2. Согласование ориентации поверхности и края.

Если в евклидовом пространстве фиксирован ориентирующий орторепер который индуцирует в декартовы координаты то векторы на краю полупространства задают ориентацию, которую считают согласованной с заданной репером ориентацией полупространства

Мы хотим теперь в общем случае определить, что значит согласованность ориентации поверхности и края. Это весьма важно для практики вычислений, связанных с поверхностными интегралами, о которых будет речь ниже.

Прежде всего убедимся в том, что имеет место следующее общее

Утверждение 2. Край гладкой ориентируемой поверхности сам является гладкой ориентируемой поверхностью (быть может, и несвязной).

С учетом утверждения 1 нам остается только проверить ориентируемость Покажем, что если — ориентирующий атлас поверхности с краем атлас края тоже состоит из попарно согласованных карт. Для этого, очевидно, достаточно проверить, что если есть диффеоморфизм с положительным якобианом окрестности точки окрестность точки то положительный якобиан имеет также отображение окрестности точки на окрестность точки

Заметим, что в любой точке якобиан отображения имеет вид

поскольку при должно быть также (граничные точки переходят при диффеоморфизме в граничные. Остается заметить, что при должно быть также (ведь поэтому значение не может быть отрицательным. По условию и раз , то из указанного равенства определителей следует, что якобиан отображения положителен.

Определение 3. Если ориентирующий атлас стандартных локальных карт поверхности с краем то есть ориентирующий атлас края. Задаваемая им ориентация края называется ориентацией края, согласованной с ориентацией поверхности.

Заканчивая рассмотрение ориентации края ориентируемой поверхности, сделаем два полезных замечания,

Замечание 1. На практике, как уже отмечалось выше, ориентацию лежащей в поверхности часто задают репером касательных к поверхности векторов, поэтому, проверку согласованности ориентации поверхности и ее края в этом случае осуществляют следующим образом. Берут -мерную плоскость касательную к гладкой поверхности в точке края Поскольку локально структура поверхности около точки такая как и структура полупространства около точки то, направив первый вектор ориентирующего 5 орторепера по нормали к и в сторону внешнюю по отношению к локальной проекции 5 на получают в -мерной плоскости касательной к в точке репер который и задает ориентацию а значит, и согласованную с заданной репером ориентацией поверхности

На рис. 77 — 80 на простых примерах показаны процесс и результат согласования ориентаций поверхности и ее края.

Отметим, что описанная схема, по существу. предполагает, что на 5 возможно задание непрерывного поля реперов касательных пространств поскольку мы должны иметь возможность переносить задающий ориентацию 5 репер в разные точки поверхности и ее края, который, как видно из примеров, может быть и несвязным.

Замечание 2. В ориентированном пространстве рассмотрим полупространства с индуцированной из ориентацией. Гиперплоскость является общим краем и . Легко видеть, что ориентации гиперплоскости Г, согласованные с ориентациями и , противоположны.

Аналогично, если ориентированную -мерную поверхность разрезать некоторой -мерной поверхностью (например, сферу — эквдтором), то на указанном разрезе возникнут две противоположные ориентации, - индуцированные ориентациями примыкающих к разрезу частей исходной поверхности.

Этим наблюдением часто пользуются в теории поверхностных интегралов.

Кроме того, им можно воспользоваться, чтобы следующим образом определить ориентируемость кусочно гладкой поверхности.

Дадим прежде всего определение такой поверхности.

Определение 4 (индуктивное определение кусочно гладкой поверхности). Точку условимся относить к нульмерным поверхностям любого класса гладкости.

Кусочно гладкой одномерной поверхностью (кусочно гладкой кривой) назовем такую кривую в которая после удаления из нее конечного или счетного числа некоторых нульмерных поверхностей (точек) распадается на гладкие одномерные поверхности (кривые).

Поверхность размерности назовем кусочно гладкой, если из нее можно так удалить конечное или счетное число кусочно гладких поверхностей размерности не выше что остаток распадется на гладкие -мерные поверхности краем или без края).

Пример 4. Граница плоского угла и граница квадрата суть кусочно гладкие кривые.

Граница куба или граница прямого кругового конуса в суть двумерные кусочно гладкие поверхности.

Вернемся теперь к ориентации кусочно гладкой поверхности.

Точку (нульмерную поверхность) принято ориентировать, приписывая ей знак или — В частности, край отрезка состоящий из двух точек если отрезок ориентирован направлением от а к принято согласованно (с этой ориентацией отрезка) ориентировать так:

Рассмотрим теперь -мерную кусочно гладкую поверхность

Предположим, что две гладкие поверхности из определения 4 кусочно гладкой поверхности ориентированы и примыкают друг к другу вдоль гладкого куска -мерной поверхности (ребра). Тогда на Г, как на краю, возникают ориентации, согласованные с ориентациями соответственно. Если эти две ориентации на любом таком ребре противоположны, то исходные ориентации считаются согласованными. В случае, если пусто или имеет размерность меньшую чем (6 — 1), любые ориентации считаются согласованными.

Определение 5. Кусочно гладкую -мерную поверхность будем считать ориентируемой, если с точностью до конечного или счетного числа кусочно гладких поверхностей размерности не выше она является объединением гладких ориентируемых поверхностей допускающих их одновременную взаимно согласованную ориентацию.

Пример Поверхность трехмерного куба, как легко проверить, является ориентируемой кусочно гладкой поверхностью. И вообще, все указанные в примере 4 кусочно гладкие поверхности ориентируемы.

Пример 6. Лист Мёбиуса легко представить в виде объединения двух ориентируемых гладких поверхностей, примыкающих по части края, однако эти поверхности нельзя ориентировать согласованно. Можно проверить, что лист Мёбиуса не является ориентируемой поверхностью даже с точки зрения определения 5.

Задачи и упражнения

(см. скан)