получает отказ и уходит из системы, а для других — после обслуживания заявки с преимуществом линия возвращается на дообслуживание прежней заявки.

Мы рассмотрели ситуации, для которых характерна очередь заявок. На практике встречаются также случаи очереди линий, т. е. поступившая в систему заявка находит свободные линии и занимает одну из них в соответствии со специальными правилами, аналогичными правилам для очереди заявок (в порядке освобождения линий, в случайном порядке, с учетом равномерной загрузки линий и т. д.).

Для удобства изучения реальный (процесс обслуживания можно представить в виде последовательности различных фаз. Это равносильно расчленению системы на автономные агрегаты таким образом, чтобы последующий агрегат мог приступить к обслуживанию заявки лишь после того, как работа предыдущего агрегата с данной заявкой полностью закончена. Примером трехфазной системы может служить обслуживание покупателей в магазине: первая фаза — выбор товаров и выписывание чека, вторая фаза — оплата чека в кассе, третья фаза — получение покупки в отделе контроля и выдачи покупок. Более сложным примером многофазного обслуживания может быть технологический процесс, связанный с обработкой деталей на многостаночной линии. Деталь не может быть принята к обслуживанию агрегатом (станком), пока не будет закончена вся работа, связанная с агрегатом (станком).

Итак, мы рассмотрели наиболее распространенные виды процессов функционирования систем массового обслуживания. В заключение необходимо сказать несколько

слов об искомых величинах при решении задач, связанных с системами массового обслуживания.

Для систем с отказами наиболее характерными показателями качества обслуживания является средняя доля отказов за время . Эта величина определяется следующим образом. Количество заявок, поступивших на обслуживание за время обозначим среднее количество отказов за то же время — тогда

Кроме средней доли отказов, для характеристики качества обслуживания часто пользуются вероятностью того, что за время не будет ни одного отказа

Для систем с ожиданием характеристиками качества обслуживания обычно являются среднее время ожидания, среднее количество заявок в очереди и т. д.

Качество обслуживания системами смешанного типа характеризуется как средней долей отказов (или вероятностью того, что за данный промежуток времени все заявки будут обслужены), так и средним временем ожидания (средним количеством заявок в очереди).