3.6. Колебания в гликолизе

Колебания в гликолитической системе наблюдались многочисленными исследователями, наиболее ранней (1957 г.) является работа Дайсенса и Амеца [32]. Было найдено, что при добавлении глюкозы (GLU) в гликолитической системе возникают колебания концентрации восстановленного фосфопиридинового нуклеотида (NADH). Подобные колебания концентрации NADH в клеточном экстракте были обнаружены позднее Чансом и др. [23], а затем Гош и Чанс [41] описали в той же системе колебания концентраций фруктозо-1,6-дифосфата FDP и глюкозо-6-фосфата (рис. 18).

Рис. 18. Колебания концентраций FDP и G6P [41].

Механизм реакции. Общий химический механизм, используемый для объяснения гликолитических колебаний, был сформулирован Хиггинсом [56] на основе уже известной химии фосфофруктокиназы и связанных с нею гликолитических интермедиатов:

где — фосфофруктокиназа (фермент); (субстрат); (продукт); — смесь альдолазы и изомеразы триазофосфата (фермент); GAP — глицеральдегидфосфат (продукт). Этот же механизм может быть записан в общем виде как

Колебания типа предельного цикла в основном относятся к колебаниям концентрации пары Кроме того, периодически меняется концентрация глюкозы, превращающейся в на первой стадии по реакции первого порядка. На второй стадии активированная форма фосфофруктокиназы действует как фермент, а проявляет на этой стадии активирующее действие. Конечным продуктом реакции является глицеральдегидфосфат

Модели колебательных реакций в гликолизе

Модель 1. Модель обратной активации. В 1967 г. Хиггинс предложил несколько моделей для гликолитической системы, основанные на механизмах обратной

связи по типу обратной активации, обратного ингибирования, прямой активации и прямого ингибирования. Мы рассмотрим здесь модель, в основе которой лежит механизм обратной связи по типу обратного активирования. В этом случае реакция может быть представлена уравнениями

где

Решением этой модели является устойчивая особая точка, в которой проявляются бифуркации, приводящие к появлению устойчивого предельного цикла.

Модель 2. Предложенная Сельковым [103] модель гликолитической системы основана на превращениях фосфофруктокиназы:

где — это ATP, поставляемый со скоростью и необратимо превращающийся в — это ADP, продукт, который выводится со скоростью -(неактивный) свободный фермент фосфофруктокиназа PFK. Е становится активным в сочетании с несколькими молекулами продукта, образуя комплекс степень активации PFK гликолитическими интермедиатами ADP и АМР.

Если обозначить можно получить следующие дифференциальные уравнения:

Учитывая, что пределы изменений последних трех производных малы, модель можно упростить, сведя ее от пяти к двум уравнениям. Произведя замену

получаем новые дифференциальные уравнения:

Если скорость гликолитических изменений очень мала эти уравнения еще более упрощаются:

и для некоторых значений параметров модель соответствует устойчивому предельному циклу (рис. 19).

Рис. 19. Предельный цикл модели Селькова [103].

Модель 3. Предыдущая математическая модель гли-колитической системы в 1968 г. была проанализирована и проверена Сельковым [9], в результате чего им была создана новая модель:

где

Несколько измененный в 1973 г. Сельковым совместно с Бетцем [105] вариант этой модели по-прежнему дает решение в виде только одной устойчивой особой точки и устойчивый предельный цикл, соответствующий колебательному характеру реакции.

Тогда как в ранних моделях Селькова существует единственный предельный цикл, более поздние его модели имеют множественность решений как колебательных, так и неколебательных. И эти последние математические модели чрезвычайно интересны, так как это самые ранние модели биохимических колебаний, которые четко показывают наличие решений более сложных, чем простой предельный цикл. Такие решения характерны для большинства химических колебательных реакций, за исключением систем в моделях ППР.

Модель 4. Множественные особые точки и множественные предельные циклы.

