4. Полнота тригонометрической системы

а. Теорема о полноте.

В заключение вернемся вновь от поточечной сходимости ряда Фурье к его сходимости в среднем (10). Точнее, используя накопленный факты о характере поточечной сходимости ряда Фурье, дадим независимое от уже встречавшегося в задачах доказательство полноты в тригонометрической системы При этом, как и в под или понимается линейное пространство вещественно- или комплекснозначных функций,

локально интегрируемых на промежутке и имеющих интегрируемый на бы в несобственном смысле) квадрат модуля; это векторной пространство предполагается наделенным стандартным скалярным произведением (7), порождающим норму, сходимость по которой и есть сходимость в среднем (10).

Теорема 6 (о полноте тригонометрической системы). Любая функция мвжет быть сколь угодно точно приближена в среднем.

a) финитными на интегрируемыми по Риману на от резке функциями;

b) кусочно постоянными на отрезке функциями,

с) непрерывными и финитными на отрезке функциями; d) тригонометрическими полиномами.

Поскольку теорему, очевидно, достаточно доказать для вещественнозначных функций, то мы и ограничимся этим случаем.

a) Из определения несобственного интеграла следует, что

Значит, каково бы ни было число найдется число такое, что функция

будет отличаться в среднем на от меньше, чем на поскольку

b) Достаточно проверить, что любую функцию вида можно в аппроксимировать кусочйо постоянными финитными на функциями. Но функция уже интегрируема по Риману на отрезке . Значит, она ограничена на нем некоторой постоянной. М и, кроме того, существует такое разбиение — этого отрезка, что соответствующая ему нижняя интегральная сумма

Дарбу функции обличается от интеграла по отрезку меньше чем на

Полагая теперь

получим, что

и, значит, действительно можно скол угодно Точно в среднем на отрезке аппроксимировать кусочно постоянными на этом отрезке функциями, обращающимися в нуль в окрестности концов отрезка

Теперь уже достаточно научиться приближать в среднем указанные в функции. Пусть — такая функция. Все ее точки разрыва лежат в интервале Их конечное число, поэтому, каково бы ни было число можно подобрать число столь маленькое, что -окрестности точек не пересекаются, содержатся строго внутри интервала где Заменяя теперь функцию на отрезках линейной функцией, интерполирующей значения которые функция принимает на концах соответствующего мы получим кусочно линейную непрерывную и финитную на функцию По построению на , значит,

и возможность аппроксимации доказана.

Осталось показать, что тригонометрическим полиномом можно в среднем на отрезке приблизить любую функцию класса с). Но ведь при любом для любой функции типа по теореме 5 найдется тригонометрический многочлен равномерно с точностью до аппроксимирующий на отрезке .

Значит и возможность сколь угодно точной аппроксимации в среднем на отрезке любой функции класса с) посредством тригонометрических полиномов установлена.

Ссылаясь на неравенство треугольника в , можно теперь заключить что и вся теорема 6 о полноте в указанных классов функций тоже доказана.

Скалярное произведение и равенство Парсеваля. После доказанной полноты в тригонометрической системы

мы на основании теоремы 1 можем утверждать, что для любой функции имеет место равенство

или, в комплексной записи, равенство

где сходимость понимается как сходимость по норме пространства , т. е. в среднем, а предельный переход в (34) совершается при по суммам вида

Если переписать равенства (33), (34) в виде

то в левых частях окажутся ряды по ортонормированным системам Значит, на, основании общего закона вычисления скалярного произведения векторов, по их координатам в ортонормированием базисе (см. лемму 5 из § 1) можно утверждать, что для любых функций из справедливо равенство

или, в иной записи, равенство

где, как всегда,

В частности, при из (35) и получаем записанное в двух эквивалентных между собой формах классическое равенство

Парсеваля

Мы уже отмечали, что с геометрической точки зрения равенство Парсеваля можно рассматривать как бесконечномерный вариант теоремы Пифагора.

