2. Попадание случайной величины в заданный интервал. Среднее значение функции до случайной величины

В дальнейшем мы будем различать дискретные и непрерывные случайные величины. Дискретная случайная величина может принимать лишь конечное или счетное множество возможных значений Каждому

возможному значению ставится в соответствие его вероятность Зависимость вида

будем называть законом распределения дискретной случайной величины. При исследовании дискретных случайных величин пользуются также функцией распределения которая при каждом равна вероятности того, что

Если известен закон распределения всегда можно определить функцию распределения

и, наоборот, по заданной функции распределения можно найти закон распределения

Кроме дискретных случайных величин рассматриваются случайные величины, возможные значения которых сплошь заполняют соответствующие интервалы на числовой оси. Такая случайная величина характеризуется функцией распределения, которая определяется также, как и для дискретных случайных величин; при каждом функция распределения

Во многих случаях функция распределения оказывается дифференцируемой. Если существует производная

случайная величина называется непрерывной, а функция -функцией плотности вероятностей случайной величины Очевидно, что

Рассмотрим случайную величину возможные значения которой принадлежат некоторому интервалу на оси Закон распределения этой случайной величины задан функцией плотности Вычислим вероятность попадания случайной величины внутрь полуинтервала целиком лежащего в вышеуказанном интервале на оси ОХ.

Из теории вероятностей известно (см. [5]), что

Для решения этой задачи воспользуемся методом статистических испытаний.

Легко видеть, что в данном случае применима уже изложенная нами процедура вычисления интеграла вида (1.9). Однако мы рассмотрим другой вариант метода статистических испытаний. Предположим, что в нашем распоряжении имеются случайные числа закон распределения которых описывается функцией плотности Поскольку случайные числа можно рассматривать как возможные значения случайной величины искомая вероятность приближенно (при достаточно большом числе испытаний равна частоте попадания случайных чисел в полуинтервал

где — количество случайных чисел, удовлетворяющих неравенству

при N испытаниях.

Другими словами, в условиях данной задачи

Процедура вычисления интеграла на ЭВМ следующая:

1. Из множества случайных чисел с законом распределения выбираем значение

сравниваем с граничными значениями полуинтервала выполнение неравенства отмечаем признаком невыполнение

3. Полученное значение признака со прибавляем к количеству случайных чисел, попавших внутрь полуинтервала

4. К содержимому счетчика количества испытаний N прибавляется единица.

5. Управление передается снова первой операции.

Проведя N таких испытаний, вычисляем значение частоты

Нетрудно заметить, что рассмотренный второй вариант подхода к вычислению интеграла

существенным образом отличается от первого варианта (см. стр. 14) подхода. Так, в первом варианте для реализации каждого испытания были необходимы два случайных числа Кроме того, требовалось вычисление подынтегральной функции для каждого значения случайной величины что, вообще говоря, может быть связано со значительным объемом вычислений. С другой стороны, первый способ является более общим случаем вычисления интеграла; этот способ пригоден для подынтегральных функций весьма широкого класса, тогда как второй способ предполагает, что подынтегральная функция является функцией плотности некоторой случайной величины, что накладывает на нее определенные ограничения. Первый способ оперирует с равномерно распределенной случайной величиной, которую легко получить на ЭВМ, тогда как рассмотренный здесь требует специального преобразования равномерного распределения в заданное.

Перечисленные отличия разграничивают классы задач, которые удобно решать тем или другим способом. Так, первым способом широко пользуются для вычисления многократных интегралов, в то время как второй способ находит применение при моделировании сложных систем методом статистических испытаний.

Перейдем к рассмотрению еще одной разновидности применения метода статистических испытаний для вычисления интегралов.

Пусть — случайная величина, возможные значения которой принадлежат отрезку -функция плотности этой случайной величины. Рассмотрим непрерывную функцию Из теории вероятностей известно (см. [5]), что среднее значение, или математическое ожидание функции равно

Воспользуемся методом статистических испытаний для вычисления интегралов вида (1.13). Из совокупности возможных значений случайной величины выберем последовательность и вычислим значения причем не принадлежащие отрезку в расчет не принимаются. При достаточно больших N среднее арифметическое весьма близко к математическому ожиданию случайной величины. Поэтому в качестве приближенного значения для интеграла (1.13) может быть взято среднее арифметическое

Как осуществить это практически? Пусть перед нами стоит задача вычислить

Выберем некоторый закон распределения для которого имеется удобный способ получения случайных чисел и областью определения которого является интервал Преобразуем подынтегральную функцию следующим образом:

Если теперь обозначить

то интеграл примет вид

и может быть вычислен при помощи метода статистических испытаний.

В частном случае, если а и конечны или их можно считать конечными приближенно, в качестве целесообразно выбрать равномерный закон распределения.

Как известно (см. [5]), плотность вероятности равномерного закона распределения в интервале равна:

Подставим в интеграл (1.16) значение из формулы (1.19)

и рассмотрим процедуру вычисления, описанную выше, для общего случая в связи с равенством (1.14).

Из множества равномерно распределенных случайных чисел выбирается Для каждого значения вычисляется затем вычисляется среднее значение

функции в интервале Таким образом, величина интеграла (1.20) может быть представлена следующей формулой

На рис. 5 видно, что площадь под кривой заменяется площадью прямоугольника с основанием и высотой, равной среднему значению функции на отрезке

Рис. 5.

Рассмотренный частный случай находит широкое применение для вычисления интегралов методом статистического моделирования в силу того, что границы области определения легко могут быть приведены к пределам интегрирования