§ 7. НИЛЬПОТЕНТНЫЕ АЛГЕБРЫ

Будем называть элемент а алгебры А нильпотентным, если для него существует такой показатель а, при котором

Если все элементы алгебры А нильпотентны, то самую алгебру мы будем называть слабо нильпотентной.

Если же для самой алгебры А существует такой показатель а, при котором

то мы будем называть алгебру А нильпотентной, В нильпотентной алгебре произведение её любых а элементов равно нулю, каковое свойство может служить определением нильпотентной алгебры.

Докажем, что в случае алгебры А конечного порядка понятия нильпотентности и слабой нильпотентности совпадают.

Теорема 2., Всякая слабо нилъпотентная алгебра конечного порядка нильпотентна.

Доказательство. Допустим противное. Тогда алгебры

не могут быть все время уменьшающихся порядков, так как порядок каждой конечен. Следовательнр, найдётся такое что

Вводя обозначение мы получим

Пусть базис алгебры В. Тогда, обозначая через правый идеал будем иметь

Это равенство означает, что всякий элемент алгебры Вможно представить в виде суммы элементов идеалов

Докажем, что хотя одна из алгебр не нильпотентна. В противном случае, допустив, что имеет местд

и разлагая выражёние

мы получим в каждом члене по крайней мере одинаковых множителей (для одного какого-нибудь и в силу

этот член обратится в нуль. Отсюда

что противоречит равенству (7.1).

Пусть не нильпотентнаи алгебра. Тогда при некотором мы будем иметь

Вводя обозначения получим

Внутри алгебры опять выделим таким же способом подалгебру для которой будет иметь место

и т. д. Порядки получаемых таким образом алгебр

не могут всё время убывать. Пусть для какой-нибудь из этих алгебр, например, дальнейшее построение не уменьшит порядка. Это означает, что, обозначая через базис алгебры мы для какого-то значка будем иметь

Это равенство показывает, что уравнение

имеет решение

Тогда для любого а мы будем иметь

a это показывает, что не есть нильпотентный элемент, что противоречит нашему предположению относительно слабой нильпотентности алгебры Это доказывает теорему.

в связи с этой теоремой легко доказать следующую важную для дальнейшего теорему. Назовём идемпотентом элемент удовлетворяющий условию

Тогда имеет место

Теорема 3. Если алгебра А не нильпотентна, то она содержит идемпотент.

Доказательство. Пусть А — не нильпотентная алгебра. При доказательстве теоремы 2 мы видёли, Что она содержит подалгебру в которой существует элемент удовлетворяющий соотношению

Из эгого, во-первых, следует, что не содержит элемента для которого бы имело место

так как тогда, беря его в качестве первого элемента базиса

мы бы имели

и порядок алгебры был бы меньше порядка алгебры что противоречит равенству (7.3).

Во-вторых, из (7.3) следует, что содержит такой элемент что

откуда

Но, в силу только что доказанного, элемент должен быть нулём, и теорема доказана.

Найдём аналитические условия нильпотейтности элемента, а также нильпотентности алгебры. Для этого мы воспользуемся изоморфным представлением алгебры матрицами.

Теорема 4. Для того чтобы элемент а был нильпотентным, необходимо и достаточно, чтобы в матрице, соответствующей ему в изоморфном представлении, все характеристические корни были равны нулю.

Доказательство. Условие достаточно, так как в этом случае характеристическое уравнение матрицы А имеет вид

Но, как известно, матрица есть символический корень своего характеристического уравнения, откуда

Но так как представление изоморфно, то должно иметь место равенство

что и нужно.

Условие необходимо. В самом деле, пусть

тогда полином наименьшей степени, для которого имеет место

должен быть делителем полинома и потому имеет форму С другой стороны, известно, что его степень делится на характеристический полином, который в силу этого должен иметь вид

откуда следует, что все его корни — нули.

Следствие. В алгебре порядка наименьший показатель а, для которого имеет место не превышает

Это следует из того, что алгебра порядка имеет изоморфное представление матрицами порядка

Для вывода аналитических условий нильпотентности алгебры введём понятие следа элемента в каком-нибудь изоморфном представлении. Следом элетта а называется сумма диагональных элементов соответствующей ему матрицы. Иначе — это коэффициент при в её характеристическом полиноме; ещё иначе — это сумма её характеристических корней. Для следа введён символ

В силу линейности его выражения через элементы матрицы имеет место формула

тобы получить выражение для следа элемента а базибй вспомним формулы (3.2):

из которых получаем выражение для матрицы, соответствующей элементу, а

откуда

В силу (7.4) для элемента

имеет место

Сформулируем условие нильпотентности алгебры: Теорема 5. Для того чтобы алгебра А была нильпотентна, необходимо и достаточно, чтобы для элементов её базиса имело место

Доказательство. Условие необходимо, так как из нильпотентности алгебры следует нильпотентность элементов её базиса, для которых, таким образом, характеристические полиномы имеют вид и потому, в частности, имеет место

Условие достаточно. Чтобы убедиться в этом, выразим через базис степени произвольного элемента а алгебры, для которой имеет место (7.7). Тогда в силу (7.4) получим

Но из теории матриц известно, что характеристический полином матрицы А имеет корнями степени корней характеристического полинома матрицы А. Таким образом из равенств (7.8) следует, что все суммы степеней характеристических корней матрицы А равны нулю. Отсюда

Следует, что равны нулю и коэффициенты её характеристического полинома, так как они выражаются через суммы степеней корней при помощи формул Ньютона. Отсюда в силу теоремы 4 следует, что элемент а нильпотентен, т. е. алгебра А слабо нильпотентна. Из теоремы же 2 вытекает нильпотентность алгебры

Примечание. Мы доказали теорему 2, предполагая алгебру А конечной. Для случая, когда алгебра бесконечна, можно привести пример слабо нильпотентной, но не нильпо тентной алгебры. Пусть алгебра имеет бесконечный базис элементы которого связаны соотношениями

Тогда всякий её элемент, выражаемый через конечное число элементов базиса:

нильпотентен: то время как не существует показателя а, для которого бы имело место