ГЛАВА XIII. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

§ 1. Интеграл от дифференциальной формы

1. Исходные задачи, наводящие соображения, примеры.

а. Работа поля.

Пусть — непрерывное векторное поле сил, действующих в области евклидова пространства Перемещение пробной частицы в поле связано с совершением работы. Требуется вычислить работу, совершаемую при перемещении единичной пробной частицы по заданной траектории, точнее, вдоль гладкого пути

Мы уже касались этого вопроса, рассматривая приложения определенного интеграла, поэтому здесь можно лишь напомнить решение задачи, отмечая некоторые характерные и полезные для дальнейшего элементы конструкции.

Известно, что в постоянном поле перемещение на вектор связано с работой, равной

Рис. 83.

Пусть — определенное на отрезке гладкое отображение

Возьмем достаточно мелкое разбиение отрезка Тогда на каждом промежутке разбиения с точностью до бесконечно малых более высокого порядка выполняется равенство Вектору смещения из (рис. 83) в пространстве отвечает перемещение из точки на вектор который с указанной погрешностью можно считать совпадающим с вектором касательным к траектории в точке Ввиду непрерывности поля его можно считать локально постоянным, и потому работу отвечающую промежутку (времени) можно с малой относительной погрешностью вычислять в виде

или

Значит,

откуда, переходя к пределу при измельчании разбиения ртрезка I, получаем, что

Если выражение переписать в виде то, считая координаты в декартовыми, ему можно придать вид после чего формулу (1) можно записать как

или как

Точный смысл написанным в (2) и (2) интегралам от -формы работы йдоль пути у придает формула (1).

Пример 1. Рассмотрим поле сил определенное во всех точках плоскости кроме начала координат. Вычислим работу этого поля вдоль кривой заданной в виде и вдоль кривой задан ной соотношениями

В соответствии с формулами (1), (2), (2) находим

и

Пример 2. Пусть радиус-вектор точки Пусть всюду в вне начала координат задано поле сил вида Это — так называемое центральное поле. Найдем работу поля на пути у. Используя (2), находим

Здесь мы, как видно, положили

Итак, в любом центральном поле работа на пути у оказалась зависящей только от расстояний начала и конца пути до центра 0 поля.

В частности, для гравитационного поля единичной точечной массы, помещенной в начало координат, получаем

b. Поток через поверхность.

Пусть в области ориентированного евклидова пространства имеется установившееся течение жидкости (или газа) и — поле скоростей этого течения в области Пусть, кроме того, в взята гладкая ориентированная поверхность Для определенности будем считать, что ориентация задана полем нормалей. Требуется определить (объемный) расход или поток жидкости через поверхность точнее, требуется найти, какой объем жидкости протекает в единицу времени через поверхность в указанную ориентирующим полем нормалей сторону этой поверхности.

Для решения задачи заметим, что если поле скоростей течения постоянно и равно V, то поток в единицу времени через натянутый на пару векторов параллелограмм П равен объему параллелепипеда, построенного на векторах Если нормаль к и ищется поток через П в сторону, указываемую нормалью то он равен смешанному произведению если и репер задают одинаковую ориентацию (т. е. если — репер заданной в ориентации). Если же репер задает в ориентацию, противоположную определяемой

нормалью то поток в сторону, указанную нормалью равен

Вернемся теперь к исходной постановке. Предположим для простоты, что поверхность в целом допускает гладкую параметризацию где — двумерный промежуток плоскости

Разобьем I на маленькие промежутки (рис. 84). Образ каждого такого промежутка аппроксимируем параллелограммом, натянутым на образы векторов смещения вдоль координатных направлений.

Рис. 84.

