3. Критерий потенциальности векторного поля.

Утверждение 1. Непрерывное в области векторное пом А потенциально в тогда и только тогда, когда его циркуляция на любом лежащем в замкнутом пути у равна нулю:

Необходимость. Пусть Тогда по формуле Ньютона— Лейбница (§ 2, формула (3))

где . Если т. е. когда путь у Замкнутый, очевидно, правая, а вместе с ней и левая часть последнего равенства обращаются в нуль.

Достаточность. Пусть условие (5) выполнено. Тогда интеграл по любому (не обязательно замкнутому) пути в области зависит только от его начала и конца, а в детальном от пути не зависит. Действительно, если — два пути с общим началом и концом, то, пройдя сначала путь а затем путь — в обратном направлении), мы получим замкнутый путь у, интеграл по которому, с одной стороны, в силу (5) равен нулю, а с другой стороны, есть разность интегралов по Значит, эти интегралы действительно равны.

Фиксируем в некоторую точку и положим теперь

где справа стоит интеграл по любому пути, идущему в области из точки в точку Проверим, что определенная так

функция является искомым потенциалом поля А. Для удобства будем считать, что взята декартова система координат Тогда Если от точки х прямолинейно сместиться на вектор где — орт соответствующей координатной оси, то при этом функция получит приращение

равное интегралу от формы по указанному пути перехода из Ввиду непрерывности поля А последнее равенство по теореме о среднем можно записать в виде

где . Поделив это равенство на и устремив к нулю, получаем

т. е. действительно

Замечание -1. Как видно из доказательства, для потенциальности поля А достаточно, чтобы условие (5) выполнялось для гладких путей или, например, хотя бы для ломаных, звенья которых параллельны координатным осям.

Теперь вернемся к примеру 4. В свое время (см. пример 1 § 1 гл. VIII) мы подсчитали, циркуляция поля (4) на окружности пробегаемой один раз против часовой стрелки, равна .

Таким образом, на основании утверждения 1 можно заключить, что поле (4) не потенциально в рассматриваемой области

Но ведь, например,

и, казалось бы, функция является потенциалом поля (4).

Что это — противоречие?! Противоречия пока нет, поскольку единственный правильный вывод, который следовало бы в этой ситуации сделать, состоит в том, что функция не определена во всей области . И это действительно так: возьмите, например, точки оси Но тогда, скажете вы, можно рассмотреть функцию — полярный угол точки Практически это та же функция но определэна и при лишь бы точка не совпадала с началом координат.

Всюду в области

Однако и теперь противоречия никакого нет, хотя сейчас уже ситуация более деликатная. Обратите внимание на то, что на самом-то деле не является непрерывной однозначной функцией точки в нашей области При обходе точки вокруг начала координат против часовой стрелки ее полярный угол, непрерывно Меняясь, увеличится на когда точка вернется в начальное положение. То есть мы приходим в исходную точку не с тем же, а с новым значением функции. Следовательно, либо, надо отказаться от непрерывности в области либо надо отказаться от однозначности

В малой окрестности (не содержащей начала координат) каждой точки области можно выделить непрерывную однозначную ветвь функции Все такие ветви отличаются лишь на аддитивную постоянную, кратную Именно поэтому все они имеют одинаковый дифференциал и могут служить локальными потенциалами нашего поля (4). Тем не менее во всей области поле (4) потенциала не имеет.

Разобранная на примере 4 ситуация оказывается типичной в том смысле, что необходимое условие (3) или (3) потенциальности поля А локально является и достаточным. Имеет место

Утверждение 2. Если необходимое условие потенциальности поля выполняется в некотором шаре, то в этом шаре поле имеет потенциал.

Рис. 93

Для наглядности сначала проведем доказательство в случае круга на плоскости . В точку круга из начала координат можно прийти по двум различным двузвенным ломаным звенья которых параллельны координатным осям (рис. 93). Поскольку — выпуклая область, весь ограниченный этими ломаными прямоугольник содержится в

По формуле Стокса с учетом условия (3) получаем

На основе замечания к утверждению 1 отсюда уже можно сделать вывод о потенциальности поля А в Кроме того, на основе доказательства достаточности в утверждении 1 в качестве

потенциала вновь можно взять функцию (6), понимая при этом интеграл как интеграл по пути, ведущему из центра в рассматриваемую точку вдоль ломаной, звенья которой параллельны координатным осям. В рассмотренном случае независимость такого интеграла от выбора. пути непосредственно вытекала из формулы Стокса для прямоугольника.

В высших размерностях из формулы Стокса для двумерного прямоугольника следует, что замена двух еоседних звеньев ломаного пути на два звена, составляющие параллельные исходным стороны соответствующего прямоугольника, не меняет интеграла по пути. Поскольку такими перестройками последовательно можно перейти от одного ломаного пути к любому другому, ведущему в ту же точку, то и в общем случае потенциал оказывается определенным корректно.