§ 16. КОМПОЗИЦИЯ КЛАССОВ АЛГЕБР

Будем называть две простые алгебры эквивалентными.

если содержащиеся в них как компоненты тела изоморфны, т. е. если

где полные матричные алгебры. Ясно, что из следует Будем также говорить, что эквивалентные простые алгебры находятся в одном и том же классе алгебр.

Ввёденный нами в предыдущем параграфе символ

обозначает в соответствии с принятым теперь условием, что

Даны две нормальные простые алгебры построенные при помощи одного и того же нормального поля Рассмотрим прямое произведение

Оказывается, что оно содержит скрещенное произведение константы которого образованы почленным перемножением констант а Имеет место

Теорема 41. Прямое произведение эквивалентно алгебре :

Доказательство. Будем обозначать изоморфные поля в алгебрах и различно: например.

вместо будем писать Алгебра содержит коммутативную подалгебру порядка и степени Как полупростая алгебра она разлагается в прямую сумму простых алгебр, которые в силу коммутативности должны быть полями. Пусть одно из таких полей, его главная единица. Тогда

Но содержит поля каждое из которых изоморфно с Отсюда

Действительно, поля как изоморфные должны быть сопряжёнными. Но, будучи оба нормальными, они должны совпадать.

Поскольку каждый простой прямой компонент алгебры

имеет порядок алгебра разлагается в прямую сумму и простых компонентов:

где идемпотенты связаны условиями ортогональности:

Будем обозначать через 5 автоморфизмы поля которые производят над элементами поля соответствующие автоморфизмы а элементы поля оставляют неизменными. Тогда

Все идемпотенты

отличны друг от друга, так как в противном случае мы бы имели откуда отдельные элементы алгебры

оставались бы неизменными, что противоречит определению автоморфизма Отсюда в силу однозначности разложения в прямую сумму следует:

Таким образом всякий элемент алгебры может быть однозначно представлен в форме

В частности, для элементов поля в силу имеет место

откуда в силу однозначности разложения

т. е.

Определим при помощи формулы (15.2) автоморфизм 5 поля соответствующий автоморфизму 5 поля Пусть

Будем ткже считать, что автоморфизм оставляет неизменными элементы поля Тогда перепишем нашу формулу так:

откуда следует

и, в частности,

Эта формула означает, что если элемент выражен через элементы полей

то

Кроме того, из определения автоморфизма следует, что они перестановочны.

Если и, и — элементы скрещенных произведений для которых

то

Если мы введём обозначения

то в силу ортогональности элементов

откуда видно, что представляют собой систему матричных единиц, дающих полную матричную алгебру измерения

Далее мы должны доказать, что алгебра содержит алгебру, элементы которой перёстановочны с элементами алгебры и которая изоморфна с Доказательство ничем не отличается от доказательства теоремы 25. Поэтому мы остановимся на структуре алгебры Её элементы можно представить в форме

в силу ортогональности стоящий под знаком суммы член только тогда отличен от нуля, если Отсюда общий член нашей алгебры представляется так:

Эта формула показывает, что базис нашей алгебры относительно есть

Соответствующие этому базису множители выводятся из формул

Именно, имеет место

Итак, множители алгебры получаются путем почленного перемножения множителей алгебр и что доказывает справедливость формулы (15.1).

Введём понятие умножения классов алгебр. Под произведением двух классов нормальных простых алгебр мы будем разуметь класс алгебр, эквивалентных с прямым произведением Если мы возьмём в форме скрещенных произведений то в качестве их произведения можно взять

Все эти классы алгебр (с общим полем разложения образуют абелеву группу. Как мы только что видели, вместо классов алгебр мы можем перемножать их множители:

Назовём показателем алгебры А наименьшее целое положительное число при котором

Тогда имеет место

Теорема 42. Показатель I алгебры А делит её индекс и вместе с тем содержит все простые множйтели щсла

