Главная > Метод статистического моделирования
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

8. Моделирование случайных векторов

При решении задач методом статистических испытаний нередко возникает необходимость в формировании возможных значений или, как иногда говорят, реализаций случайных векторов.

Случайный вектор можно задать проекциями на оси координат, причем эти проекции являются случайными

величинами, описываемыми совместным законом распределения. В простейшем случае, когда рассматривается случайный вектор на плоскости необходимо задать совместный закон распределения его проекций на оси X и Y соответственно.

Предположим сначала, что двумерная случайная величина является дискретной и ее составляющая принимает возможные значения составляющая — значения причем каждой паре соответствует вероятность При этих предположениях можно найти частное распределение случайной величины , а именно: каждому возможному значению случайной величины будет соответствовать вероятность

Теперь по правилам, рассмотренным в § 6 (см. (2.8), (2.9) и др.), можно определить конкретное значение случайной величины в соответствии с распределением вероятностей (2.32). Пусть это будет Тогда из всех значений выберем совокупность

которая описывает условное распределение случайной величины при условии, что . Затем по тем же правилам определим конкретное значение (пусть оно равно ) случайной величины в соответствии с распределением вероятностей (2.33). Полученная пара и будет первой реализацией моделируемого случайного вектора. Далее аналогичным способом определяем возможное значение в соответствии с распределением (2.32), выбираем совокупность

и находим в соответствии с распределением вероятностей (2.34) и т. д.

Процедура моделирования не претерпевает принципиальных изменений и в том случае, когда речь идет о моделировании непрерывного случайного вектора. В этом случае двумерная случайная величина описывается совместной функцией плотности Частная

функция плотности случайной величины может быть определена в соответствии с соотношением, аналогичным (2.32), а именно:

Имея функцию плотности можно найти случайное число (пусть это будет по правилам, рассмотренным в § 7. Затем определяется условное распределение случайной величины при условии, что

В соответствии с функцией плотиости (2.36) можно определить случайное число (пусть это будет Тогда пара и является искомой реализацией вектора

Рассматриваемый метод формирования реализаций случайных векторов в принципе обобщается на случай пространства любого числа измерений многомерные случайные величины). Однако при больших объем вычислений существенно возрастает и может служить серьезным препятствием для практической работы.

Процедура формирования реализаций случайного вектора значительно упрощается и становится менее громоздкой в том случае, когда многомерная случайная 4 величина задается в рамках корреляционной теории (при помощи корреляционной матрицы).

Остановимся кратко на трехмерном случае. Пусть требуется сформировать реализации трехмерного случайного вектора , имеющего нормальное распределение с математическими ожиданиями

и корреляционной матрицей

Здесь дисперсии случайных величин I, Л и соответственно, корреляционные моменты соответственно.

Будем предполагать, что в нашем распоряжении имеются случайные числа имеющие одномерное нормальное распределение с математическим ожиданием и дисперсией Способы формирования случайных чисел, обладающих такими свойствами, мы уже рассматривали.

Выберем три числа, скажем и преобразуем их так, чтобы они имели характеристики (2.37) и (2.38).

Искомые составляющие случайного вектора обозначим и представим в виде:

где — пока неизвестные нам коэффициенты. Для вычисления коэффициентов воспользуемся элементами корреляционной матрицы. По определению

поэтому

Аналогично, поскольку при (случайные величины независимы между собой):

Соотношения (2.40) и 2.41) представляют собой систему уравнений относительно коэффициентов Решив эту систему уравнений, найдем:

Располагая коэффициентами легко три последовательных независимых случайных числа преобразовать в составляющие случайного вектора вида (2.39).

На этом мы закончим рассмотрение приемов моделирования элементарных вероятностных схем при помощи случайных чисел. Аналогичные приемы могут быть разработаны и для других случаев, встречающихся при решении практических задач.

Categories

1
Оглавление
email@scask.ru