§ 13. ТЕЛА КАК СКРЕЩЕННЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ

Целью настоящего параграфа является сведение тел к особой форме алгебр, которые Нётер назвала скрещенными произведениями. Для этого предварительно нужно доказать несколько теорем.

Теорема 33. Пусть тело порядка его поле разложения. Тогда степень поля делится на

Доказательство. Алгебра

есть полная алгебра матриц порядка.

система её матричных единиц. Рассмотрим её правый идеал

где пробегают поле Определим двояким путём порядок этой алгебры. С одной стороны, в можно выделить -базис, т. е. систему элементов

между которыми не существует соотношений

И таких, что в форме может быть представлен всякий элемент алгебры

В самом деле, пусть Тогда в силу того, что есть правый идеал алгебры при всяком имеет место Если произведениями и идеал не исчерпывается, возьмём в элемент представляемый в форме Тогда при всяких имеет место

Если в этой форме идеал не исчерпывается, возьмём непредставимый в этой форме элемент и будем продолжать процесс до исчерпания идеала Полученная система является -базисом идеала В самом деле, если бы какой-нибудь элемент идеала мог быть представлен через эту систему двумя различными способами, то имело бы место

где не все равны нулю. Если — последний не равный нулю элемент, то, разделив справа соотношение на (ведь косое поле), получим

что прртиворечит способу выбора элемента .

Если есть порядок -базиса алгебры то порядок относительно есть С другой стороны, алгебра имеет порядок относительно поля а потому её порядок относительно поля равен

Итак,

откуда следует (13.1).

Теорема 34. Пусть тело порядка имеет поле разложения степени Тогда алгебра

где полная матричная алгебра измерения содержит поле (притом максимальное), изоморфное с

Доказательство. Рассмотрим опять -базис алгебры где Предоставляя при помощи этого базиса элементы поля

где

мы получим представление поля матрицами измерения с коэффициентами из Это представление изоморфно, так как из

вытекает

и если

то

откуда

т. е.

Но поскольку состоит из всех матриц измерения с коэффициентами из D, А содержит поле, изоморфное с этим представлением поля т. е. изоморфное с полем Это поле максимально, так как алгебра А имеет порядок и потому не может содержать полей порядка выше

Пусть А — нормальная простая алгебра порядка (степень наибольшего содержащегося в ней тела мы будем называть индексом алгебры А) и пусть

Максимальное поле степени предположим, что Z нормально (в смысле теории Галуа). Это существенно не ограничивает исследования. В самом деле, если не нормально, то существует нормальное поле степени Тогда алгебра

в силу теоремы 35, содержит поле, изоморфное с нормальным полем Алгебра же А составляет подалгебру алгебры

Пусть примитивный элемент поля Его характеристический полином не имеет кратных корней. Элемент (т. е. элемент над которым произведён автоморфизм 5 группы поля удовлетворяет тому же характеристическому уравнению, что и а потому в алгебре А существует такой элемент что

Пусть группа Galois поля

Определим для каждого автоморфизма этой группы по элементу удовлетворяющему условию (13.2), Заметим, что выбор не зависит от выбора внутри так как из (13.2) следует

Пусть

есть базис поля 2. Докажем, что система

составляет -базис алгебры А или что

составляет -базис алгебры Прежде всего мы заключаем, что элемент

перестановочен с

а потому, в силу максимальности поля он содержится в Обозначая его через будем иметь

Формулы (13.3) и (13.2), которые мы будем писать так:

составляют таблицу умножения для алгебры, определяемой нашим базисом. В самом деле, пусть

Тогда

тоже представилось в форме

Докажем, что построенная нами алгебра исчерпывает алгебру Для этого достаточно доказать независимость элементов и -базиса, так как этим мы покажем, что порядок этой алгебры есть т. е. равен порядку алгебры

Допустим существование лийейной зависимости

Умножим эту зависимость слева на примитивный элемент поля затем справа на где -один из автоморфизмов группы такой, что и вычтем друг из друга оба полученные равенства:

Если при каком-нибудь в (13.6) коэффициент не был равен нулю, то он не будет нулём и в (13.7), за исключением коэффициента при который в (13.7) равен нулю. Постепенно изгоняя из равенства таким путём все члены, мы в конце концов придём к соотношению с одним заранее указанным членом. Значит, в нём и так с каждым членом.

Всё доказанное можно формулировать в виде следующей теоремы:

Теорема 35. Всякая нормальная простая алгебра является подалгеброй некоторой алгебры, называемой скрещенным произведением которая задаётся нормальным полем степени а также независимыми элементами соответствующими автоморфизмам группы Galois поля удовлетворяющими соотношениям

Скрещенное произведение, заданное полем и константами принято обозначать так:

Теорема 36. Всякое скрещенное произведение А

ёсть нормальная простая алгебра.

Доказательство. Докажем прежде всего, что есть максимальное поле алгебры А. Если

перестаноючно со всеми если

то

Но если примитивный элемент поля только для Отсюда в силу независимости элементов

или

т. е.

Поле, образованное такого рода элементами, изоморфно с

Теперь предположим, что а лежит в центре. Тогда кроме того,

т. е.

откуда

Но так как под 5 мы можем разуметь любой автоморфизм группы то откуда следует, что алгебра нормальна.

Наконец, докажем, что проста. Пусть В — её двусторонний идеал и пусть

Тогда в В будут также содержаться элементы

а также

Беря в качестве примитивный элемент поля и полагая где любой автоморфизм группы мы получим элемент из которого коэффициент при «у равен нулю. Продолжая процесс, получим из В элемент типа

т. е. элемент Из

следует для всякого

все элементы базиса входят в В, Отсюда

есть простая алгебра,

Теорема 37. Пусть А — нормальная простая алгебра, её максимальное поле. Тогда наименьшее нормальное поле содержащее есть поле разложения алгебры А.

Доказательство. Образуем алгебру содержащую которая являлась бы скрещенным произведением Пусть

есть -базис алгебры Найдём при его помощи представление алгебры А матрицами измерения:

Коэффициенты матриц лежат в Это представление истинное, так как алгебра А проста. Но так как порядок алгебры равен т. е. порядку полной матричной алгебры измерения то отсюда следует, что, присоединяя к полученной алгебре матриц поле мы получим все матричные единицы измерения т. е. полную матричную алгебру Это показывает, что является полем разложения алгебры а с нею подавно и алгебры