§ 4. ПРИМЕРЫ АЛГЕБР

1. Кватернионы. Это — исторически первый пример алгебр, предложенный свыше 100 лет тому назад Гамильтоном. Кватернионами называются элементы вида

где принадлежат некоторому полю 2 вещественных

чисел, а система независимых элементов, составляющих базис алгебры -главная единица) и удовлетворяющих уравнению

Таблица умножения для такова:

Из этой таблицы видно, что умножение для кватернионов не коммутативно.

Покажем, что в случае вещественного поля 2 алгебра кватернионов есть тело, т. е. что для каждого кватерниона существует обратный элемент, дающий при умножении на данный кватернион главную единицу 1. Для этого введём понятие кватерниона, сопряжённого с кватернионом (4.1):

Нетрудно проверить, что произведение сопряжённых кватернионов равно

Отсюда следует, что для каждого кватерниона (4.1) обратным является

В самом деле, знаменатель может в силу вещественности поля 2 быть авен нулю только при

II. Нулевая алгебра. Так называется алгебра, элементы базиса которой (а с ними и все элементы алгебры) удовлетворяют соотношениям

III. Алгебра Грассмана. Пусть нам задано элементов удовлетворяющих соотношениям

Совокупность всевозможных произведений из различных (если в произведение войдёт хоть одна единица два раза, то оно в силу (4.6) обратится в нуль) примем за базис алгебры, состоящий из

членов. Отметим, что всякие две линейные комбинации элементов

удовлетворяют условиям (4.6):

При помощи алгебры Грассмана очень легко построить теорию определителей. Пусть нам даны линейных форм:

Их произведение после раскрытия скобок будет содержать или нулевые члены или члены с Поэтому мы имеем право написать

Коэффициент зависящий от коэффициентов наших форм мы будем называть определителем системы этих форм и записывать более подробно так:

Выведем из этого определения основные свойства определителей. Труднее всего здесь доказать неизменность определителя от замены строк столбцами. Для этого введём вторую систему элементов каждый из которых пусть будет перестановочен с элементами и удовлетворяет таким же соотношениям, как (4.6):

Наряду с (4.7) введём обозначения

Умножая каждую из формул (4.7) на и суммируя по получим в силу (4.10)

Отметим, что произведения перестановочны между собой и также произведения Поэтому, возводя это равенство в степень, получим

Вводя аналогично (4.8) обозначение

где

И подставляя в (4.11) формулы (4.8) и (4.12), мы после сокращения будем иметь

Прибавление к строке определителя другой строки проводится в силу очевидного равенства

Изменение знака при перестановке строк вытекает сразу из изменения знака при перестановке множителей в левой части формулы (4.8).

Для получения формулы Лапласа достаточно разбить произведение на два множителя и в каждом раскрыть скобки. Коэффициентом при каждом произведении единиц будет минор. Беря произведение обоих множителей, получим выражение для определителя в виде суммы произведений миноров.

Для вывода теоремы об умножении определителей введём обозначения

Так как элементы подчиняются тем же законам, что и то имеет место

откуда

Но, с другой стороны,

где

откуда

т. е.

Для вывода формул Крамера умножим каждое из уравнений системы

на и просуммируем по Получим

где

Для получения выражения для умножим (4.14) слева на и справа на . В левой части все члены, кроме обратятся в нуль, и мы получим

откуда нетрудно получить формулу Крамера.

IV. Полная матричная алгебра. Обозначая через матрицу порядка, у которой на пересечении строки и колонны стоит единица, а на остальных местах нуди, мы легко получим следующие соотношения:

Рассмотрим алгебру, базис которой состоит из элементов

для которых таблицей умножения служит (4.15). Нетрудно проверить для этой алгебры ассоциативный закон. Эта алгебра носит название полной матричной алгебры так как произвольную матрицу измерения можно записать в виде

Нетрудно убедиться, что действия над элементами этой алгебры совпадают с обычными действиями над матрицами. Главной единицей в этой алгебре является

V. Групповое кольцо. Пусть элементы некоторой конечной группы Возьмём какое-нибудь поле и станем рассматривать выражения вида

где принимают всевозможные значения в поле 2. Будем производить действия над такого рода элементами, считая элементы поля перестановочными с для которых таблица умножения определяется структурой конечной группы:

Получается алгебра порядка называемая групповым кольцом. В ней главной единицей является единица группы.

УПРАЖНЕНИЯ

(см. скан)