3.9. Бимолекулярная модель

В 1968 г. Лефевром [66] была предложена гипотетическая модель, основанная на бимолекулярной реакции. Эта модель для некоторых значений параметров имеет периодическое решение, представляющее собой предельный цикл.

Схема реакции. Схема реакции состоит из следующего набора реакций, включающих два промежуточных компонента (X и Y) [66]:

Дифференциальные уравнения. Кинетические уравнения представляют собой два нелинейных дифференциальных уравнения относительно концентраций X и Y; нелинейность здесь представлена простыми степенными величинами, такими, как

Решения математической модели. Эта модель обладает единственной особой точкой, которая в результате

Рис. 32. Предельный цикл модели брюсселятора [67].

бифуркации затем переходит в неустойчивую особую точку и окружающий ее устойчивый предельный цикл (рис. 32) [67].

Бифуркационный анализ. Так как дифференциальный уравнения достаточно просты, они могут быть непосредственно использованы в бифуркационном анализе. Единственная особая точка системы при соответствует значениям

Матрица коэффициентов для линеаризованных уравнений при имеет вид

Три условия Пуанкаре, как показано в работе Гарела [53], могут быть сформулированы следующим образом:

1. Детерминант матрицы коэффициентов становится равным нулю, и, следовательно, это условие выполняется при

2. Изменение устойчивости соответствует характеристическому уравнению решение которого дает .

при т. е. при значениях параметров

3. В действительности два решения, соответствующие особой точке подвергаются бифуркации; новое решение представляет собой устойчивый предельный цикл. Для точки с величинами параметров лежащей в плоскости параметров, Лефевр и Николис [67] получили решения, соответствующие предельному циклу и неустойчивой особой точке одновременно.