На основе равенства Парсеваля легко доказать следующее полезное

Утверждение 3 (о единственности ряда Фурье). Пусть — функции из . Тогда:

если тригонометрический ряд

сходится к в среднем на отрезке , то он является рядом Фурье функции

если функции имеют один и тот же ряд Фурье, то они совпадают почти всюду на отрезке в

На самом-то деле речь, конечно, идет о частном случае общего факта единственности разложения любого вектора линейного пространства X, наделенного скалярным произведением по ортонормированной системе векторов X Мы и докажем этот общий факт.

Пусть Тогда и если то при любом Значит, если то пр» любом Мы доказали тем самым, что если разложение вектора по ортонормированной системе вообще существует, то оно единственно.

В том случае, когда система полна в X, разложение заведомо существует для любого-вектора причем — коэффициенты Фурье вектора х в системе Значит, если два вектора х и у имеют одинаковые ряды. Фурье по полной ортонормированной

системе (т. е. то

В условиях утверждения 2 тригонометрическая система ортогональна, но не ортонормирована, одиако мы уже видели в (33), (34), что это формальное затруднение несущественно.

Замечание 11. Рассматривая в свое время ряды Тейлора мы отметили, что различные функции класса могут иметь одинаковые ряды Тейлора (в некоторых точках Этот контраст с только что доказанной теоремой единственности рядов Фурье не следует слишком абсолютизировать, поскольку всякая теорема единственности относительна в том смысле, что она относится к определенному пространству и определенному виду сходимости.

—Например, в пространстве аналитических функций (т. е. функций, допускающих локально представление в виде поточечно сходящегося к «им степенного ряда две различные функции в любой точке имеют не совпадающие тейлоровские разложения

Если в свою очередь при изучении тригонометрических рядов отказаться от пространства и рассматривать поточечную сходимость тригонометрического рада, то, как отмечалось (см. стр. 520], можно построить тригонометрический ряд, не все коэффициенты которого равны нулю и который тем не менее почти всюду сходится к нулю. По утверждению 2 такой нуль-ряд, конечно, не сходится к нулю в смысле среднего квадратичного уклонения.

В заключение в качестве иллюстрации использования свойств тригонометрических рядов Фурье рассмотрим следующий принадлежащий Гурвицу вывод классического изопериметрического неравенства в двумерном случае. Чтобы избавиться от громоздких выражений и Случайных технических трудностей, мы будем пользоваться комплексной записью.

Пример Между объемом V области в евклидовом пространстве -мерной площадью ограничивающей область гиперповерхности, имеется соотношение

называемое изопериметрическим неравенством; здесь объем единичного -мерного шара в Равенство в изопериметрическом неравенстве (39) имеет место только для шара.

Название «изопериметрическое» связано с классической геометрической задачей отыскания среди замкнутых плоских кривых данной длины той кривой, которая ограничивает наибольшую площадь . В этом случае неравенство (39) означает, что

Именно это неравенство мы теперь, и докажем, считая, что рассматриваемая кривая является гладкой и задана параметрически в виде где — натуральный параметр (длина) вдоль кривой, а функции принадлежат классу Условие замкнутости кривой означает, что

Перейдем от к параметру изменяющемуся от до и будем считать, что наша кривая задана в параметрическом виде

причем

Соотношения (4,1) запишем в виде одной комплекснозначной функции

где и ввиду

Заметим, что

и, значит, при нашем выборе параметра

Учитывая далее, что и пользуясь равенствами (42), запишем в комплексном виде формулу площади области, ограниченной замкнутой кривой (41):

Напишем теперь разложение функции в ряд Фурье

тогда

Равенства (43) и (44) означают, в частности, что

а

В терминах коэффициентов Фурье, как следует из равенств (36), (38), полученные соотношения приобретают вид

Таким образом,

Правая часть этото равенства, очевидна, неотрицательна и обращается в нуль только при условии, что когда .

Итак, неравенство (40) доказано и заодно получено уравнение

той кривой, для которой оно превращается в равенство. Это комплексный вид параметрического уравнения окружности с центром в точке комплексной плоскости и радиусу

Задачи и упражнения

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)