Литература: Дж. Милнор, Топология с днфференциальноА точки зрения, в книге: Дж. Миянор и А. Уоллес, Днфференциальная топология, начальный курс, «Мир», М., 1972, crp. 177-267.
P. Нарасимхан, Анализ на действительных и комплексных многообразиях, «мир», М., 1971.
С. Стернберг, Лекции по дифференциальной геометрни, «мир, М., 1970.

Цель настоящей главы – доказать следующую теорему:

2.1. Теорема Сарда. Мера Лебега множества критичских значений дифференцируе мого отображения равна нулю.

Определение множества нулевой меры Лебега будет дано ниже. А сейчас выведем некоторые следствия из сформулированной теоремы. Пусть $f: \mathbb{R}^{n} \rightarrow$ $\rightarrow \mathbf{R}^{m}$ – дифференцируемое отображение. Torда для почти всех точек $b \in \mathbf{R}^{m}$ (т. е. всюду, кроме множества меры нуль) верно следующее утверждение: множестзо $f^{-1}\{b\} \subset \mathbf{R}^{n}$ – дис ференцируемое подмногообразие размерности $n-m$. Иными словами:

При заданном $f=\left(f_{1}, \ldots, f_{m}\right)$ для почти всех $b_{i} \in \mathbf{R}$, $1 \leqslant i \leqslant m$, система нелинейных уравнений $f_{i}(x)=b_{i}$, $x \in \mathrm{R}^{n}, 1 \leqslant i \leqslant m$, имеет в качестве множества решений $(n-m)$-мерное многообразие. множество всех шаров в $\mathbf{R}^{m}$, имеющих рациональньй радиус и рациональные координаты центра (таких шаров счетное число!). Тогда если $U \subset \mathbb{R}^{m}$ – открытое подмножество, то $U=\bigcup_{l \in T} K_{l}$ для кекоторого подмножества $T \subset \mathbf{N}$.

Доказательство. Пусть $x \in U$ и $е>0$ столь мало, что $\varepsilon$-окрестность точки $x$ содержится в $U$. Возьмем шар $K_{i}$ с рациональным центром $y$, удовлетворяющим условик $|x-y|<\varepsilon / 3$, и рациональным радиусом $r$, удовлетворяющим условию $|x-y|<r<2 \varepsilon / 3$.
Вот следствие из этого утверждения.
2.3. Замечанне. Пусть $X$-произвольчое поднножество в $\mathbf{R}^{n}$ и $\left\{U_{\lambda}\right\}_{\lambda \in \Lambda}$ – семейство открытых множеств в $\mathbf{R}^{n}$, такое, что $X \subset \bigcup_{\lambda \in \Lambda} U_{\lambda}$. Тогда существует счетное множество $\Gamma \subset \Lambda$, такое, что $X \subset \bigcup_{\lambda \in \Gamma} U_{\lambda}$.

Доказательство. Множество $X$ содержится в объединении тех шаров $K_{p}$, каждый из которых содержится по меньшей мере в одном из множеств $U_{\lambda}$. Таких $K_{p}$ – счетное число. Выберем для каждого из ннх множество $U_{\lambda(\rho)}$, удовлетворяющее условию $K_{p} \subset U_{\lambda(p)}$. Тогда $X$ содержится в объединении таких $U_{\lambda(p)}$.
2.4. Определение. Множество $C \subset \mathbb{R}^{n}$ имеет меру нуль, если для любого $\varepsilon>0$ существует последовательность кубов $W_{l} \subset \mathbf{R}^{n}$, такая, что
\[
C \subset \bigcup_{i=1}^{\infty} W_{l} \text { и } \quad \sum_{i=1}^{\infty}\left|W_{l}\right|<\varepsilon .
\]

Здесь через $\left|W_{l}\right|$ обозначен объем куба $W_{l}$, т. е. $\left|W_{i}\right|=a^{n}$, где $a$ – длина ребра $W_{i}$.
2.5. Ясно, что если $C=\bigcup_{v=1}^{\infty} C_{v}$ и каждое из нножеств $C_{v}$ имеет меру нуль, то и множество $C$ имеет меру нуль. Действнтельно,
\[
C_{v} \subset \bigcup_{i=1}^{\infty} W_{i}^{v}, \quad \text { где } \quad \sum_{i=1}^{\infty}\left|W_{i}^{v}\right|<\frac{\varepsilon}{2^{v}},
\]

