2. Некоторые следствия.

Следствие 1. Если то при почти всех (в смысле Лебега) значениях интеграл существует и при почти всех значениях существует интеграл

По доказанной теореме

Но стоящая в скобках разность верхнего и нижнего интегралов неотрицательна. На основании леммы из § 3 можно заключить, что эта разность равна нулю почти во всех точках . Тогда по критерию Дарбу (теорема 3 § 1) интеграл существует почти при всех значениях

Аналогично доказывается и вторая часть сделанного утверждения.

Следствие 2. Если промежуток является прямым произведением отрезков то

Эта формула, очевидно, получается повторным применением доказанной теоремы. Все внутренние интегралы в правой части понимаются, как и в теореме. Например, всюду можно поставить знак верхнего или нижнего интеграла.

Пример 1. Пусть Найдем интеграл от сужения этой функции на промежуток определяемый соотношениями

По следствию 2

Доказанную теорему можно использовать и для вычисления интегралов по достаточно общим множествам.

Следствие 3. Пусть — ограниченное множество в Если , то

Пусть при Заметим, что Вспоминая определение интеграла по множеству и используя теорему Фубини, получаем

Внутренний интеграл здесь тоже может не существовать на некотором множестве точек меры нуль в смысле Лебега, и тогда ему приписывается тот же смысл, что и в доказанной теореме Фубини.

Замечание. Если в условиях следствия 3 множество измеримо по Жордану, а функции непрерывны, то множество измеримо по Жордану.

Граница множества Е состоит из двух графиков непрерывных функций (являющихся в силу примера 2 § 1 множествами меры нуль), и части прямого произведения границы множества с на достаточно большой одномерный отрезок длины По условию можно покрыть системой -мерных промежутков, сумма -мерных объемов которых будет меньше Прямое произведение этих промежутков на выбранный отрезок (длины даст покрытие множества промежутками, сумма объемов которых меньше .

На основании этого замечания можно сказать, что на измеримом множестве Е такой структуры (как и на любом измеримом множестве Е) функция интегрируема. Опираясь на следствие 3 и на определение меры измеримого множества можно теперь заключить, что справедливо

Следствие 4. Если в условиях следствия 3 множество Е измеримо по Жордану, а функции , непрерывны, то множество Е измеримо и его объем можно вычислять по формуле

Пример 2. Для круга по этой формуле получаем

Следствие 5. Пусть Е — измеримое множество лежащее в промежутке . Представим I в виде прямого произведения -мерного промежутка и отрезка . Тогда при почти всех значениях сечение множества -мерной гиперплоскостью является измеримым ее подмножеством, причем

где -мерная мера множества если оно измеримо, и любое число между числами если оказалось неизмеримым множеством.

Следствие 5 вытекает непосредственно из доказанной теоремы и следствия 1, если положить в них и учесть, что

Отсюда, в частности, получается Следствие 6 (принцип Кавальери).

Пусть А и В — два тела в пространстве имеющие объем (т. е. измеримые по Жордану). Пусть — сечения тел А и В плоскостью Если при каждом с множества измеримы и имеют одинаковую площадь, то тела А и В имеют одинаковые объемы.

Ясно, что принцип Кавальери можно сформулировать и для пространства любой размерности.

Пример 3. Используя формулу (3), вычислим объем шара радиуса в евклидовом пространстве

Очевидно, . В примере 2 мы нашли, что Покажем, что , где — постоянная (которую мы ниже вычислим). Выберем какой-нибудь диаметр шара и для каждой точки рассмотрим сечение шара В гиперплоскостью, ортогональной выбранному диаметру. Поскольку есть шар размерности радиус которого по теореме Пифагора равен то, действуя по индукции и используя формулу (3), можно написать:

(При переходе к последнему равенству, как видно, была сделана замена

Итак, показано, что причем

Теперь найдем постоянную в явном виде. Заметим, что при

т. е. имеет место рекуррентное соотношение

В частности, . Непосредственно из определения величины видно, что . Учитывая эти значения из рекуррентной формулы (5) находим, что

Возвращаясь к формуле (4), теперь получаем

Но, как мы видели выше, поэтому окончательные формулы для искомого объема таковы:

где причем первая из этих формул справедлива и при

Задачи и упражнения

(см. скан)

(см. скан)