§ 12. АВТОМОРФИЗМЫ ПРОСТЫХ АЛГЕБР

В теории простых алгебр имеет большое значение изучение автоморфизмов, т. е. изоморфных отображений алгебр самих на себя. Среди них особую роль играют внутренние автоморфизмы, т. е. автоморфизмы, получаемые при помощи преобразования всех элементов алгебры каким-либо одним элементом той же алгебры. Именно, пусть -элемент алгебры имеющий обратный. Тогда, если мы установим соответствие

для всех элементов алгебры то, очевидно, будет иметь место

Для простых нормальных алгебр можно установить весьма простой факт.

Теорема 32. Все автоморфизмы нормальной простой алгебры суть внутренние автоморфизмы.

Доказательство. Сначала докажем теорему для полной матричной алгебры Пусть — автоморфизм, переводящий каждую в

и пусть

Пусть Введём элементы

Между а также между имеют место обычные матричные соотношения и, в частности, а потому

С другой стороны,

так что, если

то

т. е. есть идемпотент. Отсюда

т. е.

Введём элементы

Имеем

Откуда

Нетрудно убедиться, что наш автоморфизм осуществляется преобразованием В самом деле,

Преобразованием же базиса определяется весь автоморфизм.

Докажем теорему в общем случае. Пусть нормальная простая алгебра имеет поле разложения так что

Распространим заданный автоморфизм на считая, что элементы поля инвариантны относительно автоморфизма 5. Тогда, как мы уже доказали, в алгебре существует элемент такого рода, что автоморфизм 5 осуществляется преобразованием Докажем, что и в алгебре А можно найти такого рода элемент. Пусть

- базис алгебры А и пусть

Тогда

откуда

Зная выражения через и пользуясь таблицей умножения алгебры мы получим систему линейных однородных уравнений относительно коэффициенты которых лежат в Эта система, как мы знаем, имеет решение в поле такого рода, что регулярный элемент, т. е. определитель, соответствующий ему в представлении матрицы, отличен от нуля. Это значит, что если мы выразим переменные при помощи линейных уравнений через систему независимых и затем подставим эти выражения в выражение определителя, то получим однородный полином с коэффициентами из не равный тождественно нулю. Если мы теперь выберем для переменных значения из не обращающие этот полином в нуль, то соответствующий этим значениям элемент регулярен, и преобразование осуществляет заданный автоморфизм 5. Итак все автоморфизмы нормальной простой алгебры А внутренние,