8. Моделирование случайных векторов

При решении задач методом статистических испытаний нередко возникает необходимость в формировании возможных значений или, как иногда говорят, реализаций случайных векторов.

Случайный вектор можно задать проекциями на оси координат, причем эти проекции являются случайными

величинами, описываемыми совместным законом распределения. В простейшем случае, когда рассматривается случайный вектор на плоскости необходимо задать совместный закон распределения его проекций на оси X и Y соответственно.

Предположим сначала, что двумерная случайная величина является дискретной и ее составляющая принимает возможные значения составляющая — значения причем каждой паре соответствует вероятность При этих предположениях можно найти частное распределение случайной величины , а именно: каждому возможному значению случайной величины будет соответствовать вероятность

Теперь по правилам, рассмотренным в § 6 (см. (2.8), (2.9) и др.), можно определить конкретное значение случайной величины в соответствии с распределением вероятностей (2.32). Пусть это будет Тогда из всех значений выберем совокупность

которая описывает условное распределение случайной величины при условии, что . Затем по тем же правилам определим конкретное значение (пусть оно равно ) случайной величины в соответствии с распределением вероятностей (2.33). Полученная пара и будет первой реализацией моделируемого случайного вектора. Далее аналогичным способом определяем возможное значение в соответствии с распределением (2.32), выбираем совокупность

и находим в соответствии с распределением вероятностей (2.34) и т. д.

Процедура моделирования не претерпевает принципиальных изменений и в том случае, когда речь идет о моделировании непрерывного случайного вектора. В этом случае двумерная случайная величина описывается совместной функцией плотности Частная

функция плотности случайной величины может быть определена в соответствии с соотношением, аналогичным (2.32), а именно:

Имея функцию плотности можно найти случайное число (пусть это будет по правилам, рассмотренным в § 7. Затем определяется условное распределение случайной величины при условии, что

В соответствии с функцией плотиости (2.36) можно определить случайное число (пусть это будет Тогда пара и является искомой реализацией вектора

Рассматриваемый метод формирования реализаций случайных векторов в принципе обобщается на случай пространства любого числа измерений многомерные случайные величины). Однако при больших объем вычислений существенно возрастает и может служить серьезным препятствием для практической работы.

Процедура формирования реализаций случайного вектора значительно упрощается и становится менее громоздкой в том случае, когда многомерная случайная 4 величина задается в рамках корреляционной теории (при помощи корреляционной матрицы).

Остановимся кратко на трехмерном случае. Пусть требуется сформировать реализации трехмерного случайного вектора , имеющего нормальное распределение с математическими ожиданиями

и корреляционной матрицей

Здесь дисперсии случайных величин I, Л и соответственно, корреляционные моменты соответственно.

Будем предполагать, что в нашем распоряжении имеются случайные числа имеющие одномерное нормальное распределение с математическим ожиданием и дисперсией Способы формирования случайных чисел, обладающих такими свойствами, мы уже рассматривали.

Выберем три числа, скажем и преобразуем их так, чтобы они имели характеристики (2.37) и (2.38).

Искомые составляющие случайного вектора обозначим и представим в виде:

где — пока неизвестные нам коэффициенты. Для вычисления коэффициентов воспользуемся элементами корреляционной матрицы. По определению

поэтому

Аналогично, поскольку при (случайные величины независимы между собой):

Соотношения (2.40) и 2.41) представляют собой систему уравнений относительно коэффициентов Решив эту систему уравнений, найдем:

Располагая коэффициентами легко три последовательных независимых случайных числа преобразовать в составляющие случайного вектора вида (2.39).

На этом мы закончим рассмотрение приемов моделирования элементарных вероятностных схем при помощи случайных чисел. Аналогичные приемы могут быть разработаны и для других случаев, встречающихся при решении практических задач.