Примеры линейных кодов.

Рассмотрим простейший линейный код — код с одной проверкой на четность. Этот код независимо от длины кодовой комбинации содержит всего один проверочный элемент. Этот элемент выбирается таким, чтобы его сумма по модулю 2 со всеми информационными элементами равнялась нулю. При этом каждая кодовая комбинация содержит четное число единиц. Если в принятой кодовой комбинации окажется нечетное число единиц, то делается вывод о наличии в ней ошибок. Очевидно, что такой код обнаруживает любое нечетное число ошибок.

Производящая и проверочная матрицы такого кода имеют вид:

Для такого кода отношение числа информационных элементов k к длине кодовой комбинации (скорость кода) определяется выражением

кодовое расстояние равно двум, а вероятность необнаруженной ошибки

где суммирование осуществляется по всем четным значениям

Рассмотрим еще один пример линейных кодов — коды Хэмминга. К ним обычно относят коды с исправляющие все одиночные ошибки и коды с исправляющие все одиночные и обнаруживающие все двойные ошибки. Для исправления всех одиночных ошибок число синдромов должно быть Из них синдромов используются для указания местоположения ошибки и один — нулевой, соответствует их отсутствию. Следовательно, Последнее выражение можно переписать в виде

Используя (7.11), можно подобрать при известном k требуемое число .

Пример 7.5. Пусть . Требуется найти с помощью (7 11) значение п. Задавая значения при получим а при Так как , то выбираем Такой код может быть задан производящей матрицей или проверочной.

Рассмотрим далее код Хэмминга с . Операция кодирования для такого кода может выполняться в два этапа. На первом этапе определяется кодовая комбинация с использованием матрицы Н, соответствующей коду с на втором добавляется один проверочный символ, представляющий собой результат суммирования по модулю 2 всех элементов кодового слова, полученного на первом этапе.

Операция декодирования также состоит из двух этапов. На первом — вычисляется синдром, соответствующий коду с на втором — проверяется последнее проверочное соотношение.

Пример 7.6. На основе кода (6,3), заданного проверочной матрицей (7 7), построить код Хэмминга с

Проверочная матрица такого кода будет иметь вид:

Такой код имеет дополнительное проверочное соотношение

и дополнительным элемент синдрома

Если синдром не равен нулю, а то это говорит о том, что произошла ошибка. Если не равен нулю и , то это является признаком того, что была однократная ошибка. При равенства нулю синдрома имеет место ошибка нечетной кратности

К линейным кодам относится также код с простым повторением, в основу которого положен метод повторения исходной кодовой комбинации. Декодирование осуществляется путем сравнения первой (информационной) и второй (проверочной) частей кода. При несовпадении этих частей комбинация бракуется. Скорость такого кода равна 1/2, а кодовое расстояние Проверочная матрица записывается в виде где b — единичная матрица. Такой код позволяет обнаружить все виды ошибок за исключением ошибок в «парных» элементах, т. е. элементах, стоящих на одних и тех позициях в первой и второй комбинациях.

В [7.1] можно найти описание других линейных кодов, которые находят применение в технике ПДС.