§ 9. ПОЛУПРОСТЫЕ АЛГЕБРЫ

Теорема 12. Полупростая алгебра А всегда содержит главную единицу.

Доказательство. Пользуясь теоремой 10, найдём такой элемент для которого бы соблюдались равенства

Отсюда следует

Взяв произвольный элемент

алгебры мы отсюда получим

Беря в роли последовательно

мы будем иметь — опять произвольный элемент из А)

Но эти равенства, в силу теоремы 7, указывают, что элемент собственно нильпотентен, т. е. что

Написав равенства (9.1) в форме

мы аналогично получим отсюда

откуда будем следовать

Равенства (9.2) и (9.3), в силу произвольности показывают, что есть главная единица алгебры

Введём понятие прямой суммы двух (и более) подалгебр. Пусть А содержит два взаимно простых (т. е. не содержащих, кроме нуля, общих элемента) двусторонних идеала Тогда совокупность элементов где пробегает В и с пробегает С, называется прямой суммой Докажем, что составляет алгебру. Всякое произведение в силу двусторонности идеалов содержится и в и в С, а потому, в силу взаимной простоты последних, равно нулю. Точно так же силу этого произведение

входит в так как

Теорема 13. Если алгебра А содержат двусторонний идеал В, имеющий главную единицу, то А распадается в прямую сумму идеала В и некоторого другого двустороннего идеала.

Доказательство. Выберем базис алгебры А так, чтобы его первые членов составляли базис алгебры В:

Покажем, что элементы можно нормировать так, чтобы они составляли базис другой алгебры. Именно, заменим их следующими:

где главная единица идеала этом выражении три последних члена суть элементы алгебры В и потому выражаются через так что наше преобразование обратимо, и система

тоже является базисом алгебры А.

Обозначим через С линейную систему элементов, имеющую базис произвольный элемент алгебры то в силу того, что для В элемент есть главная единица, имеем

откуда

Докажем, что С составляет алгебру. Элемент из С можно охарактеризовать тем, что он обращается в нуль при умножении на В самом деле, если

то

так что

имеет место тогда и только тогда, если если а а. С,

Если

то

откуда

т. е.

Алгебра С есть двусторонний идеал, так как

Это показывает, что является прямой суммой двусторонних идеалов

Будем называть простой алгеброй алгебру, не содержащую отличных от самой себя двусторонних идеалов. Из этого определения следует, что простая алгебра может только тогда иметь отличный от нуля радикал, когда она с ним совпадает, т. е. когда она сама нильпотентна. В последнем случае, если а есть показатель, при котором

то составляет двусторонний идеал, так что алгебра может быть простой только в случае т. е. нулевой алгебры: Пусть -базис нулевой алгебры. Линейная система с базисом составляет её двусторонний идеал, так что нулевая алгебра может быть простой только в случае Итак, мы приходим к теореме: Теорема 14. Всякая простая алгебра полу проста, за исключением нулевой алгебры порядка 1.

В дальнейшем мы будем исключать из рассмотрения нулевые алгебры порядка 1.

Чтобы разложить полупростую алгебру в прямую сумму простых, докажем предварительно теорему.

Теорема 15. Всякий двусторонний идеал полу простой алгебры есть тоже полупростая алгебра.

Доказательство. Пусть двусторонний идеал В полупростой алгебры А содержит радикал :

Совокупность есть, очевидно, двусторонний идеал в А:

Вместе с тем

откуда следует, что есть нильпотентный двусторонний идеал алгебры А и поэтому равен нулю:

Вместе с тем есть двусторонний идеал алгебры не равный нулю, так как А содержит главную единицу и потому

С другой стороны,

т. е. двусторонний идеал алгебры нильпотентен, что противоречит полупростоте алгебры

Теперь нетрудно доказать основную теорему для полупростых алгебр.

Теорема 16. Всякая полупростая алгебра А может быть разложена в прямую сумму простых алгебр.

