ГЛАВА IX. НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ (ОБЩАЯ ТЕОРИЯ)

В этой главе будут обобщены и изложены с единой точки зрения свойства непрерывных отображений, которые были нами установлены для числовых функций и отображений типа При этом будет введен ряд простых, но важных понятий, имеющих общематематическое употребление.

§ 1. Метрическое пространство

1. Определение и примеры.

Определение 1. Говорят, что множество X наделено метрикой, или структурой метрического пространства, или что X есть метрическое пространство, если указана функция

удовлетворяющая условиям:

(симметричность),

(неравенство треугольника),

где — произвольные элементы X.

Функцию (1) называют в этом случае метрикой или расстоянием в X.

Таким образом, метрическое пространство есть пара (X; состоящая из множества X и заданной на нем метрики.

Элементы множества X в соответствии с геометрической терминологией обычно называют точками.

Заметим, что если в неравенстве треугольника с) положить то с учетом аксиом а) и метрики получим, что

т. е. расстояние, удовлетворяющее аксиомам а), b), с), неотрицательно.

Рассмотрим некоторые примеры.

Пример 1. Множество действительных чисел становится метрическим пространством, если для чисел положить как мы это всегда и делали.

Пример 2. На можно ввести и много других метрик. Тривиальной метрикой является, например, такая, при которой между любыми двумя различными точками расстояние полагается равным единице.

Значительно содержательнее следующая метрика на Пусть определенная для неотрицательная функция, обращающаяся в нуль лишь при Если эта функция строго выпукла вверх, то, полагая для точек

получим метрику на

Аксиомы а), здесь, очевидно, выполнены, а неравенство треугольника следует из того, что, как легко проверить, строго монотонна и при удовлетворяет неравенствам

В частности, можно было бы положить

В последнем случае расстояние между любыми точками прямой меньше единицы.

Пример 3. В кроме традиционного расстояния

между точками можно ввести расстояние

где 1. То, что для функции (4) выполнено неравенство треугольника, вытекает из неравенства Минковского (см. гл. V, § 4, и. 2).

Пример 4. Если в печатном тексте встретилось слово с искаженными буквами, то, если дефектов не слишком много, мы без особого труда восстанавливаем слово, исправляя ошибки. Однако исправление ошибок и получение слова — операция не всегда однозначная, и потому при прочих равных условиях предпочтение надо отдать той расшифровке искаженного текста, для получения которой потребуется сделать меньше исправлений. В соответствии со сказанным в теории кодирований на множестве всех последовательностей длины состоящих из нулей и единиц, используется метрика (4) при

Геометрически множество таких последовательностей интерпретируется как множество вершин единичного куба Расстояние между двумя вершинами — это число перемен нулей и единиц необходимое, чтобы получить из координат одной из этих вершин координаты другой вершины. Каждая такая перемена есть переход вдоль одного из ребер куба. Таким образом, рассматриваемое расстояние есть кратчайший путь по ребрам куба между рассматриваемыми его вершинами.

Пример 5. При сравнении результатов двух серий из однотинных измерений чаще всего используют метрику (4) при Расстояние между точками в этой метрике называют обычно их средним квадратичным уклонением.

Пример 6. Если в (4) сделать предельный переход при то, как легко видеть, получается следующая метрика в

Пример 7. Множество функций, непрерывных на отрезке, становится метрическим пространством, если для функций из положить

Аксномы метрики, очевидно, выполнены, а неравенство треугольника следует из того, что

т. е.

Метрика (6) — так называемая равномерная, или чебышевская, метрика в — используется тогда, когда мы желаем заменить одну функцию другой, например полиномом, по которой можно было бы вычислять значения первой функции с нужной точностью в любой точке Величина как раз характеризует точность такого приближенного расчета.

Метрика (6) в очень схожа с метрикой (5) в

Пример 8. Подобно метрике (4) в при можно ввести метрику

То, что при это действительно метрика, следует неравенства Минковского для интегралов, получающегося предельным

переходом из неравенства Минковского, которое можно написать для интегральных сумм.

Особо важными частными случаями метрики (7) являются: при — интегральная метрика; при — метрика среднего квадратичного уклонения; при — равномерная метрика.

Пространство наделенное метрикой (7), часто обозначают символом Можно проверить, что есть пространство наделенное метрикой (6).

Пример 9. Метрику (7) можно было бы использовать также на множестве функций, интегрируемых по Риману на отрезке Однако поскольку интеграл от модуля разности двух функций может обратиться в нуль, даже если функции не совпадают тождественно, то аксиома -а) в этом случае не будет выполнена. Мы знаем, однако, что интеграл от неотрицательной функции равен нулю тогда и только тогда, когда почти во всех точках отрезка

Таким образом, если разбить на классы эквивалентных функций, причем функции из считать эквивалентными, если они отливаются не более чем на множестве меры нуль, то на совокупности таких классов эквивалентности соотношение (7) действительно задает метрику. Множество наделенное этой метрикой обозначается через иногда и просто через

Пример 10. В множестве функций, определенных на и имеющих на этом отрезке непрерывные производные до порядка включительно, можно определить следующую метрику:

где

Используя то, что (6) есть метрика, легко проверить, что и (8) есть метрика.

Предположим, например, что есть координата движущейся точки как функция времени. Если ставится ограничение на допустимый район пребывания точки в промежуток времени и запрещается превышать определенную скорость, а, кроме того, желают иметь некоторый комфорт, состоящий в том, что ускорения не должны превышать определенный уровень, то. естественно рассмотреть для функции набор и по этим характеристикам два движения считать близкими, если величина (8) для них мала.

Рассмотренные примеры показывают, что одно и то же множество можно метризовать различными способами. Введение той или иной метрики диктуется обычно самой постановкой задачи. Сейчас же мы будем интересоваться самыми общими свойствами метрических пространств, присущими им всем.