7. Приближенные способы преобразования случайных чисел

Рассмотренная процедура моделирования случайной величины с заданным законом распределения с помощью равномерно распределенной случайной величины, имеет существенные недостатки, препятствующие широкому применению этого метода на практике. Это обстоятельство послужило толчком для создания различных способов приближенного моделирования.

Существуют способы, пригодные только для моделирования случайных величин с конкретными законами распределения, существуют также универсальные способы, с помощью которых возможно моделировать законы распределения любого вида.

Приведем один из таких универсальных способов. Пусть закон распределения случайной величины предложенной нам для моделирования, задай функцией плотности , возможные значения которой лежат в интервале Если это интервал с бесконечными границами, целесообразно перейти к усеченному распределению. Представим на участке в виде кусочно - постоянной функции (см. рис. 6), т. е. разобьем на интервалов и будем считать на каждом

Рис. 6.

интервале постоянной; тогда случайную величину можно представить в виде

т. е. на каждом участке величина считается распределенной равномерно. Чтобы аппроксимировать наиболее удобным способом, целесообразно разбить на интервалы таким образом, чтобы вероятность попадания случайной величины в любой интервал была постоянной, т. е. не зависела от номера интервала

Для вычисления пользуются следующим соотношением:

где — количество интервалов (обычно принимается равным где — целое положительное число).

Процедура моделирования предполагает следующее:

1) выбирается случайное равномерно распределенное число

2) с помощью случайным образом выбирается интервал

3) берется следующее равномерно распределенное число 1 и масштабируется с целью приведения его к интервалу становится случайной величиной, равномерно распределенной в интервале

Случайное число с требуемым законом распределения вычисляем по формуле

Интересно несколько подробнее рассмотреть процесс выборки интервала с помощью Как известно, случайное число получается на машине в виде последовательности нулей и единиц. Если число интервалов равно то количество всевозможных комбинаций нулей и единиц -разрядного двоичного числа даст нам количество интервалов т. е. каждому интервалу можно поставить в соответствие одну и только одну комбинацию нулей и единиц -разрядного

двоичного числа. Это обстоятельство сильно упрощает методику выбора интервала

Каждый интервал кодируется -разрядным двоичным числом, и результаты заносятся в специальную таблицу.

В эту же таблицу заносятся значения — коэффициента масштабирования.

Таким образом, выделив разрядов мы сразу определяем номер интервала

Для реализации изложенного метода приближенного моделирования случайных величин на ЭВМ требуется небольшое количество операций; кроме того, количество операций не зависит от точности аппроксимации (т. е. от количества интервалов Точность аппроксимации влияет только на размеры участка памяти, куда помещается таблица закодированных значений Этим способом преобразования случайных чисел широко пользуются в практике статистического моделирования.

Небезынтересны также способы получения случайных чисел с заданным законом распределения, основанные на использовании предельных теорем теории вероятностей. В качестве примера рассмотрим способ получения случайных чисел с нормальным законом распределения, весьма часто встречающийся при решении практических задач.

В силу центральной предельной теоремы теории вероятностей сумма большого числа одинаково распределенных независимых случайных величин при весьма общих условиях имеет приближенно нормальное распределение.

Пусть случайные величины, имеющие равномерное распределение в интервале (0,1). Тогда

оказывается случайной величиной с распределением, близким к нормальному, при больших

Как известно, математическое ожидание (среднее значение) случайной величины

а среднее квадратическое отклонение

Поэтому математическое ожидание а суммы

а среднее квадратическое отклонение

Процедура формирования случайных чисел с нормальным распределением, имеющим сводится к следующему:

1) выбираются последовательных случайных чисел

2) вычисляется сумма

3) определяется случайное число

имеющее приближенно нормальное распределение со средним значением, равным 0, и дисперсией —1. Как показывает опыт, для решения практических задач можно пользоваться