3. Оценки интеграла.
а. Общая оценка.
Начнем с одной общей оценки интеграла, справедливой и для интегралов от функции со значениями в любом полном линейном нормированном пространстве.
Утверждение 3. Если 
то 
и имеет место неравенство
То, что 
вытекает из определения интеграла по множеству и критерия Лебега интегрируемости функции на промежутке.
Указанное неравенство получается теперь предельным Переходом из соответствующего неравенства для интегральных сумм.
b. Интеграл от неотрицательной функции.
Следующие утверждения относятся уже только к вещественнозначным функциям.
Утверждение 4. Для функции 
справедливо следующее предложение:
Действительно, ведь если 
на Е, то 
Далее, по определению
Последний интеграл по условию существует. Но он является пределом неотрицательных интегральных сумм, значит, он неотрицателен.
Из доказанного утверждения 4 последовательно получаем Следствие 1.
Следствие 2. Если 
и в любой точке допустимого множества Е выполнены неравенства 
, то
Следствие 3. Если 
то найдется такое число 
что
Следствие 4 Если Е — связное допустимое множество и функция 
непрерывна, то найдется такая точка 
, что
Следствие 5. Если в дополнение к условиям следствия 2 имеется функция 
неотрицательная на Е, то
Последнее утверждение является обобщающим и обычно называется, как и в случае одномерного интеграла, теоремой о среднем для интеграла.
Оно вытекает из неравенств 
с учетом линейности интеграла и следствия 1. Его можно доказать и непосредственно, если перейти от интегралов по Е к соответствующим интегралам по промежутку, проверить неравенства для интегральных сумм, а затем перейти к пределу. Поскольку все эти рассуждения уже подробно проводились в одномерном случае, мы на деталях не останавливаемся. Отметим лишь, что интегрируемость произведения 
функций 
очевидно, вытекает из критерия Лебега.
Продемонстрируем теперь полученные соотношения в работе, проверив с их помощью, что справедлива следующая полезная
Лемма, а) Если интеграл от неотрицательной на промежутке 
функции 
равен нулю, то 
почти во всех точках промежутка 
Утверждение а) остается в силе, если промежуток 
в нем заменить любым допустимым (т. е. измеримым по Жордану) множеством Е.
По критерию Лебега функция 
непрерывна почти во всех точках промежутка 
поэтому доказательство утверждения а) будет закончено, если мы покажем, что 
в любой точке 
в которой функция 
непрерывна.
Предположим, что 
Тогда 
в некоторой окрестности 
точки а (окрестность 
можно считать Промежутком). Значит, по доказанным свойствам интеграла
Полученное противоречие проверяет справедливость утверждения а). Если применить это утверждение к функции 
и учесть, что 
то получим утверждение 
Замечание 2. Из доказанной леммы следует, что если Е — измеримое по Жордану множество в 
а 
— рассмотренное в замечании 1 линейное пространство классов эквивалентных функций, интегрируемых на Е и различающихся лишь на множествах меры нуль в смысле Лебега, то величина 
является нормой на 
.
Действительно, ведь из равенства 
теперь можно заключить, что 
лежит в том же классе эквивалентности, что и функция, тождественно равная нулю.
Задачи и упражнения
(см. скан)
