§ 10. ПРОСТЫЕ АЛГЕБРЫ

Перейдём к исследованию простых алгебр. Важнейшим типом простых алгебр являются тела, т. е. алгебры, в которых все отличные от нуля элементы образуют группу относительно умножения.

Теорема 22. Тело есть простая алгебра. Доказательство. Мы видим, что всякая непростая алгебра содержит или нильпотентные элементы, или идемпотенты для которых ясно, что такого рода элементы не имеют обратных элементов.

Другим примером простых алгебр является рассмотренная нами в § 4 (пример IV) полная матричная алгебра.

Теорема 23. Полная матричная алгебра есть простая алгебра.

Доказательство. Допустим противное: пусть содержит двусторонний идеал и пусть в содержится элемент

где хоть один коэффициент, например, отличен от нуля. Тогда в будет содержаться также элемент

где любые значки. Это показывает, что совпадает с Таким образом не содержит отличных от себя двусторонних идеалов, т. е. есть простая алгебра, Вместе с тем формула

показывает, что не есть тело.

Каждой строке матрицы соответствует правый идеал алгебры М:

а каждому столбцу соответствует левый идеал. Эти идеалы простые, так как не содержат никаких подидеалов. В самом деле, пусть содержит идеал D, имеющий элемент

Тогда содержит также элементы

т. е. все элементы идеала

Отметим, однако, что эти простые правые (левые) идеалы не единственны. Например, идеал

тоже простой и имеет тот же порядок, что

В этом параграфе мы покажем, что изучение простых алгебр может быть приведено к изучению тел и полных матричных алгебр. Для этого необходимо ввести новое понятие прямого произведения двух алгебр. Пусть две алгебры. Будем рассматривать формальные произведения элементов А и элементов В, в которых множители будем считать перестановочными (из этого, конечно, не следует, что алгебры коммутативны). Совокупность сумм произведений а где составляет алгебру, у которой закон композиции определяется законами композиции алгебр В самом деле,

Эта алгебра называется прямым произведением алгебр и обозначается так:

Если базисы алгебр то базисом алгебры служит система произведений

в силу чего порядок прямого произведения равен произведению порядков сомножителей.

Понятие прямого произведения может без труда быть перенесено на любое число сомножителей.

В частности, расширение поля коэффициентов алгебры может быть истолковано как прямое умножение алгебры на расширенное поле.

Среди простых алгебр тела выделяются следующим критерием.

Теорема 24. Простая алгебра является телом тогда и только тогда, когда она не содержит отличных от себя самой правых (или левых) идеалов.

Доказательство. Если простая алгебра содержит правый идеал В, т. е. если

то, выбрав внутри В какой-нибудь элемент обозначив через базис алгебры мы увидим, что элементы

содержатся в В и потому не независимы. Пусть

т. е.

а это равенство показывает, что внутри не существует элемента, обратного к

Обратно, предположим, что не является телом. Это означает, что А содержит элемент а, не имеющий обратного элемента. Поэтому правый идеал не содержит главной единицы алгебры т.е. не исчерпывает всей алгебры Таким образом содержит отличный от правый идеал. Аналогично можно доказать, что является отличным от левым идеалом.

Опишем способ разложения алгебры в сумму односторонних (например, правых) идеалов. Если есть простой правый идеал алгебры то он в силу теоремы 3 или нильпотентен или содержит идемпотент. В первом случае есть отличный от правый идеал, и в силу простоты

Но тогда алгебра содержит двусторонний идеал который нильпотентен в силу

Если алгебра А полупростая, то содержи идемпотент Правый идеал содержится в и силу простоты последнего

Способ разложения состоит в представлении каждого элемента алгебры в форме

Если заставить пробегать а всю алгебру то а пробежит весь правый идеал некоторый правый идеал, который взаимно прост с В самом деле, если

то, умножая слева на мы получим

Итак, мы пришли к разложению

Если — непростой правый идеал, то в нём можно найти простой правый идеал алгебры Продолжая разложение, мы в конце концов получим:

где простые правые идеалы алгебры В этом разложении главная единица представится так:

где

Возьмём Тогда

но, с другой стороны,

и в силу однозначности разложения

В частности, беря получим

и вообще

При этом в силу простоты идеала

откуда

Обратно, если главная единица разлагается на систему идемпотентов, удовлетворяющих равенствам (10.3), то, полагая мы будем иметь

В самом деле, для любого а из имеет место

Такое разложение однозначно, так как из

умножая слева на мы получим

Пользуясь идемпотентами (10.3) и полагая

где левый идеал, мы точно таким же образом получим разложение

где тоже простые идеалы, так как в противном случае мы бы получили большее число идемпотентов (10.3) и, значит, разложение А на большее число правых идеалов.

Теперь приступим к доказательству основной теоремы этого параграфа.

Теорема 25. Всякую простую алгебру можно представить как прямое произведение некоторого тела и полной матричной алгебры. Доказательство. Пусть

где простые идеалы простой алгебры А, Произведение есть двусторонний идеал, который содержит потому не равен нулю, в силу чего

Далее, полагая

и разлагая А так:

мы убедимся, что при этом разложении разложение элементов однозначно, так как из

умножая слева на мы, в силу

получим

далее, умножая это равенство справа на будем иметь

В силу простоты имеет место

Выберем из элемент Тогда

есть правый идеал, и в силу простоты идеала

Выберем в каждой из линейных систем по элементу следующим образом: в качестве возьмём идемпотенты Затем внутри

выберем произвольно, но так, чтобы

Далее, определим из уравнений

(это всегда выполнимо, так как, умножая (10.7) Справа на мы будем иметь

а потому уравнение (10.8) всегда имеет решение). Наконец, определим при помощи формул

Тогда имеет место

так как

Все элементы линейно независимы в силу однозначности разложения

и удовлетворяют равенствам, определяющим базис полной матричной алгебры. Обозначим алгебру с этим базисом через

Для выделения внутри А тела, элементы которого перестановочны с предварительно заметим, что алгебра А есть тело. В самом деле, в противном случае его главная единица распадалась бы на сумму идемпотентов, при помощи которых разлагался бы в сумму правых идеалов, что противоречит простоте

Построим новое тело, изоморфное с элементы которого были бы перестановочны с элементами алгебры Имеет место

Приведём в соответствие с каждым элементом алгебры где произвольный элемент алгебры элемент

Это соответствие явлйется изоморфизмом, так как сумме элементов соответствует сумма

а произведению произведение

Каждый из образованных таким образом элементов перестановочен со всеми

Обратно, каждому такому элементу однозначно соответствует элемент из так как

Обозначим полученное тело через Докажем, что прямое произведение исчерпывает всю алгебру А. В самом деле,

причем

так что в форме

можно представить всякий элемент алгебры С другой стороны, из (10.9) следует, что всякий элемент алгебры А может быть представлен в форме

Это представление однозначно, так как из равенства

умножая его слева на и справа на мы получим

если

и далее

так что

Теорема доказана.

Имеет место также обратная теорема. Теорема 26. Всякое прямое произведение полной матричной алгебры на тело есть простая алгебра.

Доказательство. Допустим противное: пусть это произведение имеет двусторонний идеал и пусть

причём пусть Отсюда

умножая на элемент, обратный к получим

при любом откуда следует, что любой элемент алгебры А содержится в

Теорему 25 можно ещё формулировать так: Всякий элемент простой алгебры может быть представлен как матрица с элементами из некоторого косого поля.

УПРАЖНЕНИЯ

(см. скан)