откуда следует, что
\[
C \subset \bigcup_{i, v} W_{i}^{v}, \quad \text { где } \sum_{i, v}\left|W_{i}^{v}\right|<\sum_{v} \frac{e}{2^{v}}=\varepsilon .
\]

Аналогичные рассуждения показывают, что для определения множеств меры нуль годятся как открытые, так и замкнутые $W_{6}$, а вместо кубов можно брать шары, параллелепипеди и т. д.
2.6. Лемма. Если множество $C \subset \mathbb{R}^{n}$ имеет меру нуль и $\mathrm{f:C} \rightarrow \mathrm{R}^{n}$-дифференцируемое отображение, то множество $f(C)$ имеет меру нуль.

Доказательство. Выберем открытое множество $U$, содержащее $C$, и дифференцируемое отображение $F: U \rightarrow \mathrm{R}^{n}$, такое, что $F \mid C=f$. Поскольку $U$ является объединением счетного числа замкнутых шаров, без ограничения общности можно считать, что $C$ содержится в некотором компактном шаре и что покрывающие $C$ кубы также содержатся в (несколько большем) компактном шаре $K$, который в свою очередь содержится в $U$.
Положим теперь
\[
b=\max \left\{\left.\left|\frac{\partial F_{i}}{\partial x_{l}}(x)\right| \right\rvert\, x \in K\right\} .
\]

Если длина ребра куба $W$ равна $a$, то $\left|x_{i}-x_{i}^{0}\right| \leqslant a$ для $x \in W$, откуда
\[
\left|F_{t}(x)-F_{i}\left(x^{0}\right)\right| \leqslant b \cdot n \cdot a .
\]

Значит, множество $F(W)$ содержится в кубе с длиной ребра $(b n) \cdot a$. Следовательно, из равенства $|W|=a^{n}$ вытекает, что $F(W)$ содержится в кубе объема
\[
(b n)^{n} \cdot a^{n}=(b n)^{n} \cdot|W| \text {, }
\]

причем константа $(b n)^{n}$ не зависит от $W$. Если $\Sigma\left|W_{i}\right|<\varepsilon /(b n)^{n}$, то все $F\left(W_{i}\right)$ содержатся в объединении кубов, сумма объемов которых меньше $\varepsilon$.

Из сказанного вытекает, в частности. следующее утверждение.
2.7. Свойство множества $C \subset R^{n}$ иметь меру нуль является локальным дифференциально-топологическим свойством.

Локальность означает здесь, что $C$ имеет меру нуль в том и только том случае, когда для каждой точки $x \in \mathrm{R}^{n}$ найдется такая окрестность $U$, что множество $C \cap U$ имеет меру нуль.

Часть $\Rightarrow$ доказывается тривиально: положим $U=\mathbf{R}^{n}$.
$\Leftarrow$ Покроем $\mathbf{R}^{n}$ счетным числом таких окрестностей $U_{p}$. Тогда $C=C \cap\left(\bigcup_{p \in N} U_{p}\right)=\bigcup_{p \in N}\left(C \cap U_{p}\right)$, а последнее множество имеет меру нуль.

Термин дифференциально-топологическое свойство означает, что диффеоморфизмы переводят множества меры нуль в множестза меры нуль. Более общо, тем же свойством обладают произвольные дифференцируемые отображения $\mathbf{R}^{n} \rightarrow \mathbf{R}^{n}$.

Предостережение. Свойство иметь меру нуль не является топологическим свойством. Существуют гомеоморфизмы плоскости в плоскость, переводяцие единичный интервал на одной из осей в множество положительной мерь.

Доказательство? $\mathrm{Ma}$ оставляем его чнтателю в качестве упражнения (см. Mayrhofer K., Inhalt und Mass, Springer, 1952, и примените теорему Жордана о плоской кривой).
2.8. Теорема (Фубини). Пусть $\mathbf{R}_{t}^{n-1}=\left\{x \in \mathbf{R}^{n} \mid x_{n}=\right.$ $=t\} \subset \mathrm{R}^{n}$. Пусть С-компактное множество в $\mathrm{R}^{n}, u$ пусть для любого $t \in \mathbf{R}$ множество $C \cap \mathbf{R}_{t}^{n-1}$ имеет меру нуль в $\mathbf{R}_{t}^{n-1} \cong \mathbf{R}^{n-1}$. Тогда $C$ имеет меру нуль $\theta \mathbf{R}^{n}$.

