§ 11. ПОЛЯ РАЗЛОЖЕНИЙ

Дальнейшее изучение тел встречает трудности арифметического характера. Основным инструментом в дальнейших исследованиях является расширение центра изучаемого тела.

Предварительно докажем следующую вспомогательную теорему.

Теорема 27. Произведение нескольких полных матричных алгебр

есть полная матричная алгебра

Доказательство. Достаточно доказать теорему для случая двух алгебр. Пусть

две полные матричные алгебры измерений так что

кроме того, пусть элементы перестановочны с элементами Положим

Нетрудно понять, что всякое целое положительное число можно, и притом однозначно, - представить в форме . Составим произведеьше

Если хоть одно из равенств

не выполняется, то это произведение равно нулю. Если же оба они выполняются, то оно равно

откуда

Эти равенства показывают, что

Применяя этот результат постепенно к произведению первых двух множителей, затем к полученному произведению и третьему множителю и т. д., мы докажем теорему в полном объёме.

Пусть тело порядка над полем может быть задано базисом

и константами где

Будем предполагать, что центр этого тела состоит только из элементов

где главная единица алгебры а пробегает поле 2. В этом случае алгебра называется нормальной. Теперь рассмотрим прямое произведение

где новое коммутативное поле. Элементы этого произведения могут быть представлены так:

где а пробегают поле Константы остаются теми же. Из соотношений (11.1), которым вполне определяется тело нельзя вывести линейных соотношений между а над полем так что мы имеем право предположить линейную независимость элементов базиса а и в алгебре и порядок будет попрежнему равен

Докажем, что в алгебре центром является Положим и поставим требование, чтобы элемент

был перестановочен с любым элементом

алгебры . Полагая получим

Из нашего условия относительно следует, что эта система уравнений (которые можно представить как линейные уравнения относительно не имеет в поле других решений, кроме

(неизвестная в них не входит, так как в силу имеем при всяком Если бы в поле эта система имела другое решение, то из неё вытекали бы линейные соотношения между а над полем чего мы не предполагаем. Отсюда

что и требовалось доказать.

Алгебра X полупроста. Это следует из того, что условие полупростоты

Предполагаемое для алгебры сохраняет силу

Алгебра X проста, как это следует из теоремы 21 и из того, что центр алгебры поле

Исследуем вопрос, является ли алгебра телом.

Это имеет место не всегда. Обратно, мы покажем, что для каждого тела существует поле для которого алгебра является полной матричной алгеброй над 2. В этом случае поле носит название поля разложения тела

Теорема 28. Каждое тело имеет поле разложения.

Доказательство. Возьмём произвольный элемент а тела и составим ряд его степеней:

Их число а потому между ними должна иметь место линейная зависимость. Таким образом а удовлетворяет уравнению

где

и все коэффициенты лежат в Пусть корни этого полинома образуют поле Тогда имеет место равенство

где ни один элемент поля не может быть равен нулю, так как в этом случае а было бы перестановочно со всеми элементами алгебры X Поэтому

где тело меньшего порядка, чем — полная матричная алгебра измерения

Продолжая такое же приведение для тела затем для вновь полученного тела и т. д., мы в конце концов придём к такому полю 2, что

или, в силу теоремы 27,

Эта формула показывает, что 2 есть искомое поле разложения.

В формуле (11.2) порядок алгебры в левой части равен , а в правой Отсюда следует

Теорема 29. Порядок всякого нормального тела (скажем общее: всякой нормальной простой алгебры) равен квадрату целого рационального числа. Введём новое понятие степени простой алгебры, т. е. степень полинома наименьшей степени, который обращается в нуль, если вместо переменной X мы подставим произвольный элемент

алгебры (Мы должны считать не элементами поля 2, а переменными, которые должны также войти коэффициенты

полинома.) При доказательстве теоремы 28 мы видели, что степень не может быть выше порядка алгебры,

Теорема 30. Если полином наименьшей степени, для которого имеет место то всякий другой полином для которого имеет место делится на

Доказательство. Пусть при делении на мы получили остаток степень которого ниже, чем степень Подставляя в тождество

получим

т. е.

что противоречит определению

Будем для краткости называть полиномом наименьшей степени, для которого

главным полиномом для а.

Определим степень нормальной простой алгебры А порядка Имеет

Теорема 31. Степень нормальной простой алгебры А порядка равна

Доказательство. Пусть 2 есть поле разложения алгебры Тоада имеет место

Из теории матриц известно, что всякая Матрица измерения удовлетворяет уравнению степени (характеристическое уравнение) и что это уравнение совпадает с главным, если выбрать матрицу так, чтобы её характеристические корни были различны. Если мы выберем в качестве базиса алгебры базис алгебры то для

получим тоже полином наименьшей степени Если при этом считать входящими в поле (или же считать независимыми

переменными), то коэффициенты этого полинома тоже будут лежать в поле 2, так как степени

линейно выраженные через базис, должны быть линейно зависимы, и эта зависимость выразится через и (последние по условию лежат в 2). Таким образом степень нормальной простой алгебры порядка равна

Пример. Разобранное в примере I § 4 тело кватерн пионов имеет базис

где

Здесь следовательно, В самом деле, элемент

удовлетворял уравнению

Чтобы найти для этого телл поле разложения, достаточно найти поле, в котором существует правый идеал. Мы видели, что для последнего достаточно, чтобы алгебра содержала идемпотент, отличный от главной единицы (см. теорему 24 и разложение Но чтобы элемент а был идемпотентом, т. е. удовлетворял уравнению

необходимо положить в уравнении (11.4)

Итак, чтобы было полем разложения, необходимо, чтобы в нём — 1 представлялась как сумма трёх квадратов. Но это и достаточно, так как в этом случае будет содержать полную матричную алгебру 2-го измерения и поэтому будет с ней совпадать,

Нетрудно видеть, что полем разложения является так как уравнения (11.5) имеют решение

и искомый идемпотент таков:

Известно, что существуют (мнимые) циклические поля сколь угодно высокой степени, в которых — 1 разлагается в сумму трёх (и даже двух) квадратов. Такие поля являются полями разложения для алгебры кватернионов, притом минимальными в том смысле, что всякое подполе такого поля уже не является полем разложения для алгебры кватернионов. В самом деле, в циклических полях каждое подполе вполне определяется своей степенью и, в частности, входит в вещественное поле, степень которого вдвое меньше степени заданного поля. Но в вещественных полях — 1 не может быть представлена как сумма квадратов.

УПРАЖНЕНИЯ

(см. скан)