§ 14, ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СВОЙСТВА СКРЕЩЕННЫХ ПРОИЗВЕДЕНИЙ

Константы скрещенных произведений играют большую роль при изучении структуры алгебр, а потому мы изучим их подробнее.

Можно, имея нормальное поле задать совершенно произвольно константы для построения скрещенного произведения? Оказывается, что нет. В самом деле, из ассоциативного закона

мы имеем

откуда

Если это условие соблюдается, то скрещенное произведение, определяемое формулами

удовлетворяет, как нетрудно убедиться, всем законам, которым должна подчиняться алгебра.

Как простая алгебра должна иметь главную единицу. Станем подыскивать её в форме

подчиняя её условиям

т. е.

откуда в силу независимости -базиса

В частности,

и остаётся проверить, что

Первую формулу мы получим, полагая в

Вторая формула получается, если положить в

Таким образом главная единица алгебры есть

Мы не придём к противоречию, если положим

т. е.

Когда мы определяли из условия

матрицу и, то у нас в распоряжении оставался произвольный множитель — элемент поля И в самом деле, если

то

Обратно, из

вытекает, что элемент перестановочен с элементами поля и потому входит в откуда

Как изменятся константы если мы проделаем над -базисом преобразование (14.6). Если наряду с (14.2), (14.3) мы будем иметь

то отсюда при помощи (14.6) мы получим

т. е.

откуда

Обратно, если две системы констант и связаны соотношениями (14.7), где с — произвольные элементы поля то, производя обратное рассуждение, мы убедимся, что скрещенные произведения и совпадают.

Будем отмечать существование между двумя системами констант соотношений (14.7) символом

и говорить, что обе системы констант эквивалентны. Тогда в силу доказанного имеет место

Теорема 38. Для того чтобы две системы констант образовали одно и то же скрещенное произведение:

необходимо и достаточно, чтобы они были эквивалентны)

В частности, если система констант эквивалентна системе констант, состоящих из единиц, т. е. если эти константы можно выразить так:

то мы будем отмечать этот факт символом

Имеет место

Теорема 39. Если

то

т. е. скрещенное произведение есть полная матричная алгебра.

Доказательство. Не нарушая общности, можно предположить, что для всех имеет место

(этого можно добиться преобразованием базиса). Это означает, что

произведём преобразование базиса

заменив его базисом

где

где -базис поля Это преобразование обратимо, так как его определитель, равный квадратному корню из дискриминанта базиса отличен от нуля.

Образуем при помощи базиса представление алгебры матрицами. В общем случае коэффициенты этих матриц лежат в поле Докажем, что в силу (14.10) они лежат в поле 2. Достаточно доказать это для матриц, соответствующих элементам Имеем

Пусть элементы выражаются через базис так;

где Тогда

Подставляя в (14.12), получим

Таким образом элементу соответствует матрица с коэффициентами из поля

Далее, пользуясь (14.10), будем иметь

Выразим элементы через базис

откуда получим

Подставляя в (14.13), будем иметь

так что элементу соответствует матрица с коэффициентами из поля Таким образом мы получили для элементов алгебры изоморфное представление матрицами измерения с коэффициентами из поля Это показывает, что есть полная матричная алгебра с коэффициентами из поля что и нужно.

Теорема 40. Если алгебра

имеет индекс то имеет место

Доказательство. Пусть

где косое поле порядка и полная матричная алгебра измерения так что А — алгебра порядка где Алгебра есть правый идеал алгебры порядка а потому алгебра

есть правый идеал алгебры А порядка Но её подалгебра остаётся того же порядка что и так как будучи полем, не имеет внутри А делителей нуля (все его элементы обратимы). В силу этого для алгебры можно найти почленный -базис

через который каждый элемент алгебры выражается так:

Из того что есть правый идеал алгебры А, следует, что произведения лежат в т. е. что имеет место

где

Запишем эти равенства так:

где матрица с коэффициентами из поля Заметим, что получаемое таким образом представление алгебры А не удовлетворяет условиям изоморфизма, как мы в этом сейчас убедимся. Такое представление носит название полулинейного.

Умножая (14.15) на и, получим

Итак, вместо изоморфизма полулинейное представление состоит в следующем сопоставлении элементов алгебры и матриц. Если

то

Заметим, что определители всех матриц отличны от нуля, так как все элементы и имеют обратные элементы, в силу чего Сопоставляя (14.16) с

будем иметь

Беря в обеих частях этого матричного равенства определители и вводя обозначение

получим

откуда в силу (14.9)