Доказательство. Мы используем следующую лемму.
2.9. Лемма. Нз любого покрытия отрезка $[0,1]$ открытыми интервалами можно выбрать конечное подпокрытие $\left\{I_{1}\right\}_{1 \leqslant 1 \leqslant k}$, удовлетворяющее ус иовию $\Sigma\left|I_{1}\right| \leqslant 2$.

Доказательство леммы. Выберем из данного покрытия открытыми интервалами миг ммальное конечное подпокрытие, т. е. подпокрытие, из которого ни один интервал нельзя выбросить. Обозначим это покрытие через $\left\{I_{i}\right\}_{1<1<k}$, и пусть $a_{f}$ и $b_{f}$ – концы интервала $I_{f}$. Перенумеруем интервалы так, чтобы числа $a_{1}$ возрастали с ростом индекса $i$. Это можно сделать, так как если $a_{i}=a_{j}$, то либо $b_{i} \leqslant b_{j}$, и тогда интервал $\left(a_{i}, b_{l}\right)$ излишний, либо $b_{1}<b_{i}$, и тогда можно выброснть интервал ( $\left.a_{j}, b_{j}\right)$ (мы исключаем тривиальный случай $k \leqslant 2$ ). Далее,
\[
a_{i}<a_{i+1}<b_{i} \leqslant a_{i+2} .
\]

Действительно, если бы нарушалось второе неравенство, то в покрытии была бы дырка. Для доказательства третьего неравенства заметим, что $b_{i}<b_{i+1}$, так как в противном случае мы имели бы $\left(a_{i}, b_{i}\right) \supset$ $\supset\left(a_{i+1}, b_{t+1}\right)$. Поэтому если бы третье неравенство нарушалось, то мы имели бы
\[
\left(a_{i}, b_{t}\right) \cup\left(a_{i+2}, b_{i+2}\right) \supset\left(a_{i+1}, b_{i+1}\right) .
\]

Отсюда следует, что
\[
\begin{aligned}
\sum\left(b_{i}-a_{i}\right) & =\sum\left(a_{i+1}-a_{i}\right)+\sum\left(b_{i}-a_{i+1}\right)< \\
& <\sum\left(a_{i+1}-a_{i}\right)+\sum\left(a_{i+2}-a_{i+1}\right)< \\
& <2 .
\end{aligned}
\]

Это доказывает лемму.
Приступим теперь к доказательству теоремы Фубини. Определим $C_{t}$ равенством $C_{t} \times\{t\}=C \cap\left(\mathbf{R}^{n-1} \times\{t\}\right)$. Без ограничения общности можно считать, что $C \subset$ $\subset \mathbb{R}^{n-1} \times[0,1]$ и что $C_{t}$ имеет меру нуль для любого $t \in[0,1]$. Фиксируем в $>0$. Найдем покрытие $C_{t}$ открытыми кубами $\left\{W_{i}^{i} \mid i \in \mathbf{N}\right\}$, сумма объемов которых меньше е. Положим $\mathbb{W}_{t}=\bigcup_{t \in N} \mathbb{W}_{t}^{t} \subset \mathbb{R}^{n-1}$.

Если $x_{n}$-последняя координата в $\mathrm{R}^{n}$, то при фикснрованном $t$ функция $\left|x_{n}-t\right|$ непрерывна на $C$ и обращается в нуль олько на $C_{t} \times\{t\}$. Поскольку множество $C-\left(W_{t} \times[0,1]\right)$ компактно, ограничение функции $\left|x_{n}-t\right|$ на $C$ достигает своего минимального значения $\alpha$.

Следовательно,
\[
C \cap\left\{x \in R^{n}|| x_{n}-t \mid<\alpha\right\} \subset W_{t} \times I_{t}^{\alpha},
\]

где $I_{i}^{\alpha}=(t-\alpha, t+\alpha)$.

