Жил некогда Чжу,
Который учился убивать драконов, И отдал все, что имел, Чтобы овладеть этим искусством.

Через три года
Он достиг мастерства, Но, увы, ему ни разу не представился случай Применить свое уменье.
Чжуан-цзы’)
И тогда он начал учить других Искусству убивать драконов.
Рене Том
1) Подстрочный перевод с китайского см. в книге: Атеисты, материалисты, дналектики Древнего Қитая, М., 1967, стр 310.при:н. ред.

В летнем семестре 1972 г. я прочитал во Фрейбургском университете курс лекций по локальной теории дифференцируемых отображений. Эти лекции составили основу первых тринадцати глав настоящей книги. Следующие три главы были написаны для летней школы, организованной обществом The Studienstiftung des deutschen Volkes. Мсн студенты помогли мне избавить первый вариант рукописи от многих ошибок, после чего Л. Ландер перевел ее на английский. Он сделал также большое чнсло улучшений и исправлений и написал последнюю главу вместе со всеми ее рисунками и библиографией. В последних главах обсуждается тема, ради которой, собственно говоря, и была написана эта книга: классическая теория катастроф.

Мы оба широко использовали материал из курса лекций по теории катастроф, прочитанного К. Енихом в Регенсбурге в зимнем семестре 1971/72 г. Эти лекции содержали большую часть информации и рисунков, представленных в гл. 17.

Небольшое число экземпляров немецкого текста настоящей книги было напечатано для наших студентов под названием: Дифференцируемые отображения (Der Regensburger Trichter, Band 3, Differenzierbare Abbildungen).

Ниже читатель не найдет никаких новых результатов или методов. Мы задались целыо облегчить студентам, хорошо освоившим основные курсы алгебры и анализа, изучение недавних работ по дифференцируемым отображениям и, в частности, помочь им овладеть тайнами теории катас іроф.
$O$ чем же эта книга?
Пусть $f: \mathbf{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}^{k}$ – дифференцируемое отображение. Что можно сказать о множестве $f^{-1}\{0\}$, т. е. о множестве решений нелинейной системы уравнений? Мыначинаем с одной теоремы Уитни и теоремы Сарда, приведенных в 2.1 и 3.3 , и, в частности, обнаруживаем, что интересные структуры могут быть найдены только для отображений кобщего положения». Особый интерес представляют так называемые устойчивые отображения. Отображенне $f: \mathbf{R}^{n} \rightarrow \mathbf{R}^{k}$ называется устойчивым, если для любого малого возмущения 8: $\mathbf{R}^{n} \rightarrow \mathbf{R}^{k}$ существуют обратимые преобразования $h_{1}$ и $h_{2}$, такие, что диаграмма

коммутативна. Естественно ожидать, что формы, существующие в прироле, должны описываться устойчивыми отображениями, поскольку все в природе подвергается малым возмущениям. Является ли кпочти всякое отображение устойчивым? Как нужно интерпретировать понятие устойчивости?

Во всяком введенин в анализ объясняется, что любой дифференцируемый росток $f:(\mathbf{R}, 0) \rightarrow(\mathbf{R}, 0)$ с ненулевым рядом Тейлора в нуле можно преобразовать в первьій ненулевой член этого ряда с помощью подходящей замсны координат. Что происходит в высших размерностях? Когда росток дифференцируемого отображения определяется (с точностью до замен координат) конечным отрезком своего разложения Тейлора?

Таковы некоторые из вопросов, обсуждаемых в этой книге. Быть может, они побудят читателя серьезно заняться изучением и развитием некоторых идей P. Tома.

Регенсбург, весна 1974 r.
Теодор Брёкер