2. Определение интеграла от формы по ориентированной поверхности.

Решение рассмотренных в задач приводит к определению интеграла от -формы по ориентированной -мерной поверхности.

Пусть сначала — гладкая -мерная поверхность в заданная одной стандартной картой Пусть на задана -форма . Интеграл от формы со по параметризованной поверхности строится следующим образом.

Берем разбиение -мерного стандартного промежутка индуцированное разбиениями (отрезков) проекций на координатные оси. В каждом промежутке разбиения Р берем вершину имеющую минимальные значения координат, и связываем с ней векторов идущих в направлении координатных осей в соседних с вершин промежутка (см. рис. 84). Находим векторы касательного пространства вычисляем составляем интегральную сумму и переходим к пределу, когда параметр разбиения стремится к нулю. Таким образом, мы принимаем

Определение 1 (интеграла от k-формы со по заданной картой гладкой -мерной поверхности).

Если применить это определение к -форме на (когда — тождественное отображение), то, очевидно, получим, что

Таким образом, из (7) следует, что

а последний интеграл, как видно из равенства (8), сводится к обычному кратному интегралу от соответствующей форме функции на промежутке I.

Важнейшие соотношения (8) и (9) мы вывели из определения 1, но их самих можно было бы принять в качестве исходных определений. В частности, если — произвольная область в (не обязательно промежуток), то, чтобы не повторять процедуру суммирования, положим

а для гладкой поверхности, заданной в виде -формы на ней, положим

Если — произвольная кусочно гладкая -мерная поверхность, а — определенная на гладких кусках , то, представив как объединение гладких параметризованных поверхностей, пересекающихся, быть может, лишь по множествам меньшей размерности, полагаем

В отсутствие содержательной физической или иной решаемой соотношением (10) задачи, такое определение вызывает вопрос о независимости полученной величины интеграла от разбиения и от выбора параметризации отдельных его кусков.

Проверим корректность данного определения.

Рассмотрим сначала простейший случай, когда есть область — диффеоморфизм области на область -форма имеет вид Тогда, с одной стороны, в силу (8)

С другой стороны, по (9) и (8)

Но если то по теореме о замене переменных в кратном интеграле имеет место равенство

Значит, считая, что на имелись координаты и криволинейные координаты одного класса ориентации, мы показали, что. величина интеграла не зависит от того, в какой из этих двух систем координат проводить его вычисление.

Отметим, что если бы криволинейные координаты задавали на другую ориентацию, т. е. при очевидно, правая и левая части последнего равенства отличались бы знаком. Таким образом, о корректности определения интеграла можно говорить только в случае ориентированной поверхности интегрирования.

Пусть теперь — две параметризации одной и той же гладкой -мерной поверхности — -форма

на . Сравним интегралы

Поскольку где — диффеоморфизм на то (см. равенство (20), § 5, гл. XII). Значит, форму можно получить заменой переменных в форме . А как мы только что проверили, в этом случае интегралы (11) совпадают, если и отличаются знаком, если

Итак, показано, что если — параметризации одного класса ориентации поверхности то интегралы (11) совладают. Независимость интеграла от выбора любой из согласованных систем криволинейных координат на поверхности проверена.

Независимость интеграла (10) по ориентированной кусочно гладкой поверхности от способа ее разбиения на гладкие куски вытекает из аддитивности обычного кратного интеграла (достаточно рассмотреть более мелкое разбиение, получающееся наложением двух разбиений и проверить, что значение интеграла по нему совпадает со значением на каждом из двух исходных разбиений)

На основе проведенных рассмотрений теперь разумно принять следующую цепочку формальных определений, соответствующих изложенной в определении 1 конструкции интеграла от формы.

Определение Г (интеграла от формы по ориентированной поверхности

Если в области задана форма то

Если — гладкая -мерная ориентированная поверхность и — ее параметризация, а -форма на , то

причем знак берется, если параметризация согласуется с заданной ориентацией а знак — берется в противоположном случае.

Если — кусочно гладкая -мерная ориентированная поверхность в — -форма на (определенная там, где 5 имеет касательную плоскость), то

где разложение на гладкие параметризуемые -мерные куски, пересекающиеся разве лишь по кусочно гладким поверхностям меньшей размерности.

Мы видим, в частности, что изменение ориентации поверхности влечет за собой изменение знака интеграла.

Задачи и упражнения

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)