Семейство интервалов $I_{t}^{a}$ покрывает отрезок $[0,1]$. Применив лемму, найдем конечное подпокрытие интервалами $I_{t}^{a}$, скажем $\left\{I_{t}^{a}\right\}_{1 \leqslant /<k}$, удовлетворяющее условию $\sum\left|I_{t_{j}}^{\alpha}\right| \leqslant 2$. Параллелепипеды $\left\{W_{i}^{t}, \times I_{i}^{\alpha} \mid j=\right.$ $=1, \ldots, k, i \in \mathbf{N}\}$ покрывают $C$, и сумма их объемов меньше $2 \varepsilon$.
2.10. Оьовщенив творемы Фубини. Вместо компактности $C$ достаточно предположить, что $C$ есть объединение счетного числа компактных множеств. Вот несколько примеров множеств такого типа:
(i) замкнутые множества: $C=\bigcup_{n \in \mathbb{N}} C \cap\{|x| \leqslant n\}$;
(ii) открытые множества (объединения счетного числа замкнутых шаров);
(iii) образы множеств вида (i) и (ii) при непрерывных отображениях $\mathbf{R}^{n} \rightarrow \mathbf{R}^{n}$ (компактные множества переходят в компактные множеcrвa);
(iv) счетные объединения конечных пересечений множеств типов (i) – (iii).

Теперь мы докажем теорему Сарда.
2.11. Пусть $U$ – отк пытое множество в $\mathbf{R}^{n}, f: U \rightarrow$ $\rightarrow \mathbf{R}^{p}-$ диффер?нцируемое отображение и $D=\{x \in U \mid$ $\left.\mathrm{Rk}_{x} f<p\right\}$-множество критических точек $f$. Тода кножсество $f(D)$ имеет меру куль.
Доказательство. Индукция по $n$.
При $n=0$ пространство $\mathbb{R}^{n}$ состоит из одной точки и $f(U)$ состоит не более чем из одной точкя, следовательно, теорема верна.

Шаг индукции. Обозначим через $D_{i} \subset U$ множество таких точек $x \in U$, в которых все частные производные $f$ порядка $\leqslant i$ обращаются в нуль. Такие $D_{l}$ образуют убываюную последовательность замкнутых множеств
\[
D \supset D_{1} \supset D_{2} \supset \ldots .
\]

Мы докажем три утверждения:
(a) множество $f\left(D-D_{1}\right)$ имеет меру нуль;
(b) множество $f\left(D_{i}-D_{i+1}\right)$ имеет меру нуль при любом $i$;
(c) множество $f\left(D_{k}\right)$ имеет меру нуль при достаточно большом $k$.

Замечание 1. Все эти множества попадают в одну из четырех категорий множеств (i) – (iv), рассмотренных нами при обобщении теоремы Фубини.

Замечание 2. В случае (а) (и аналогично в случаях (b) и (c)) достаточно доказать, что каждая точка $x \in D-D_{1}$ обладает такой окрестностью $V$, что множество $f\left(V \cap\left(D-D_{1}\right)\right)$ имеет меру нуль. Это вытекает из того, что $D-D_{1}$ покрывается счетным числом таких $V$.

Доказательство (а). Предположим, что $p \geqslant 2$, поскольку для $p=1$ мы имеем $D=D_{1}$. Пусть $d \in$ $E D-D_{1}$. Так как $d
otin D_{1}$, то существует частная производная, скажем $\frac{\partial f_{1}}{\partial x_{1}}$, такая, что $\frac{\partial f_{1}}{\partial x_{1}}(d)
eq 0$. Следовательно, отображение
\[
h: U \rightarrow \mathbf{R}^{n}, \quad\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right) \mapsto\left(f_{1}(x), x_{2}, \ldots, x_{n}\right)
\]

имеет в качестве матрицы Якоби матрицу
\[
D(h)=\left[\begin{array}{c|ccc}
\frac{\partial f_{1}}{\partial x_{1}} & \cdots & . \\
\hline 0 & 1 & & 0 \\
\cdot & \cdot & \\
0 & 0 & & 1
\end{array}\right]
\]

Отсюда следует, что матрица $D(h)(d)$ невырожденна. Таким образом, в некоторой окрестности $V$ точки $d$ отображение $h$ является заменой координат.