Считая, что мало меняется в пределах куска поверхности, и заменяя указанным параллелограммом, можем считать, что поток через кусок поверхности с малой относительной погрешностью совпадает с потоком постоянного поля скоростей через параллелограмм, порожденный векторами Считая, что репер задает на S ту же ориентацию, что и находим

Суммируя элементарные потоки, получаем

где (рассмотренная в примере 8 § 5 гл. XII) 2-форма потока. Если перейти к пределу (беря все более мелкие разбиения Р промежутка то естественно считать, что

Последний символ есть интеграл от 2-формы по ориентированной поверхности

Вспомнив (см. формулу (12) § 5 гл. XII) координатное выражение формы потока в декартовых координатах, мы вправе записать также, что

Мы обсудили лишь общий принцип решения поставленной задачи. В сущности, мы дали только точное определение (3) потока и ввели некоторые обозначения (3), (4), но не получили пода эффективной вычислительной формулы, подобной формуле (1) для работы.

Заметим, что формула (1) получается из выражения (2), если вместо в него подставить функции задающие путь у. Напомним (см. § 5 гл. XII), что такая замена интерпретируется как перенос заданной в формы со на отрезок

Совершенно аналогично и вычислительная формула для потока может быть получена прямой подстановкой в (4) параметрических уравнений поверхности.

В самом деле,

и

Форма фсоу определена на Двумерном промежутке . В I любая 2-форма имеет вид где — зависящая от формы функция на I, поэтому

есть площадь определяемого ортогональными векторами прямоугольника

Таким образом,

При измельчении разбиения в пределе получим

Где в левой части, согласно (3), стоит интеграл от 2-формы по простейшей ориентированной поверхности а в правой части — интеграл от функции по прямоугольнику .

Остается вспомнить, что координатное представление формы получается из координатного выражения формы прямой заменой переменных где карта поверхности

Выполнив эту замену, из (4) получим

Последний интеграл, как показывает равенство (5), есть обычный интеграл Римана по прямоугольнику I.

Таким образом, мы нашли,

где — карта поверхности задающая ту же ориентацию что и указанное нам поле нормалей к . Если карта задает на противоположную ориентацию, то равенство (6), вообще говоря, нарушится, но, как следует из приведенных в начале пункта соображений, в этом случае его левая и правые части будут отличаться только знаком.

Окончательная формула (6), очевидно, есть просто напросто аккуратно записанный в координатах предел сумм знакомых Нам элементарных потоков

Мы рассмотрели случай поверхности, задаваемой одной картой. В общем случае гладкую поверхность можно разбить на гладкие куски не имеющие между собой существенных пересечений, и найти поток через как сумму потоков через куски

Пример 3. Пусть среда движется поступательно с постоянной скоростью . Если в области течения взять любую замкнутую поверхность, то, поскольку плотность среды не меняется, количество вещества в объеме, ограниченном взятой поверхностью, должно оставаться неизменным. Значит, суммарный поток среды через такую поверхность должен быть равен нулю.

Проконтролируем в этом случае формулу (6), взяв в качестве сферу

Сферу с точностью до множества, имеющего площадь нуль и потому пренебрежимого в рассматриваемом вопросе, можно задать параметрически

где

После подстановки в (6) этих соотношений и , получим

Поскольку интеграл равен нулю, мы даже не Интересовались в какую сторону (внутрь или наружу) ведется расчет потока.

Пример 4. Пусть поле скоростей, движущейся в пространстве среды в декартовых координатах определяется равенством . Найдем в этом случае поток через сферу внутрь ограниченного ею шара (т. е. в сторону внутренней нормали).

Взяв параметризацию сферы из предыдущего примера и выполнив подстановку в правую часть формулы (6), найдем, что

Теперь проверим, согласуется ли задаваемая криволинейными координатами ориентация сферы с ориентацией, задаваемой внутренней нормалью. Легко убедиться, что не согласуется. Поэтому искомый поток

В данном случае полученный результат легко проверить: вектор у скорости течения в каждой точке сферы равен по величине ортогонален сфере и направлен наружу, поэтому поток изнутри во вне равен площади сферы умноженной на Поток в противоположную сторону получается равным