4. Критерий Коши равномерной сходимости.

В определении 9 мы сказали, что значит, что семейство функций равномерно на некотором множестве сходится к заданной на этом множестве функции. Обычно, когда задается семейство функций, предельная функция еще неизвестна, поэтому разумно принять

Определение 10. Будем говорить, что семейство функций сходится на множестве равномерно при базе если оно сходится на этом множестве и сходимость к возникающей при этом на Е предельной функции является равномерной в смысле определения 9.

Теорема (критерий Коши равномерной сходимости). Пусть — семейство функций зависящих от параметра — база в Т. Для того чтобы семейство сходилось на множестве равномерно при базе необходимо и достаточно, чтобы для любого нашелся такой элемент В базы что при любых значениях параметров в любой точке было выполнено неравенство .

В формальной записи это означает, что сходится равномерно на Е при базе

Необходимость приведенных условий очевидна, ибо если — предельная функция и на Е при то найдется элемент В базы такой, что при любом и любом будет Тогда при любых и любом будет

Достаточность. При каждом фиксированном значении величину можно рассматривать как функцию переменной Если выполнены условия теоремы, то для этой функции выполнены условия критерия Коши существования ее предела при базе

Значит, семейство по крайней мере поточечно сходится к некоторой функции на множестве Е при базе

Если теперь перейти к пределу в неравенстве справедливом при любых и любых , то можно получить, что при любом и любом , а это с точностью до несущественных переобозначений и замены строгого неравенства нестрогим как раз совпадает с определением равномерной сходимости семейства к функции на множестве Е при базе

Замечание 1. Определения сходимости и равномерной сходимости, которые мы привели для семейств вещественнозначных функций разумеется, остаются в силе для семейств функций со значениями в любом метрическом пространстве Естественное изменение, которое при этом следует сделать в приведенных определениях, состоит в замене на где означает метрику в пространстве

Для векторных нормированных пространств в частности для или или не приходится делать даже этих формальных изменений.

Замечание 2. Критерий Коши, конечно, тоже остается в силе для семейств функций со значениями в метрическом пространстве если — полное метрическое пространство.

Как видно из доказательства, условие полноты нужно лишь в пункте, относящемся к достаточности условий критерия.

Задачи и упражнения

(см. скан)