§ 3. Эйлеровы интегралы

В этом и следующем, параграфах будет продемонстрировано приложение развитой выше теории к некоторым важным для анализа конкретным интегралам, зависящим от параметра.

Эйлеровыми интегралами первого и второго рода соответственно называют, следуя Лежандру, две следующие специальные функции:

Первую из них, называют бета-функцией, а вторую, особенно часто используемую, гамма-функцией Эйлера.

1. Бета-функция.

a. Область определения.

Для сходимости интеграла (1) на нижнем пределе интегрирования необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие Аналогично, сходимости интеграла (1) в единице отвечает условие

Таким образом, функция определена при одновременном выполнении двух условий:

Замечание. Мы здесь всюду считаем действительными числами. Следует, однако, иметь в виду, что наиболее полная картина свойств функций В и Г и наиболее глубокие приложения этих функций связаны с выходом в область комплексных значений параметров.

b. Симметричность.

Проверим, что

Для доказательства достаточно в интеграле (1) сделать замену переменной

c. Формула понижения.

Если , то имеет место равенство

Выполняя при интегрирование по частям и тождественные преобразования, получаем

откуда и следует формула понижения (4).

Учитывая формулу (3), можно теперь записать формулу понижения

по параметру , считая, разумеется, что

Непосредственно из определения функции В видно, что поэтому при получаем

В частности, при

Другое интегральное представление функции В. Иногда бывает полезно следующее представление бета-функции:

Оно получается из (1) заменой переменной