19. Описание потока автомобилей

Для решения задач, связанных с исследованием процесса автомобильного движения, поток автомобилей необходимо рассматривать как случайный поток с заданными характеристиками.

Моменты появления автомобилей на дороге (в точке А или в точке В) мы будем представлять как случайный поток однородных событий (в смысле теории массового обслуживания. Исходя из характера движения автомобилей можно считать этот поток стационарным или нестационарным ординарным потоком с ограниченным последействием. Поэтому интервалы времени между последовательными моментами появления автомобилей оказываются независимыми случайными величинами с соответствующими законами распределения.

Интенсивность движения на дороге будем характеризовать интенсивностью потока автомобилей, движущихся в одну сторону, — средним числом автомобилей, проходящих в час через поперечное сечение дороги.

При подборе закона распределения интервалов времени между моментами поступления на дорогу соседних автомобилей нужно иметь в виду следующее. Обычные

законы распределения, применяемые теории массового обслуживания (например, показательный, равномерный и т. д.), допускают с некоторой вероятностью весьма малые или близкие к нулю значения интервалов времени. Правила уличного движения предусматривают, что между соседними автомобилями должны выдерживаться определенные интервалы (не менее ) обеспечивающие безопасность движения. Величина зависит от скорости движения автомобиля и выражается некоторой функцией скорости. Например, часто пользуются выражением

Поэтому на практике моменты появления автомобилей на дороге не могут быть сколь угодно близкими друг к другу. Из практических соображений они должны отличаться друг от друга не менее чем на некоторую величину а. Тогда интервал времени между моментами поступления автомобилей могут быть выражены суммой

где — случайная величина с заданным законам распределения.

Рассмотрим некоторые примеры. Пусть поток однородных событий характеризуется показательным распределением интервалов

с интенсивностью . Это значит, что мы имеем дело с простейшим (пуассоновским) потоком см. (4.5), (4.6).

Предположим теперь, что мы рассматриваем поток, интервалы которого имеют вид:

Тогда закон распределения для интервалов (5.4) будет выражаться функцией плотности

Интенсивность А, потока (5.5) можно определить по формуле

Аналогично можно записать закон Распределения для других случаев. Пусть поток характеризуется равномерным распределением интервалов

Легко видеть, что интенсивность такого потока в силу равенства (4.3)

Если теперь рассмотреть потак с интервалами

то закон распределения интервалов будет иметь вид равномерного распределения:

а интенсивность потока А определяется соотношением

Поток автомобилей в общем случае состоит из автомобилей типов. Состав потока можно характеризовать долей от общей интенсивности потока А. Для каждого типа автомобилей устанавливается максимальная скорость утах как скорость свободного движения по горизонтальной дороге без ограничений. Кроме того, должен быть задан полный вес автомобиля с грузом. Вес груза инопда считают случайной величиной с заданным (для каждого типа автомобилей) законом распределения.

Фактическая скорость свободного движения автомобиля с учетом профиля дороги, веса груза и тяги двигателя в каждый момент времени определяется дифференциальными уравнениями силового баланса. Для определения скорости эти дифференциальные уравнения

должны быть решены. Однако решение дифференциальных уравнений в процессе моделирования движения на дороге для многих автомобилей и многих моментов времени привело бы к чрезвычайно громоздким вычислениям. При решении практических задач можно допустить некоторые упрощения ради получения приемлемых в вычислительном отношении алгоритмов, если при этом ошибки не будут превышать допустимых пределов. Мы разделим задачу исследования автомобильного движения на две части: 1) изучение движения одиночного автомобиля в динамической схеме, т. е. с учетом действующих на автомобиль сил и 2) изучение автомобильного движения с учетом дорожного траффика, т. е. совместного движения большого количества автомобилей в кинематической схеме. Другими словами, при изучении дорожного траффика будем считать скорость автомобиля известной функцией параметров движения. При таком подходе к делу модель автомобильного движения существенно упростится, так как не нужно будет на каждом шаге моделирования прибегать к решению дифференциальных уравнений, представляющих собой модель движения одиночного автомобиля. Однако построение зависимости скорости автомобиля от параметров движения, необходимой для реализации кинематической схемы, можно сделать только на основе моделирования движения одиночного автомобиля в динамической схеме. Существуют, правда, и экспериментальные методы построения требуемых зависимостей.

Мы будем предполагать, что скорость свободного движения автомобиля выражается известной функцией

для каждого типа автомобилей. Здесь — полный вес автомобиля с грузом.

Соотношения для определения скорости из формулы (5.10) встречаются в специальной литературе.

Движение автомобилей на двухполосной дороге представляется следующим образом. В пункте А (а также в пункте В) в случайные моменты времени появляются автомобили. Если дорога свободна, то первый автомобиль пройдет весь участок со скоростью свободного движения, даже если его обгонят другие автомобили. Если скорость второго автомобиля не больше скорости первого, то также пройдет весь путь со скоростью

бодного движения и т. Если скорости данного автомобиля больше, чем скорость впереди идущего автомобиля, и данный автомобиль успеет догнать впереди идущий (время движения до конца маршрута данного автомобиля меньше, чем у впереди идудего), появляется необходимость обгона. Обгон - считается возможным, если: 1) отсутствует знак, запрещающий обгон; 2) имеется место для обгоняющего автомобиля своем ряду движения длиной не менее во встречном ряду имеется интервал не менее обеспечивающий безопасность обгона; 4) во встречном ряду нет таких обгоняющих автомобилей, которые могут помешать обгону данного автомобиля.

Интервал зависит от скоростей обгоняющего автомобиля и скоростей движения в прямом и встречном потоках. Если обгон невозможен, автомобиль снижает скорость до скорости впереди идущего автомобиля и продолжает движение этой скоростью.

Заметим, что обгон может произойти лишь в том случае, если место для обгоняющего автомобиля в - своем ряду отдалено от обгоняющего автомобиля не более чем на автомобилей, где определяется условиями видимости.

Если обгон возможен, обгоняющий автомобиль выезжает из «своего ряда и, двигаясь параллельно обгоняемым автомобилям, занимает выбранное место. Далее движение происходит аналогичным образом, пока автомобиль не достигнет конечной точки маршрута. Аналогично же выглядит картина движения во встречном потоке.