§ 5. ПОДАЛГЕБРЫ

Если часть В элементов алгебры А сама составляет алгебру, то она называется подалгеброй алгебры А. Этот факт обозначается так:

Порядок подалгебры В, если она не совпадает со всей алгеброй всегда меньше порядка алгебры А. Из способа

нахождения элементов базиса (см. § 2) следует, что можно выбрать базис алгебры А так, чтобы часть его составляла базис подалгебры В. Для этого нужно взять базис алгебры В и дополнить его независимыми элементами алгебры не выражающимися через этот базис.

Пусть есть базис алгебры , в котором первые элементов составляют базис подалгебры В, Выразим аналитически (т. е. через структурные константы) этот факт. То, что составляет алгебру, выражается в том, что произведения выражаются через одни т. е. что в выражениях

константы

равны нулю.

Введём понятие линейной системы в алгебре заданной базисом Так называется совокупность элементов

где пробегают всевозможные элементы поля В частности, если прризведения линейно выражаются через линейная система составляет подалгебру.

Будем называть произведением линейных систем имеющих базисами линейную систему, имеющую базисом

Другими словами, это — совокупность элементов где пробегает все элементы из В, с — все элементы из С.

Пользуясь этой символикой, мы можем записать условие того, чтобы линейная система В была подалгеброй, в таком виде:

Если подалгебра В обладает тем свойством, что элементы из В, умножаемые справа (слеза) на элементы из дают опять элементы из

на называется правым (левым) идеалом алгебры же соблюдаются оба условия, то В называется двусторонним идеалом.

Аналитически условия того, что В есть идеал, легко вывести подобно предыдущему. Именно, условие для правого идеала В имеет вид

для левого идеала В

наконец, для двустороннего идеала В необходимо и достаточно-соблюдение обоих этих условий.

Введём в рассмотрение одну весьма важную для дальнейшего подалгебру, называемую центром алгебры Так называется совокупность элементов алгебры перестановочных со всеми элементами алгебры А. Нетрудно видеть, что центр составляет алгебру. В самом деле, если при произвольном из А имеет место

то также имеет место

Из определения поля 2 следует, что 2 содержится в центре алгебры Центр, вообще говоря, не является идеалом. Для нахождения центра положим

и решим систему линейных уравнений

вытекающих из условий

Выражая произведения при помощи формул (3.2) линейно через базис, получим систему однородных линейных уравнений

Если эта система имеет отличные от нуля решения то каждое из таких решений определяет элемент центра

УПРАЖНЕНИЯ

(см. скан)