6. Получение случайных чисел с заданным законом распределения

Случайные числа (квазиравномерные и псевдослучайные с равномерным законом распределения), хотя и являются равномерными лишь приближенно, могут быть использованы в качестве исходного материала для получения любых вероятностных объектов.

Такими вероятностными объектами в первую очередь являются случайные события, наступающие с заданной вероятностью, случайные величины с заданным законом распределения и некоторые виды случайных векторов и процессов.

Посмотрим, как можно моделировать с помощью случайных равномерно распределенных чисел случайные события, наступающие с заданной вероятностью. Эту процедуру называют еще «реализацией жребия». Пусть событие А наступает с вероятностью р, тогда процедура моделирования этого события с помощью равномерно распределенных в интервале (0,1) случайных чисел выглядит следующим образом:

1) выбирается очередное случайное число

2) проверкой неравенства

устанавливается принадлежность этого числа отрезку

Если число удовлетворяет неравенству (2.4), говорят, что событие А наступило, в противном случае — не наступило.

Аналогично выглядит процедура моделирования на ЭВМ дискретной случайной величины с заданным законом распределения.

Пусть случайная величина принимает возможные значения с вероятностями

Очевидно, что значение будет принято случайной величиной в том случае, когда выполняется неравенство, аналогичное неравенству (2.4)

(наступает событие, состоящее в том, что значение когда

(наступает событие, состоящее в том, что ) значение — когда

(наступает событие, состоящее в том, что ) и т. д.

Другими словами, пусть

Тогда, если

наступает событие, состоящее в том, что

Процедура реализации этого способа моделирования дискретной случайной величины на ЭВМ сводится к следующему. Вырабатываем случайные числа с равномерным распределением в интервале (0,1). Очередное сравниваем с если неравенство (2.5) выполнено, считаем, что в противном случае переходим к 12. Сравниваем с если неравенство (2.6) выполнено, считаем, что в противном случае переходим к и т. д. до тех пор, пока одно из неравенств вида (2.9) окажется выполненным. Эта процедура всегда рано или поздно приводит к цели, так как событие, состоящее в в том, что случайная величина принимает какое-нибудь из своих значений является достоверным.

Перейдем к рассмотрению метода моделирования непрерывных случайных величин. Пусть по-прежнему в нашем распоряжении имеются случайные числа с равномерным распределением в интервале (0,1). Требуется получить случайные числа являющиеся возможными значениями случайной величины с законом распределения, заданным функцией плотности

Можно доказать, (см., например [9]), что случайная величина являющаяся решением уравнения

имеет распределение , если случайная величина I распределена равномерно в интервале (0,1).

Соотношением (2.10) можно воспользоваться для получения случайных чисел с заданным законом распределения.

Методику преобразования случайных чисел поясним на примерах.

Пример 1. Предположим, что нам необходимо получить случайные числа с показательным распределением

Используем соотношение (2.10)

Интеграл (2.12) берется в конечном виде, поэтому

Решим уравнение (2.13) относительно

Соотношение (2.14) полностью решает поставленную задачу. Заметим, что случайное число имеет также равномерное распределение в интервале (0,1). Поэтому вместо (2.14) обычно пользуются соотношением

Подставляя в правую часть соотношения (2.15) последовательно случайные числа мы получим последовательность чисел с показательным законом распределения.

Пример 2. Случайная величина имеет функцию плотности

Располагая случайными числами имеющими равномерное распределение в интервале (0,1), требуется получить случайные числа с законом распределения, который выражается функцией плотности (2.16).

Соотношение (2.10) имеет вид:

После вычисления интеграла

Решив уравнение (2.18) относительно получим

или, с учетом замечания, относящегося к соотношению (2.14):

Можно привести и другие примеры использования соотношения (2.10). Однако приходится признать, что практически изложенная методика имеет весьма ограниченную сферу применения. Это объясняется следующими двумя обстоятельствами.

Во-первых, для многих законов распределения, встречающихся в практических задачах, интеграл (2.10) в конечном виде не берется. Например, для нормального распределения (закона Гаусса)

соотношение (2.10) приводит к интегралу

который можно вычислить только численными методами. Это приводит к недопустимо большим затратам машинных операций на преобразование случайных чисел.

Во-вторых, даже для тех случаев, когда соответствующие интегралы берутся в конечном виде, получаются формулы, например (2.15), (2.20) и др., весьма неудобные для расчета на ЭВМ. Причина в том, что вычисление логарифмов, корней и других элементарных функций на ЭВМ выполняется при помощи стандартных программ, состоящих из многих исходных операций машины (сложение, умножение и т. д.). Учитывая, что применение метода статистических испытаний требует большого количества случайных чисел, естественно, возникает опасность существенных затрат машинного

времени. Поэтому на практике обычно пользуются приближенными методами преобразования случайных чисел, обеспечивающими достаточную экономию операций ЭВМ.