Доказательство, в самом деле, если то из теоремы 42 следует, что

Но из теоремы 41

и теоремы 40 вытекает

Если бы не делилось на то

Тогда

Но это в силу противоречит определению показателя

С другой стороны, пусть нормальное поле разложения алгебры его степень, одно из простых чисел, входящих в Пусть подполе поля принадлежащее к силовской подгруппе группы поля имеющей порядок не есть поле разложения алгебры так как его степень не делится на следовательно, на вопреки теореме 34. Алгебра имеет полем разложения поле степень которого над полем равна Отсюда следует, что её индекс есть степень не превышающая поэтому и показатель её есть где (в случае имело бы место Итак,

Но из

следует

откуда видно, что I делится на

Р. Брауэр показал на примере, что при данном показатель может принимать все значения, деляпиеся на входящие делителем в В его примере поле О — функциональное. Для числовых же подй, как мы увидим ние, всегда

Теорема 43. Всякое нормальное тело можно разложить в прямое произведение тел, порядок каждого из которых есть степень простого числа.

Доказательство. Пусть нормальное тело имеет степень показатель Пусть Решим в целых положительных числах неопределённое уравнение

Тогда

Каждое косое поле

имеет показатель так как, с одной стороны,

с другой стороны, если бы имело место

то

что противоречит определению показателя Пусть

где полная матричная алгебра измерения Так как степень алгебры есть степень с другой стороны, делитель степени алгебры то она равна -Тогда сравнение степеней алгебр в обеих частях равенства (15.5) дает

откуда

и равенство (15.5) перепишется так:

где имеет степень и показатель

Исследуем, что произойдёт со скрещенныл произведением

если мы присоединим к нему произвольное поле Имеет место

Теорема 44. Прямое произведение

эквивалентно скрещенному произведению

где часть системы констант соответствующая автоморфизмам, оставляющим поле инвариантным, композит полей и

Доказательство. Сначала рассмотрим алгебру

входящую в Она является полупростой коммутативной алгеброй и поэтому может быть представлена как прямая сумма нескольких полей. Если обозначить через одно из таких полей и через его главную единицу, то

Если мы обозначим через пересечение полей и через подгруппу группы Галуа поля 2, к которой оно принадлежит, то степень поля равна где

порядок группы Группа изоморфна с группой Galois поля если к области рациональности К присоединить так что её порядок равен степени композита относительно о, С другой стороны, порядок алгебры равен так как порядок алгебры не меняется при присоединении к области рациональности новых элементов. Отсюда следует, что есть прямая сумма полей, изоморфных с Каждому из этих полей соответствует идемпотент, и

система получаемых таким образом ортогональных идемпотентов даёт начало полной матричной алгебре измерения, содержащейся внутри

Как обычно, докажем, что прямое произведение алгебры и алгебры порядка изоморфной с

Эту последнюю алгебру мы и изучим подробнее. Каждый автоморфизм 5 группы переводит идемпотент в другой идемпотент Какие из них оставляют неизменными? 5 переводит поле входящее как прямое слагаемое алгебры в другое, вообще говоря, поле Если же то

Но это показывает, что 5 является автоморфизмом поля который оставляет неизменными элементы области рациональности в частности, Значит, входит в подгруппу Обратно, если т. е. если то его главная единица остаётся на месте. Если мы разложим на смежные классы по подгруппе Н:

то получим различных идемпотентов

Внутри элементы и имеют те же свойства, что и внутри А (ведь элементы из перестановочны о. и), и потому, в частности,

Элементы алгебры могут быть однозначно представлены в виде

а потому элементы алгебры

представляются в виде

Если при атом не лежит в то а потому

Эта формула показывает, что

образуют -базис алгебры А. Этот базис является частью -базиса

алгебры А, соответствующей подгруппе Его константы являются частью констант Поэтому

и

где есть композит полей

В частности, если то откуда Таким образом мы опять получаем известный ранее результат, что есть поле разложения алгебры