3. Кратные интегралы

Рассмотрим приемы вычисления интеграла методом статистических испытаний с точки зрения целесообразности их применения для вычисления многократных интегралов.

Методику подхода к вычислению многократных интегралов проследим на примере интеграла

по ограниченной замкнутой области заключенной внутри - мерного параллелепипеда

Заменой переменных

приведем интеграл (1.23) к виду

где

Область интегрирования целиком заключена внутри -мерного единичного куба.

Для вычисления интеграла применим уже изложенный метод (см. стр. 12). Изменением масштаба по оси преобразуем вычисляемый интеграл

где — минимальное, максимальное значение по области со.

и

где

Будем рассматривать вычисляемый интеграл как некоторый объем в -мерном пространстве:

Координаты случайной точки в этом пространстве имеют вид совокупности случайных чисел

равномерно распределенных в интервале (0,1). Проведем N испытаний, состоящих в заполнении - мерного единичного куба равномерно распределенными случайными точками. Будем проверять принадлежность этих точек объему V посредством неравенства

аналогичного неравенству (1.2). По окончании эксперимента получим искомый объем

Вычисляя интеграл (1.23) как среднее значение функции, поступаем следующим образом. Выбираем последовательность чисел

равномерно распределенных в интервале (0,1), причем точки не принадлежащие области со, в расчет не принимаются. Получив N точек принадлежащих области , вычисляем среднее значение

функции по области . Затем определяем значение интеграла (1.23)

где — объем области