§ 8. РАДИКАЛЫ

Для дальнейшего нам понадобится

Теорема 6. Следы элементов равны:

Доказательство. Не нарушая общности, можно принять а и за элементы базиса, например, за (этого нельзя сделать лишь тогда, если зависимы; но тогда теорема очевидна в силу перестановочности Имеем

откуда

и точно так же

Но при помощи (3.3) мы получим

Поменяв ролями значки и мы придём к

Назовём собственно нильпотентными элементы а, для которых элементы при всяком из нильпотентны. Заметим, что из нильпотентности вытекает нильпотентность если

то

Справедливо и обратное. Имеет место

Теорема 7. Чтобы а был собственно нильпотентным, необходимо и достаточно соблюдение всех элементов а базиса равенств

Доказательство. Условие необходимо, так как для собственно нильпотентного а, в частности, нильпотентны все и для них в силу теоремы 4 имеет место

Условие достаточно. Пусть, в самом деле, для какого-нибудь а имеет место (8.2). Тогда для каждого имеет место

Но так как в форме можно представить каждый из элементов

где — произвольный элемент алгебры А, то отсюда

и в силу теоремы нильпотентен. Точно так же

откуда, в частности,

а это показывает, что нильпотентен. Таким образом а собственно нильпотентен.

Теорема 8. Совокупность собственно нильпотентных элементов алгебры А образует нильпотентную подалгебру, являющуюся двусторонним идеалом алгебры А,

Доказательство. Если условия (8.2) соблюдаются для элементов а и то они также имеют место для

Более того, они имеют место для всех , где произвольный элемент алгебры А. В самом деле, пусть Тогда

Точно так же, положив будем иметь

Отсюда следует, что совокупность собственно нильпотентных элементов алгебры А составляет её двусторонний идеал, Его нильпотентность следует из теоремы 2.

Этот идеал носит название радикала алгебры А. Будем обозначать его буквой Он содержит любой нильпотентный двусторонний идеал алгебры так как в таком идеале должен быть нильпотентен не только каждый его элемент а, но также все элементы где произвольней элемент алгебры А. Отсюда следует, что а собственно нильпотентен, т. е. входит в

Чтобы найти для данной алгебры А радикал, подчиним её элемент

условиям (8.2). Получится система линейных уравнений

из которой определятся всевозможные системы решений, дающие собственно нильпотентные элементы а алгебры А, Эта система имеет отличные от нуля решения тогда и только тогда, если её определитель

равен нулю. Этот определитель носит название дискриминанта алгебры Всякий нильпотентный двусторонний и даже односторонний идеал В алгебры А содержится в её радикале В самом деле, если

то и при любом откуда следует, что при некотором а

Таким образом есть собственно нильпотентный элемент алгебры А, т. е.

Если алгебра не содержит отличного от нуля радикала, то она называется полупростой алгеброй. Приведённые рассзждения позволяют сформулировать следующую теорему: Теорема 9. Чтобы алгебра была полупростой, необходимо и достаточно, чтобы её дискриминант был отличен от нуля.

Форма уравнений (8.3) показывает справедливость следующей теоремы:

Теорема 10. В полупростой алгебре можно всегда найти элемент а, для которого величины

принимают наперёд заданные значения из поля Этими значенйямщ элемент а определяется однозначно. Докажем ещё следующую теорему:

Теорема 11. Если есть радикал алгебры А, то факторалгебра полупроста.

Доказательство. Допустим противное. Тогда А должна содержать не лежащий в элемент а такого рода, что некоторая степень элемента где произвольный элемент алгебры лежит в

Но так как все элементы радикала нильпотентны, то существует такой показатель о, при котором

Точно так же докажем существование показателей а, а, при которых

Отсюда, в силу произвольности следует, что а собственно нильпотентен, т. е. входит в что противоречит допущению.

УПРАЖНЕНИЯ

(см. скан)