а) Одна из ранних моделей Селькова [104] основана на реакции катализируемой ферментом Е, действие которого в свою очередь ингибируется активной формой кофермента

Схеме соответствуют дифференциальные уравнения

где . В зависимости от изменения параметров эта модель может давать различные решения: 1) единственную особую точку; 2) три особые точки в области устойчивого предельного цикла; 3) те же решения, что и в случае 2, с дополнительным неустойчивым предельным циклом.

б) Схема открытой ферментативной реакции. Эта схема, предложенная Сельковым и Каймачниковым [6], представляет собой вариант предыдущей модели Селькова.

где — субстрат, ингибирующий действие фермента Е; А, В — формы ферментов; Р — продукт.

Здесь — скорость образования — скорость превращения неактивной формы В в реагирующую форму, v — скорость реакции .

Заменив S и А на х и у соответственно, можно получить дифференциальные уравнения в виде

где При решении этой системы уравнений получаются множественные предельные

Рис. 20. Множественные предельные циклы: один устойчивый (УПЦ) и два неустойчивых (НПЦ), а также множественные особые точки: два устойчивых фокуса и одна особая седловая точка [6].

Рис. 21. Один неустойчивый предельный цикл вокруг устойчивой особой точки и один устойчивый предельный цикл вокруг особой точки и неустойчивого предельного цикла [10].

циклы и множественные особые точки, как показано на рис. 20.

в) Еще одна модель с множественными решениями была предложена в 1979 г. Сельковым с сотр. [10]. В этой модели схема реакции представлена в следующем виде:

Схеме соответствуют дифференциальные уравнения

где

В этой модели устойчивые особые точки расположены внутри устойчивого предельного цикла и отделены от него неустойчивым предельным циклом (рис. 21).

Модель 5. Сосуществование устойчивого предельного цикла и устойчивой особой точки. В этой модели Дынника, Селькова и Семашко [За] рассматриваются гликолитические стадии, включающие реакции, катализируемые фосфофруктокиназой (PFK), аденилаткиназой (ADK) и обобщенным ферментом .

Схема реакции:

Рассматриваются различные реакции:

1) Фосфорилирование фруктозо-6-фосфата F6P, катализируемое фосфофруктокиназой PFK.

2) Обратимое фосфорилирование ADP, катализируемое аденилаткиназой ADK.

3) Фосфорилирование ADP, катализируемое ферментом Ее, действие которого эквивалентно общему эффекту на гликолитических стадиях и стадиях окислительного фосфорилирования.

Дифференциальные уравнения для этой схемы имеют вид

При подстановке дифференциальные уравнения принимают следующий вид:

и если , то

где v рассчитано из предыдущего выражения для V. Решения этих уравнений указывают на существование двух стационарных состояний одно отвечает устойчивому (или неустойчивому) фокусу, другое — седловой точке. Получены следующие решения (рис. 22).

1. Нет ни одного особого решения в конечной области.

2. Единственное особое решение.

3. Два особых решения, одно седло один неустойчивый фокус и устойчивый предельный цикл.

4. устойчиво, — седло, окружено неустойчивым предельным циклом.

5. устойчиво, — седло, окружено неустойчивым предельным циклом, который также окружен устойчивым предельным циклом.

6. Si неустойчиво, — седло.

Рис. 22. Сосуществование устойчивого предельного цикла и устойчивой особой точки, окруженных неустойчивым предельным циклом [За].

Модель 6 [36]

Кинетическая схема

— глицеральдегидфосфат — неорганический фосфат; — коферменты — константа скорости введения — скорость введения и Ко — соответственно максимальная скорость введения и константа скорости протекания (просачивания)

Считается, что реакции, катализируемые альдолазой (ALD) и триозофосфат-изомеразой, протекают с высокой скоростью и быстро достигается состояние равновесия. Таким образом, концентрации фруктозо-1,6-дифосфата (FDP), глицеральдегидфосфата (GAP) и дигидроксиаце-тонфосфата (DHAP) изменяются синфазно, что может быть записано как

где — константы равновесия соответствующих реакций. Выведены дифференциальные уравнения

в которых

Полученный в качестве решения этих уравнений предельный цикл приведен на рис. 23.