Рассмотрим диаграмму
\[
g\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)=\left(x_{1}, g_{2}(x), \ldots, g_{p}(x)\right) .
\]

Очевидно, что $g$ переводит гиперплоскость $\left\{x_{1}=t\right\}$ в гиперплоскость $\left\{y_{1}=t\right\}$. Определим отображение
\[
g^{t}:\left(\{t\} \times \mathbf{R}^{n-1}\right) \cap V^{\prime} \rightarrow\{t\} \times \mathbf{R}^{p-1}
\]

как ограничение отображения $g$.
Точка множества $\left(\{t\} \times \mathbf{R}^{n-1}\right) \cap V^{\prime}$ будет критической т8чкой отображения $g$ в том и только в том случае, когда она является критической точкой отображения $g^{t}$. Это вытекает из того, что матрица Якоби отображения $g$ имеет вид
\[
D g=\left[\begin{array}{l|l}
1 & 0 \ldots .0 \\
? & \frac{\partial g_{l}^{t}}{\partial x_{l}}
\end{array}\right] .
\]

По индуктивному предположению множество критических значений отображения $g^{t}$ имеет меру нуль в $\{t\} \times \mathrm{R}^{n-1}$. Поэтому множество $g\left(D^{\prime}\right)$ имеет пересечение меры нуль с каждой гиперплоскостью $\left\{x \mid x_{1}=t\right\} \subset \mathrm{R}^{p}$. По теореме Фубини, множество $g\left(D^{\prime}\right)$ имеет меру нуль.

Дохазательство (b). Қак и в случае (а), если $d \in D_{k}-D_{k+1}$, то одна из производных порядка $k+1$ не обращается в нуль в точке $d$. Без ограничения общности можно считать, что
\[
\frac{\partial^{k+1} f_{1}}{\partial x_{1} \partial x_{s_{2}} \cdots \partial x_{s_{k+1}}}(d)
eq 0 .
\]

Введем функцию $w: U \rightarrow \mathbf{R}$ следующим образом:
\[
w(x)=\frac{\partial^{k} f_{1}}{\partial x_{s_{z}} \cdots \partial x_{s_{k+1}}}(x) .
\]

Тогда $w(d)=0$ и $\frac{\partial w}{\partial x_{1}}(d)
eq 0$, поскольку $d \in D_{k}$ и $d
otin D_{k+1}$. Как и выше, отображение $h: U \rightarrow \mathbf{R}^{n}$
\[
h(x)=\left(w(x), x_{2}, \ldots, x_{n}\right)
\]

является преобразованием координат в некоторой окрестности $V$ точки $d$ и $h\left(D_{k} \cap V\right) \subset\{0\} \times \mathbf{R}^{n-1} \subset \mathbf{R}^{n}$. Снова положим
\[
g=f \circ h^{-1}: V^{\prime}=h(V) \rightarrow \mathbf{R}^{p}
\]

и
\[
g^{0}=g \mid \ldots:\left(\{0\} \times \mathbf{R}^{n-1}\right) \cap V^{\prime} \rightarrow \mathbf{R}^{p} .
\]

По индуктивному предположению множество критических значений отображения $g^{0}$ нмеет меру нуль. Но всякая точка множества $h\left(D_{k} \cap V\right)$ есть критическая точка отображения $g^{0}$, поскольку все частные производные $g$ (а, следовательно, и $g^{0}$ ) порядка $\leqslant k$ (в частности, порядка 1) обращаются в нуль. Следовательно, множество $g h\left(D_{k} \cap V\right)$ имеет меру нуль.

Доказательство (с). Пусть $W \subset U-$ куб с длиной ребра а. Мы покажем, что при $k>\frac{n}{p}-1$ множество $f\left(\mathbb{W} \cap D_{k}\right.$ ) имеет меру нуль. Этого будет достаточно, поскольку $U$ – счетное объединение кубов. По теореме Тейлора получаем, что
(T) $\left.\begin{array}{l}f(x+h)=f(x)+R(x, h), \\ |R(x, h)| \leqslant c \cdot|h|^{k+1}\end{array}\right\}$ для $x \in D_{k} \cap \mathbb{W}, x+h \in \mathbb{W}$,

где $c$ зависит от $W$ и $f$.
Разложим $W$ в объединение $r^{n}$ кубов с длиной ребра a/r. Если $W_{1}$ – один из этих кубов, содержащий точку $x \in D_{k}$, то каждую точку из $W_{1}$ можно записать как $x+h$, причем
\[
|h| \leqslant \frac{a \sqrt{n}}{r} .
\]

Следовательно, используя (T), мы получаем, что множество $f\left(
abla_{1}\right)$ содержится в кубе’с длиной ребра, равной
\[
2 \cdot c \cdot(a \sqrt{n})^{k+1 / r^{k+1}}=b / r^{k+1} \text {, }
\]

