1.4. Произвольный треугольник

1.4.1. Четыре замечательные точки в треугольнике

Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся в ней в отношении считая от вершины. Эта точка называется центром тяжести.

Высоты треугольника пересекаются в одной точке. Эта точка называется ортоцентром.

Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке. Эта точка является центром вписанной окружности.

Перпендикуляры, проведенные к сторонам треугольника через их середины, пересекаются в одной точке. Эта точка является центром описанной окружности.

1.4.2. Средняя линия треугольника

Параллельна основанию.

Равна половине основания.

Делит пополам любой отрезок, соединяющий вершину треугольника с какой-либо точкой основания.

1.4.3. Свойство биссектрисы треугольника

Пусть в треугольнике проведена биссектриса Тогда (биссектриса делит основание на части, пропорциональные боковым сторонам).

1.4.4. Определение вида треугольника по его сторонам

Пусть с — наибольшая из трех сторон треугольника.

Если то треугольник остроугольный.

Если то треугольник прямоугольный.

Если то треугольник тупоугольный.

1.4.5. Площадь

1.4.6. Формулы для вычисления радиусов R и r

1.4.7. Соотношения между сторонами и углами

(теорема косинусов).

(теорема синусов).

1.4.8. Три важные теоремы о площадях

Если два треугольника подобны, то их площади относятся как квадраты соответствующих сторон.

Если у двух треугольников равны основания, то площади относятся как соответствующие высоты.

Если одна высота одного треугольника равна одной высоте другого треугольника, то площади относятся как стороны, к которым проведены эти высоты.