3.4. Проточный реактор с перемешиванием (ППР) [7, 14, II, 47]

ППР 1 [14]. Многочисленные особые точки и предельный цикл, ответственные за наличие колебаний в химических реакциях, осуществляемых в проточном реакторе с перемешиванием, впервые были приведены в работе

Сальникова [7], на которую впоследствии ссылались Би-Лоус и Амундсон [14]. Эти исследователи показали, что реакция ППР необратима, экзотермична и подчиняется кинетическому уравнению первого порядка. В стационарном состоянии накопление тепла равно его расходованию. Тогда из уравнений баланса массы и тепла можно получить следующее выражение:

где q — объемная скорость потока входящего реагента, с — удельная теплота, г — плотность, — концентрация А во входящем потоке, Т — температура, — температура входящего потока, U — произведение площади сечения потока на коэффициент переноса теплоты, Т — средняя температура охлаждающей смеси в змеевике холодильника внутри реактора, V — объем реактора, Н — теплота реакции экзотермическая реакция), — частотный фактор константы скорости реакции, Е — энергия активации, — константа скорости реакции.

Дифференциальные уравнения [14]. Два дифференциальных уравнения для концентрации А и температуры Т могут быть написаны в следующем виде:

где

Математические решения. Билоус и Амундсон обсуждают множественные решения системы и при этом рассматривают следующие три возможности в плоскости решений: единственная особая точка, две особые точки и три особые точки. Рассмотрена устойчивость этих особых

точек и обсуждены устойчивые периодические решения, соответствующие незатухающим колебаниям. В работе также обсуждается анализ устойчивости особых точек по Ляпунову (второй метод).

ППР 2 [11]. Арис и Амундсон [11] исследовали математическую модель, несколько отличную от предыдущей. Дифференциальные уравнения имеют вид

Решения математической модели. Здесь также были получены множественные решения, включая устойчивый и неустойчивый предельные циклы. Особый интерес в Этом случае представляет возможность прекращения колебаний, т. е. контроля поведения системы. Кроме того, в данной работе авторы, ссылаясь на теорию бифуркаций Пуанкаре, показывают, что параметр играет в системе роль бифуркационного параметра.

ППРЗ [47]. Дальнейшие изменения рассматриваемая математическая модель реакции в ППР претерпела в работе Гарела и Лапидуса [47], которые приводят следующие дифференциальные уравнения:

Решения и бифуркационный анализ системы в ППР. Плоский предельный цикл, полученный решением этой модели, устойчив как в собственной области, так и за ее пределами (рис. 12).

Бифуркационный анализ системы [112, 113, 87]. Для того чтобы найти все решения, включая периодические, для математической модели системы в ППР, Уппал и др. [112] применили теорию бифуркаций. Для этого были использованы упрощенные формы уравнений, изучаемых Гарелом и Лапидусом [47]; в частности, коэффициенты были приняты равными единице:

Рис. 12. Предельный цикл экзотермической химической реакции первого порядка в ППР [47].

Бифуркационный анализ этой системы подробно разобран в работе Рея [87]. Решениями системы являются три особые точки и предельные циклы, характеризующие колебательное поведение реакции. Следует отметить, что математическая модель системы гликолиза, изученная Сельковым, дает очень похожие (топологически) на получаемые в модели ППР три особые точки и предельные циклы, хотя и сами системы, и дифференциальные уравнения их моделей весьма различны (см. разд. 3.5).