§ 3. Эйлеровы интегралы
В этом и следующем, параграфах будет продемонстрировано приложение развитой выше теории к некоторым важным для анализа конкретным интегралам, зависящим от параметра.
Эйлеровыми интегралами первого и второго рода соответственно называют, следуя Лежандру, две следующие специальные функции:
Первую из них, называют бета-функцией, а вторую, особенно часто используемую, гамма-функцией Эйлера.
1. Бета-функция.
a. Область определения.
Для сходимости интеграла (1) на нижнем пределе интегрирования необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие 
Аналогично, сходимости интеграла (1) в единице отвечает условие 
Таким образом, функция 
определена при одновременном выполнении двух условий:
Замечание. Мы здесь всюду считаем 
действительными числами. Следует, однако, иметь в виду, что наиболее полная картина свойств функций В и Г и наиболее глубокие приложения этих функций связаны с выходом в область комплексных значений параметров.
b. Симметричность.
Проверим, что
Для доказательства достаточно в интеграле (1) сделать замену переменной 
c. Формула понижения.
Если 
, то имеет место равенство
Выполняя при 
интегрирование по частям и тождественные преобразования, получаем
откуда и следует формула понижения (4).
Учитывая формулу (3), можно теперь записать формулу понижения
по параметру 
, считая, разумеется, что 
Непосредственно из определения функции В видно, что 
поэтому при 
получаем
В частности, при 
Другое интегральное представление функции В. Иногда бывает полезно следующее представление бета-функции:
Оно получается из (1) заменой переменной 
