ГЛАВА X. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ С БОЛЕЕ ОБЩЕЙ ТОЧКИ ЗРЕНИЯ
§ 1. Линейное нормированное пространство
Дифференцирование — это отыскание наилучшего локального линейного приближения функции, поэтому любая сколь-нибудь общая теория дифференцирования должна опираться на элементарные представления, связанные с линейными функциями Из курса алгебры читателю хорошо знакомо понятие линейного пространства, а также понятия линейной зависимости и независимости системы векторов, базиса и размерности линейного пространства, подпространства и т. д. В этом параграфе мы дадим представление о линейных пространствах с нормой или, как говорят, линейных нормированных пространствах, широко используемых в анализе. Начнем однако с примеров линейных пространств.
1. Некоторые примеры линейных пространств анализа.
Пример 1. Классическими примерами линейных пространств над полем действительных и комплексных чисел являются соответственно вещественное 
и комплексное 
арифметические пространства размерности 
Пример 2. В анализе, наряду с указанными в примере 1 пространствами 
встречается наиболее близкое к ним пространство I последовательностей 
действительных или комплексных чисел. Линейные операции в I, как и в 
осуществляются покоординатно. Особенностью в сравнении с 
или 
является то, что любая конечная подсистема счетной системы векторов 
линейно независима То есть I — бесконечномерное (в данном случае счетномерное) линейное пространство.
Совокупность 
финитных последовательностей (все члены которых, начиная с некоторого, равны нулю) является линейным подпространством пространства I, причем тоже бесконечномерным.
Пример 3. Пусть 
множество числовых (действительно или комплекснозначных) функции, определенных на
отрезке 
Это множество является линейным пространством (над соответствующим числовым полем) по отношению к операциям сложения функций и умножения функции на число.
Совокупность функций вида
является континуальной системой линейно независимых векторов в 
Множество 
непрерывных функций, очевидно, является подпространством, построенного пространства 
Пример 4. Если 
— два линейных пространства над одним и тем же полем, то в их прямом произведении 
естественным образом вводится структура линейного пространства, если линейные операции над элементами 
выполнять покомпонентно.
Аналогично вводится структура линейного пространства в прямом произведении 
любого конечного набора линейных пространств. Это полный аналог пространств 