Рис. 23. Простой предельный цикл [36].

Модель 7. Двойной периодический предтьный цикл. При экспериментальном исследовании колебаний концентрации NADH и других гликолитических интермедиатов Паем и Чансом [86] в 1966 г. наблюдались двухчастотные колебания концентрации NADH (рис 24).

Рис. 24. Двойные колебания NADH [8].

Кинетическая схема. К двойным периоцическим решениям приводит модель Селькова и Дынника [3в], соответствующая следующей схеме гликолитической реакции:

где глицеральдегидфосфат-дегидрогеназа (GAPDH); - глицерофосфат-дегидрогеназа фосфатглицераткиназа пируваткиназа обобщенная АТРаза; смесь глицеральдегид-фосфата (GAP), дигидроксиацетонфосфата (DHAP) и смесь фосфоенолпирувата (РЕР), -фосфоглицерата ); и и АТР соответственно. На схеме пунктирными линиями обозначены активация PFK продуктом ADP, активация и ингибирование GAPDH субстратом

Математическая модель. Кинетическое уравнение для скорости фосфофруктокиназиой (PFK) реакции, предложенное Сельковым и Бетцем [105], имеет вид

Скорость реакции, катализируемой глицеральдегид-фосфатдегидрогеназой GAPDH, Дынник и Сельков [36] представили уравнением

В той же работе дано уравнение для скорости реакции, катализируемой -глицерофосфатдегидрогеназой :

Соответственно скорости реакций, катализируемых записываются следующим образом:

Исключив быструю переменную Z, получаем

Рис. 25. Двойные колебания

где — смесь GAP, DGAP, смесь

Решения этой математической модели представляют собой двойные колебания, показанные на рис. 25.

Модель 8. Сложное поведение в гликолизе. а) Шулмейстер и Сельков [102] рассмотрели автоколебательную открытую ферментативную реакцию типа в сочетании с обратимым «депонированием» субстрата X и предложили следующую математическую модель из трех дифференциальных уравнений:

Рис. 26. "Складчатый" предельный цикл [102].

Решения математической модели. Периодическим решением с несколькими максимумами, как показали авторы, является «складчатый» (folded) предельный цикл (рис. 26).

б) Другая, предложенная Шулмейстером, модель также состоит из трех дифференциальных уравнений:

где — гликоген). Решения этой модели соответствуют хаотическим колебаниям (рис. 27).

в) Еще одно сложное периодическое решение получено Сельковым [106] (рис. 28).

г) Каймачниковым и Шулмейстером [63] была изучена и описана открытая односубстратная ферментативная реакция с субстратным ингибированием и обратимым «депонированием» продукта.

Схема реакции

Рис. 27. Хаотическое решение для гликолиза [101].

Рис. 28. Сложное поведение в гликолизе [106].

где S — субстрат, Р — продукт, — депонированная форма продукта, — скорости введения S и выведения Р, v — скорость реакции, — соответственно скорости прямой и обратной реакции «депонированной» формы субстрата.

Математическая модель

Рис. 29. По данным Каймачиикова и Шулмейстера [63].

Рис. 30. По данным Каймачиикова и Шулмейстера [63].

— максимальная скорость реакции.

Фазовые траектории решений модели для представлены на рис. 29, при этом значения равны а) 0,023; б) 0,0234; в, г) 0,02365; д) 0,025 и е) 0,0254.

Если сравнить рис. 29, б, г - е с мультипериодическими предельными циклами, в общем виде представленными на рис. 54, то близость между решениями данной

математической модели и возможными типами предельных циклов, полученных в общем виде, становится очевидной.

Кроме решений, представленных на рис. 29, Шулмейстером и Каймачниковым [63] был получен набор решений, соответствующих более сложному поведению системы (рис. 30).