6. Вписанные шары

6.1. Шар и пирамида

Центр вписанного шара — точка пересечения биссекторных плоскостей, построенных для всех имеющихся в пирамиде двугранных углов; если эти биссекторные плоскости не имеют общей точки, то шар вписать нельзя.

Частный случай: боковые грани пирамиды равнонаклонены к плоскости основания. Тогда:

шар вписать можно;

центр О шара лежит на высоте пирамиды, конкретнее — это точка пересечения высоты с биссектрисой угла между апофемой и проекцией этой апофемы на плоскость основания.

6.2. Шар и прямая призма

В прямую призму можно вписать шар тогда и только тогда, когда:

в основание призмы можно вписать окружность,

диаметр этой окружности равен высоте призмы.

Центром шара служит середина отрезка, соединяющего центры вписанных в основания окружностей.

где — радиус вписанного шара; — радиус вписанной в основание окружности; Н — высота призмы.

6.3. Шар и цилиндр

В цилиндр можно вписать шар тогда и только тогда, когда осевое сечение цилиндра — квадрат (такой цилиндр иногда называют равносторонним). Центром шара служит центр симметрии осевого сечения цилиндра.

6.4. Шар и конус

В конус можно вписать шар всегда. Центром шара служит центр окружности, вписанной в осевое сечение конуса.

6.5. Шар и усеченный конус

В усеченный конус можно вписать шар тогда и только тогда, когда

где — радиусы оснований; — образующая.

Центром шара служит середина отрезка, соединяющего центры оснований.

где — радиус вписанного шара; — высота усеченного конуса.