§ 3. СТРУКТУРА АЛГЕБР

Пусть алгебра А задана базисом

Чтобы полностью знать её свойства, мы должны уметь выражать в форме

всякий её элемент, получающийся в результате применения трёх первых арифметических действий над заданными элементами. Это мы будем знать, если будем иметь выражения для всех произведений Пусть

или

Величины являются элементами поля и называются структурными константами алгебры.

Пусть дано констант Каким условиям они должны удовлетворять для того, чтобы составить систему структурных констант алгебры? Нетрудно убедиться, что всякой системе таких констант все аксиомы для алгебр будут удовлетворены, за исключением того, что элементы алгебры составляют полугруппу относительно умножения (т. е. что для них имеет место ассоциативный закон). Таким образом для произвольных элементов с алгебры А должно иметь место

Выразим с через базис

И наша формула перепишется так:

Чтобы это равенство соблюдалось при всевозможных необходимо и достаточно, чтобы имело место

Отсюда при помощи (3.2) мы получим

И далее

Это соотношение в силу независимости элементов базиса даёт

Эти равенства являются необходимыми и достаточными условиями для того, чтобы константы составляли систему структурных констант алгебры.

Как будут меняться константы, если мы подвергнем базис линейному преобразованию? Пусть базисы одной и той же алгебры А связаны линейной зависимостью

определитель которой отличен от нуля. Решая эту систему относительно получим

где между имеют место зависимости

Здесь при Подставляя в получим

Чтобы разрешить эту систему ураений относительно умножим каждое из них на и просуммируем по Тогда в силу (3.6) будем иметь

Если мы обозначим через структурные константы при новом базисе то они выразятся через так:

Эти формулы показывают, что система структурных констант алгебры образует тензор, притом не произвольный, а удовлетворяющий соотношениям (3.3). Таким образом изучение свойств алгебры идёт параллельно с изучением свойств некоторого тензора третьего ранга.

В некоторых алгебрах существует элемент удовлетворяющий соотношениям

при всяком X из Элемент носит название главной единицы алгебры