2. Постановка основных вопросов.
Предельный переход встречается в анализе на каждом шагу и часто бывает важно знать, какими функциональными свойствами обладает предельная функция. Главные из таких свойств для анализа — непрерывность, дифференцируемость, интегрируемость. Значит, важно выяснить, будет ли предельная функция непрерывной, дифференцируемой или интегрируемой, если соответствующим свойством обладали допредельные функции. При этом особенно важно найти достаточно удобные в работе условия, при выполнении которых из сходимости функций следует сходимость производных или интегралов от этих функций к производной или интегралу от предельной функции.
Как показывают разобранные выше простейшие примеры, без каких-либо дополнительных условий соотношение
на
при
вообще говоря, не влечет ни непрерывности предельной функции, даже при непрерывности функций
ни соотношений
или
даже, если все указанные производные и интегралы определены.
Действительно, в примере 1 предельная функция разрывна на отрезке [0, 1], хотя допредельные функции непрерывны на нем;
в примере 2 производные
допредельных функций вообще не сходятся, а значит, не сходятся и к производной от предельной функции, которая в данном случае тождественно равна нулю;
в примере 4
при любом значении
в то время как
в примере 5 каждая из функций
равна нулю всюду, кроме конечного числа точек, поэтому
на любом отрезке
в то время как предельная функция вообще не интегрируема ни на каком отрезке числовой оси.
Вместе с тем:
в примерах 2, 3, 4 непрерывны как допредельные, так и предельные функции;
в примере 6 предел производных
функции последовательности
совпадает с производной от предельной функции этой последовательности;
в примере
при
Наша основная цель — выяснить, в каких же случаях предельные переходы под знаком интеграла или под знаком дифференцирования законны.
Рассмотрим в этой связи еще
Пример 6. Мы знаем, что при любом
но после приведенных примеров мы понимаем, что соотношения
вообще говоря, нуждаются в проверке.
В самом деле, если равенство
понимать в том смысле, что
где
то соотношения
в силу линейности операций дифференцирования и интегрирования равносильны равенствам
к которым мы теперь должны относиться с осторожностью.
В данном случае оба соотношения (2), (3) легко проверяются, поскольку известно, что при любом
Однако представьте себе, что равенство (1) является определением функции
Ведь именно так обстояло дело с определением функций
для комплексных значений аргумента. Тогда нам нужно было бы свойства возникшей новой функцни (ее непрерывность, дифференцируемость, интегрируемость), как и законность равенств (2), (3), извлекать непосредственно из того, что эта функция является пределом последовательности частичных сумм написанного ряда.
Главным понятием,
помощью которого в § 3 будут получены достаточные условия законности указанных предельных переходов, является понятие равномерной сходимости.