Доказательство. Если сама не проста, то она содержит двусторонний идеал В, который в силу теоремы 15 является полупростой алгеброй и потому в силу теоремы 12 содержит главную единицу. Но тогда из теоремы 13 следует, что разлагается в прямую сумму В и другого двустороннего идеала С:

Если алгебры не просты, то, повторяя с ним то же рассуждение, разобьём их опять в прямые суммы, у которых слагаемые в силу тоже являются двусторонними идеалами алгебры Так как порядки получаемых

алгебр не могут безгранично убывать, то мы в конце концов придём к разложению

где А суть простые алгебры, для которых имеет место

Теорема 17. Разложение полупростой алгебры в прямую сумму простых однозначно.

Доказательство. Пусть наряду с (9.4) мы имеем

где также простые алгебры, для которых имеет место

Каждая алгебра содержится и в в так как и и А — двусторонние идеалы. Поэтому она отлична от нуля только в случае Алгебра входит и в и в В, и в силу их простоты должна или быть равной нулю, или совпадать с обеими алгебрами С другой стороны, содержит главную единицу, в силу чего

Отсюда

Это равенство показывает, что при данном не все обращаются в нуль, а следовательно, одна из совпадает с В, Продолжая рассуждение, докажем полное совпадение обоих разложений.

Теорема 16 допускает следующее обращение. Теорема 18. Всякая прямая сумма простых алгебр, из которых ни одна не нильпотентна, полупроста. Доказательство. Допустим противное: пусть

содержит радикал Произведение

равно нулю, так как содержится и в и в и является двусторонним идеалом для Поэтому

Пусть — элемент из Разложим его по :

Пусть главная единица алгебры В силу имеет место — Умножая (9.9) справа на получим в левой части нуль в силу (9.8); справа же останется Итак,

а потому

в противоположность допущению.

Интересны компоненты главной единицы, содержащиеся в каждой из алгебр Пусть

где

Из равенства

вытекает

Но так как

то в силу однозначности разложения в прямую сумму должно иметь место

т. е. являются идемпотентами.

Докажем, что является главной единицей в алгебре В самом деле, пусть

Тогда

Но откуда

что и нужно.

Интересна связь разложения полупростой алгебры с разложением её центра Разлагая произвольный элемент и алгебры по

И обозначая через центр алгебры а через произвольный элемент из мы будем иметь

откуда следует, что лежит в центре всей алгебры т. е. что

С другой стороны, разложим произвольный элемент центра по

Обозначая через а произвольный элемент из мы получим

т. е.

откуда видно, что лежит в центре алгебры Таким образом

Остаётся доказать, что алгебры просты. Докажем сначала, что они полупросты. Если бы, например, содержала радикал, то она так же содержала бы двусторонний идеал С, для которого имело бы место

Но тогда алгебра

была бы двусторонним идеалом в алгебре для которого в силу перестановочности А с С имело бы место

что бы противоречило полупростоте алгебры

Если бы была не проста, т. е. если бы имело место

то главная единица алгебры (которая, очевидно, входит в центр разлагалась бы по так:

Отсюда следует

причём так как входят в центр алгебры Ввиду этого алгебры суть двусторонние идеалы, для которых

Из того, что есть главная единица алгебры

следует, что алгебры взаимно просты. В самом деле, если то откуда Итак, алгебра распадается в прямую сумму двух алгебр, т. е. не проста, и мы приходим к теореме.

Теорема 19. Если полу простая алгебра А разлагается в прямую сумму простых алгебр, то её центр разлагается в прямую сумму простых коммутативных алгебр, из которых каждая служит центром соответствующего компонента алгебры

Теорема 20. Простая коммутативная алгебра является полем.

Доказательство. Допустим противное. Пусть элемент а коммутативной алгебры не имеет обратного элемента. Тогда алгебра не содержит главной единицы алгебры и поэтому не исчерпывает всей алгебры Вместе с тем она является левым, а в силу коммутативности

двусторонним, идеалом алгебры что противоречит простоте последней.

Отсюда простые следствием является

Теорема 21. Полупростая алгебра А проста тогда и только тогда, когда её центр является полем.