§ 16. ЦИКЛИЧЕСКИЕ АЛГЕБРЫ

Рассмотрим подробнее структуру циклических алгебр, т. е. таких скрещенных произведений, у которых группа Галуа поля циклическая. Пусть циклическое поле относительно и пусть

его группа Галуа. Элементы удовлетворяют соотношениям

в силу чего элементы

тоже составляют -базис алгебры играют ту же роль, что и

в силу чего мы можем принять

так что

т. е.

Положим

Тогда

Имеет место

Теорема 45. а есть элемент поля Доказательство. Из формулы (14.1)

полагая имеем

откуда следует, что остаётся инвариантным при всех автоморфизмах группы и потому входит в 2.

Теорема имеет место тогда и только тогда, когда а может быть представлен как норма элемента поля

Доказательство, равносильно условиям

Беря будем иметь

Перемножая, получим

Обратно, если то, полагая

мы будем в случае иметь

если же то

и мы получим для выражение

откуда

что и нужно.

Ьудем обозначаешь Циклическую алгебру, заданную полем автоморфизмом 5 и величиной а, символом Имеет место

Теорема 47. Циклическая алгебра степени является телом, если есть самая низшая положительная степень числа а, являющаяся нормой числа из

Доказательство. При сделанных предположениях допустим противное, именно допустим, что А не есть тело. Тогда А содержит полную матричную алгебру где

Если один из идемпотентов алгебры то А содер правый идеал порядка

Пусть

будет базис идеала При его помощи можно получить полулинейное представление алгебры А. Пусть, в самом деле,

где элемент из матрица измерения с коэф фициентами из Беря в качестве и элемент и пользуясь формулой

получим

Но из следует

Обозначая через определитель матрицы и беря от обеих частей этого равенства определители, получим

т. е.

что в силу противоречит предположениям теоремы. Итак, А есть тело.