§ 6. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ АЛГЕБР МАТРИЦАМИ

Покажем, что всякой алгебре соответствует изоморфная ей алгебра матриц, т. е. подалгебра полной матричной алгебры, описанной в § 4 (пример IV). Предварительно напомним понятия изоморфизма и гомоморфизма. Пусть нам даны две алгебры и 51 и пусть элементы обеих можно привести в такое взаимно однозначное соответствие:

причем из

следует

то такое соответствие носит название изоморфизма, а алгебры А и изоморфными друг с другом.

Если при установленном соответствии (6.1) условия (6.2) выполняются, но соответствие не взаимно однозначное, то оно носит название гомоморфизма. Пусть над алгебрами и установлено такого рода соответствие, причём каждому элементу алгебры соответствует один единственный элемент алгебры , но не обратно. Пусть, например, элементам алгебры соответствует один и тот же элемент а. алгебры Тогда в силу (6.2)

равным нулю элементам из А соответствует О в Обозначим через С совокупность элементов алгебры которым соответствует О в алгебре 51. Нетрудно видеть, что С составляет алгебру. В самом деле, из

следует

т. е. из

следует

Более того, С составляет двусторонний идеал алгебры самом деле, из

следует

т. е. при произвольном из

следует

Разобьём элементы алгебры А на классы по модулю двустороннего идеала С, говоря, что элементы лежат в одном классе, если их разность лежит в С, и записывая это так:

Такого рода сравнения мы, подобно обычным сравнениям, можем складывать, вычитать и перемножать, можем также умножать их справа или слева на произвольный элемент алгебры в силу того, что С есть двусторонний идеал.

Если мы формально приравняем друг другу все элементы алгебры лежащие в одном и том же классе по модулю С, то получим новую алгебру, которую факторалгеброй и обозначают так:

Нетрудно убедиться, что порядок факторалгебры равен разности где порядок алгебры порядок алгебры С. В самом деле, если есть базис

алгебры С, то обозначим через базис алгебры т. е. систему независимых элементов алгебры между которыми не имеет места сравнение вид

в то время как для всякого элемента алгебры можно найти представление

Тогда составит базис алгебры откуда и следует утверждение.

Приступим к построению алгебры матриц, изоморфной с данной алгеброй Чтобы найти матрицу порядка, соответствующую элементу а алгебры выразим линейно через её базис все произведения

Пусть

Тогда сопоставим с элементом а матрицу

Проверим гомоморфизм такого сопоставления. Пусть также

Тогда

где

Таким образом из

следует

а эти формулы как раз устанавливают гомоморфизм соответствия.

При таком сопоставлении изоморфизм не всегда имеет место.. Например, для нулевой алгебры (см. § 4, пример II) каждому элзменту соответствует нулевая матрица. Однако

изоморфизм имеет место в том важном случае, когда алгебра А содержит главную единицу. Беря её в качестве одного из элементов базиса, например мы для всякого элемента

где не все будем иметь

а это показывает, что элементу а соответствует матрица, у которой первая строка такова:

т. е. не равна нулю. Таким образом ни одному не равному нулю элементу не может соответствовать нулевая матрица.

Если алгебра А не содержит главной единицы, то можно представить её как подалгебру другой алгебры А порядка если к элементам её базиса присоединить главную единицу Для полученной таким образом алгебры А надо проверить ассоциативный закон относительно умножения. Эту проверку достаточно произвести для элеметов базиса, притом только для того случая, если среди них имеется Но для он сразу следует из соотношений

Таким образом алгебра содержит главную единицу, а потому для неё существует изоморфная с ней алгебра матриц порядка. Беря в этой алгебре часть, соответствующую подалгебре получим и для А изоморфную с ней алгебру матриц -го порядка.

Пример. Возьмём нулевую алгебру где Рассмотрим алгебру , где - главная единица. Имеет место

откуда следует, что элементу а соответствует матрица

Иногда алгебры допускают, представление матрицами меньшего порядка. Это имеет место в том случае, если алгебра А имеет правый идеал. Пусть

есть базис правого идеала В алгебры А. Чтобы представить элемент а алгебры А матрицей порядка, умножим все

элементы справа на а. В силу свойства правого идеала произведения а содержатся в В и потому выражаются через базис (6.3):

Сопоставляя элементу а матрицу мы получим, вообще говоря, гомоморфное представление алгебры А матрицами порядка.

Как изменится матрица сопоставленная с элементом а, если мы подвергнем базис линейнойу обратимому преобразованию ? Пусть

где

Пусть далее преобразуется в где

Формулы (6.4) можно переписать так: (6.4)

или, подставляя (6.5):

где матрицей правой части служит произведение Умножая каждую из этих формул на и суммируя по получим

Из этих формул следует, что если при базисе элементу а соответствовала матрица то при базисе ему будет соответствовать матрица

Такого рода преобразования, которые мы в дальнейшем будем часто проделывать, упрощаются благодаря особой символической записи. Станем рассматривать базис как матрицу из одной колонны;

Тогда формулы (6.5) можно в матричном исчислении переписать так:

Формулы (6.4) перепишутся так:

Подставляя сюда (6.5), получим:

Умножая слева на будем иметь

Что получится в том частном случае, если первые элементов базиса составляют сами базис правого идеала? Тогда в первых формулах (6.4) не равными нулю будут только первых членов и каждому элементу а будет соответствовать матрица вида

причём матрицы сами будут давать представление. Представления типа (6.7) носят название полуприведённых представлений отличие от вполне приведённых представлений у которые имеют вид

И которые, как мы увидим ниже, соответствуют правым идеалам, разлагаемым в прямые суммы правых идеалов).

Если относительно правого идеала В только известно, что он содержит правый подидеал, то это будет означать, что можно найти такую линейную подстановку 5, что всякая матрица нашего представления будет полуприведённой. В этом случае представление носит название полуприводимого представления, и мы приходим к теореме:

Теорема 1. Чтобы представление алгебры матрийами было полуприводимо, необходимо и достаточно, чтобы правый идеал, при помощи которого оно получено, содержал отличный от него правый подидеал.

Будем называть правый идеал, не содержащий отличных от него правых идеалов, простым правым идеалом. Тогда из теоремы 1 вытекает следствие:

Следствие. Чтобы правый идеал давал неприводимое представление, необходимо и достаточно, чтобы он был простым.

Представление алгебры матрицами можно также получить при помощи левого идеала. Для этого нужно умножить базис на представляемый элемент не справа, а слева. Пусть 33 — базис левого идеала. Тогда

Пусть также

Отсюда

Мы видим, что в этом случае из

следует

т. е. что здесь матрицы перемножаются в порядке, противоположном порядку элементов. Такого рода гомоморфизм носит название гомоморфизма рода,

УПРАЖНЕНИЯ

(см. скан)