§ 2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ АЛГЕБРЫ

Пусть а произвольный элемент кольца Тогда в этом кольце будут также содержаться элементы

и вообще элементы типа где — целое рациональное число. Введём дополнительное предположение:

Кольцо наряду с элементом а содержит также все элементы где а — произвольный элемент некоторого поля Кольца, удовлетворяющие этому предположению, мы будем называть алгебрами над полем 2. Элементы поля мы будем всегда считать перестановочными (относительно умножения) с элементами алгебры А.

Пусть в алгебре А содержится элемент и с ним все элементы а где а пробегает поле Если алгебра А не исчерпывается элементами то в ней найдётся элемент не представимый в форме Тогда в А содержатся также элементы типа

где пробегают поле 2. Различным соответх:твуют различные элементы алгебры так как из

при а мы получили бы

что противоречило бы нашему предположению, что а не представляется в форме а

Если элементами (2.1) алгебра А не исчерпывается, то в ней найдётся элемент а, не представимый в форме (2.1), а с ним элементы

где нробегают поле причём опять разным а соответствуют разные элементы алгебры Продолжая рассуждение, мы или исчерпаем всю алгебру А при помощи конечного числа элементов или не исчерпаем ее, сколько бы ни находили элементов типа а, В первом случае будем называть алгебру А алгеброй конечного порядка, причём её порядком будем называть число элементов такого рода, что все элементы

исчерпывают алгебру А и притом независимы т. е. не допускают соотношений тип

Срвокупность элементов

такого рода носит название базиса алгебры. Очевидно, что для каждой алгебры можно найти бесчисленное множество различных базисов; однако число элементов, составляющих базис (т. е. порядок алгебры), останется одним и тем же. В самом деле, пусть — базисы одной и той же алгебры А, причём пусть Выразим элементы через первый базис:

Так как матрицы

не превосходит , т. е. меньше то найдутся отличные от нуля элементы для которых будет иметь место

Умножая равенства (2.3) соответственно;на и складывая, мы получим

что противоречит независимости элементов второго базиса.

От одного базиса к другому всегда можно перейти при помощи линейной подстановки (2.3), где и определитель подстановки отличен от нуля. Обратно, всякая такая подстановка даёт новый базис. Таким образом, зная один базис алгебры мы без труда найдём её всевозможные базисы.

Если алгебра содержит бесконечное число независимых элементов, то она называется алгебрт бесконечного порядка. Такого рода алгебрами мы не булщ заниматься

6 настоящем курсе. Говоря об алгебрах, мы будем разуметь алгебры конечного порядка, если не будем делать специальной оговорки.

От алгебр конечного порядка следует отличать конечные алгебры, состоящие из конечного числа элементов. Чтобы алгебра была конечной, необходимо, чтобы конечным было поле Если это условие соблюдается и если притом алгебра имеет конечный базис, то она должна быть конечной алгеброй.