где $b$ – некоторая константа, зависящая от $W$ и $f$. Сумма объемов всех таких кубов не превосходит $r^{n} \cdot b^{p} / r^{p(k+1)}$. Если выполнено условие $p(k+1)>n$, то эта сумма стремится к нулю с ростом $r$. Следовательно, суммарный объем может быть сделан сколь угодно малым за счет выбора достаточно мелкого разбиения.
2.12. Упражнения. 1. Обобщите теорему. Сарда на отображения днфференцируемых многообразий.
2. Пусть $M^{m} \subset \mathbf{R}^{n}$ – дифференцируемое подмногообразие и $L^{n-1} \subset \mathbf{R}^{n}$ – линейное подпространство. Тогда существует аффинное подпространство $A \subset R^{n}$, параллельное $L^{n-1}$ и такое, что множество $A \cap M^{m}$ является ( $m-1$ )-мерным подмногообразием.
2.18. ТиПичнов ПРиложЕниЕ. Пусть $D^{n}=\{x|| x \mid \leqslant 1\} \subset$ $\subset \mathbf{R}^{n}$. Пусть $f: D^{n} \rightarrow \mathrm{R}^{n}$ – непрерывное отображение, такое, что $f\left(S^{n-1}\right) \subset D^{n}$. Тогда $f$ имеет неподеижную точку. (Теорема Брауэра.)

Набросок доказательства. Предположим противное. Тогда существует такое $\delta$, что для всех $x \in D^{n}: \mid x-$ $-f(x) \mid \geqslant \delta>0$. Aппроксимируем $f$ дифференцируемым отображением $f_{1}$, не имеющим неподвижных точек (это можно сделать, так как если для всех $x \in D^{m}:\left|f_{1}(x)-f(x)\right|<\delta / 2$, то $f_{1}$ не имеет неподвижных точек). Определим отображение $\varphi: D^{n} \rightarrow S^{n-1}$ так, как показано на рисунке:

Ясно, что это отображение дифференцируемо итождественно на $\mathcal{S}^{n-1}$, т. е. $\varphi / S^{n-1}=$ id. Пусть $y \in S^{n-1}-$ регулярное значение отображения $\varphi$ (такое $y$ существует по теореме Сорда). Рассмотрим множество $M=\varphi^{-1}\{y\} \subset D^{n}$. Пересечение $M$ с внутренностью $D^{\circ}$ диска $D$ является дифференцируемым подмногообразисм размерности 1. По теореме 0 . ранге существуют координаты в окрестности точки $y$, в которых $\varphi$ локально записывается в виде
\[
\left(y_{1}, \ldots, y_{n}\right) \mapsto\left(y_{1}, \ldots, y_{n-1}, 0\right),
\]

причем в этих коордінатах, тоже локально, $S^{n-1}$ совпадает с множеством $\left\{y_{n}=0\right\}$. Следовательно, точка $y$ обладаст в $M$ окрестностью, изоморфной $[0,1)$.

$M$ компактно и, следовательно, является одномерным многообразием с краем. Қаждое одномерное многообразие с краем есть объединение конечного числа отрезков и окружностей (с точностью до диффеоморфизма). Однако $M$ имеет только одну граничную точку $y$. Противоречие.
2.14. Второв приложение. Пусть $p \geqslant 2 n$ u $\mathrm{f}: \mathbf{R}^{n} \rightarrow$ $\rightarrow \mathbf{R}^{p}$ – дифференцируемое отображение. Тогда существует линейное отображение $A: \mathbf{R}^{n} \rightarrow \mathbf{R}^{p}$ со сколь угодно малой нормой, такое, что отображение $f+A: \mathbf{R}^{n} \rightarrow \mathbf{R}^{p}$ – иммерсия.

Доказательство. Отображение $f$ – иммерсия, если векторы $\left\{\left(\partial f / \partial x_{t}(x)\right) \mid i=1, \ldots, n\right\}$ линейно независимы в каждой точке $x \in \mathbf{R}^{n}$.

