2. Открытые и замкнутые подмножества метрического пространства.

Пусть — метрическое пространство. Подобно тому, как это было сделано в главе VII, § 1 для случая в общем случае тоже можно ввести понятия шара с центром в данной точке, открытого множества, замкнутого множества, окрестности точки, предельной точки множества и т. д.

Напомним эти основные для дальнейшего понятия.

Определение 2. При множество

называется шаром с центром радиуса или также - окрестностью точки а.

В случае общего метрического пространства это название является удобным, но его не следует отождествлять с традиционным геометрическим образом, к которому мы привыкли в

Пример 11. Единичный шар в с центром в функции, тождественно равной нулю на состоит из тех функций, непрерывных на отрезке модуль которых меньше единицы на этом отрезке.

Пр и мер 12. Пусть X — единичный квадрат в расстояние между точками которого определяется как расстояние между этими же точками в Тогда X является метрическим пространством, причем взятый сам по себе квадрат X с такой метрикой можно считать шаром любого радиуса относительно своего центра.

Ясно, что так можно было, бы построить шары весьма причудливой формы. Так что термин шар не следует понимать слишком буквально.

Определение 3. Множество называется открытым в метрическом пространстве если для любой точки найдется шар такой, что

Из этого определения, очевидно, следует, что само X — открытое в множество; пустое множество 0 также открыто. Теми же. рассуждениями, что и в случае можно доказать, что шар или его внешность суть открытые множества. (См. гл. VIII, § 1, примеры

Определение 4. Множество называется замкнутым в если его дополнение открыто в

В частности, отсюда заключаем, что замкнутый шар

является множеством, замкнутым в метрическом пространстве

Для открытых и Замкнутых множеств в метрическом пространстве справедливо

Утверждение 1. а) Объединение множеств любой

системы множеств открытых в X, является множеством, открытым в X.

Пересечение конечного числа множеств, открытых в X, является множеством, открытым в X.

а) Пересечение множеств любой системы множеств замкнутых в X, является множеством, замкнутым в X.

Объединение конечного числа множеств, замкнутых в X, является множеством, замкнутым в X.

Доказательство утверждения 1 дословно повторяет доказательство соответствующего утверждения для открытых и замкнутых множеств в и мы его опускаем. (См. гл. VII, § 1, утверждение 1.)

Определение 5. Открытое в X множество, содержащее точку , называется окрестностью этой точки в X.

Определение 6. Точка по отношению к множеству называется внутренней точкой Е, если она содержится в Е вместе некоторой своей окрестностью;

внешней точкой Е, если она является внутренней точкой дополнения к в X;

граничной точкой Е, если она не является ни внутренней, ни внешней точкой по отношению к Е (т. е. если в любой окрестности этой точки имеются как точки, принадлежащие, так и точки; не принадлежащие множеству Е).

Пример 13. Все точки шара являются его внутренними точками, а множество состоят из точек, внешних по отношению к шару .

В случае пространства со стандартной метрикой в сфера является множеством граничных точек шара

Определение 7. Точка называется предельной для множества если для любой ее окрестности О(а) множество бесконечно.

Определение 8. Объединение множества Е и всех его предельных точек в X называется замыканием множества Е в X.

Как и прежде, замыкание множества будем обозначать через Е.

Утверждение 2. Множество с X замкнуто в X тогда и только тогда, когда оно содержит все свои предельные точки.

Итак,

Доказательство мы опускаем, так как оно повторяет доказательство аналогичного утверждения в случае, когда изложенного в гл. VII, § 1.