Предположим, что векторы $\left\{\partial f / \partial x_{i} \mid i=1, \ldots, s\right\}$ всюду линейно независимы, $s<n$. Рассмотрим отображение
\[
\begin{array}{c}
\varphi: \mathbf{R}^{s} \times \mathbf{R}^{n} \rightarrow \mathbf{R}^{p}, \\
\varphi\left(\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{s}, x\right)=\sum_{i=1}^{s} \lambda_{j} \frac{\partial f}{\partial x_{j}}(x)-\frac{\partial i}{\partial x_{s+1}}(x) .
\end{array}
\]

Поскольку $s+n<p$, множество $\varphi\left(\mathbf{R}^{s} \times \mathbf{R}^{n}\right)$ имеет меру нуль. Пусть $a \in \mathbf{R}^{p}, a$ мало и $a
otin \varphi\left(\mathbf{R}^{s} \times \mathbf{R}^{n}\right)$. Положим $g(x)=f(x)+a x_{s+1}$. Тогда
\[
\begin{aligned}
\frac{\partial g}{\partial x_{i}} & =\frac{\partial f}{\partial x_{i}} \quad \text { при } i \leqslant s, \\
\frac{\partial g}{\partial x_{s}+1} & =\frac{\partial !}{\partial x_{s+1}}+a,
\end{aligned}
\]

и, значит, ни для какого $x \in \mathrm{R}^{n}$ не выполняется равенство
\[
\sum_{l=1}^{s} \lambda_{l} \frac{\partial g}{\partial x_{l}}(x)=\frac{\partial g}{\partial x_{s+1}}(x) .
\]

Следовательно, векторы $\partial g / \hat{c} ; i$ при $1 \leqslant i \leqslant s+1$ всюду линейно независимы. Из этого утверждения теорема следует по индукции.

Мы сможем дать гораздо лучшую интерпретацию этого результата, если введем понятие окрестности в множестве дифференцируемых отображений. Опишем это понятие таким способом, который вполне достаточен для локальных рассмотрений.

Пусть $U \subset \mathbf{R}^{n}, K \subset U, K$ компактно. В множестве $C_{K}^{k}(U)$ дифференцируемых отображений $f: U \rightarrow \mathbf{R}$ введем следуюшую полунорму: $|f|_{K}^{k}=$ (максимальное значение на $K$ всех производных $f$ порядков $\leqslant k$ ).

Множество всех $g \in C_{K}^{k}(U)$, удовлетворяющих условню $|g-f|_{K}^{k}<\varepsilon$, назовем $\varepsilon$-окрестностью точки $f$ в $C_{K}^{k}(U)$. Введение $\varepsilon$-окрестностей наделяет $C_{K}^{k}(U)$ топологией, и, следовательно, можно говорить об открытости, замкнутости, плотности и т. д. Положим
\[
C_{K}^{k}\left(U, \mathrm{R}^{p}\right)=\underbrace{C_{K}^{k}(U) \times \ldots \times C_{K}^{k}(U)}_{\dot{\rho} \text { сомножнтелев }}
\]

и определим норму в этом пространстве как максимум норм компонент. Теперь доказанное нами утверждение можно сформулировать следующим образом:
2.15. Пусть $K \subset U \subset \mathbf{R}^{n}, K$ компактно, $U$ открыто и $p \geqslant 2 n$. Тогда нножество D дифференцируемых отображений $\mathrm{f:} U \rightarrow \mathrm{R}^{p}$, таких, что $\mathrm{Rk}_{x} \mathrm{f}=n$ для всех $x \in K$, открыто и плотно в $C_{K}^{k}\left(U, \mathbf{R}^{p}\right)$ при любом $k$.

Доказательство. Пусть $\mathrm{f:} U \rightarrow \mathbf{R}^{p}$ – иммерсия, $K \subset$ $\subset U$. Рассмотрим отображение
\[
U \xrightarrow{D f} \mathbf{R}^{n \cdot p} \xrightarrow{\varphi} \mathbf{R},
\]

где $\varphi(A)$ – сумма квадратов всех $(n \times n)$-миноров матрицы $A$.

По предположению композиция отображений $\varphi \circ D f$ нигде не обращается в нуль на $K$. Если отображение $f_{1}: U \rightarrow \mathbf{R}^{p}$ дифференцируемо и $D f_{1}$ достаточно близко к $D f$ на $K$, то $\varphi \circ D f_{1}
eq 0$ всюду на $\boldsymbol{K}$. Следовательно, множество $\mathbb{D}$ открыто. Кроме того, оно плотно, ибо можно найти линейное отображение $A$ со сколь угодно малой нормой на $K$, такое, что отображение $f+A$ будет иммерсией.

Тополог сформулировал бы этот результат так: отображение $\mathbf{R}^{n} \supset U \rightarrow \mathbf{R}^{p}$ при $p \geqslant 2 n$ почти всегда является иммерсией.