Литература: Р. Том, Г. Левнн, Особенноств дифференцируемых отображений, в сб. «Особенности днфференцируемых отображений, кМир», М., 1968, стр. 8-101.
Дж. М. Бордман, Особенности дифференднруемых отображений, в сб. кОсобенности дифференднруемых отображеннйу, «Мир», М., 1968, стр. 102-152 (см. такхе IHES Publ. Math., 33 (1967), 21-57).
J. Mather, On Thom – Boardman singularities, Internat. Sympos. In Dynamical Systems (Salvador 1971), Academic Press, New York, 1973.
J. Milnor, Differential topology, lecture notes, Princeton, 1958 .

Пусть $\mathrm{f}: M \rightarrow N$ – дифференцируемое отображение. Мы уже видели в упражнениях, что множество
\[
\Sigma^{i}(f)=\left\{x \in M \mid \operatorname{dim}(M)-\mathrm{Rk}_{x} f=i\right\} \subset M
\]

может быть очень сложным, в некоторых случаях это может быть любое замкнутое подмножество в $M$. C другой стороны, для отображения поверхности в поверхность множество $\Sigma^{l}(f)$ для почти всех $f$ является многообразисм. Для отображений Уитни могут появиться только множества $\Sigma^{0}(f)$ и $\Sigma^{1}(f)$. Первое из них открыто, а второе состоит из дифференцируемых кривых.

Если $\Sigma^{l}(f)$ оказывается мнопообразием, то можно определить множество $\Sigma^{l, I}(f)=\Sigma^{\prime}\left(f \mid \Sigma^{l}(f)\right)$. В случае отображений Уитни единственным интересным множеством такого вида является $\Sigma^{\prime} \cdot 1(f)$, которое состоит из точек сборки $f$. До тех пор, пока на каждом шаге получаются многообразия, эту конструкцию можно продолжать, определяя индуктивно множество существует ли открытое плотное подмножество $T \subset$ $\subset C^{\infty}(M, N)$, такое, что для любого $f \in T$ все подмножества $\Sigma^{i_{1}}, i_{2}, \ldots . i_{n}(f)$ могут быть определены описанным выше способом и являются многообразиями? Утвердительный ответ на него получил Бордман, который нашел массивное подмножество $T$ (т. е. счетное пересечение открытых плотнь’х множеств).

Мезер заметил, что если\” $M$ компактно, то это множество $T$ содержит открытое плотное множество с теми же свойствами-см. предложение 2 в $\$ 6$ указанной выше работы Мезера.

Для того чтобы эта книга осталась введением в теорию дифференцируемых отображений и не превратилась в изложение результатов Бордмана, мы изучим только подмножества особенностей $\Sigma^{i}(f)$. Этот случай был рассмотрен еще Томом. ниях опирг зтся на рассуждения, связанные с кобщим положением» некоторых подмногообразий. В дифференциальной топологии понятие «общего положения» описывается с помощью трансверсальности. Поэтому сначала мы введем это последнее понятие.

Пусть $f: M^{m} \rightarrow N^{n}$ – дифференцируемое отображение и $U^{n-k}$ – подмногообразие коразмерности $k$ в $N^{n}$ :

Вообще говоря, множество $f^{-1}(U) \subset M$ может и не быть подмногообразием. Как мы уже знаем, если $U=\{0\} \subset \mathbf{R}^{\prime}$, то $f^{-1}(U)$, может быть произвольным замкнутым подмножеством. То же самое может случиться и в более общей ситуации.
9.1. Определение. Отображение $f: M^{m} \rightarrow N^{n}$ называется трансверсальным подмногообразию $U^{n-k} \subset N^{n}$, если для каждой точки $x \in M$, такой, что $f(x) \in U$, выполнено следующее условие:

Пусть $\left(y_{1}, \ldots, y_{n}\right)$ – локальные координаты в окрестности точки $f(x)$, такие, что вблизи этой точки подмногообразие $U$ задается уравнениями $y_{1}=y_{2}=\ldots$ $\ldots=y_{k}=0$ (см. определение подмногообразия). Тогда матрица
\[
\left(\partial f_{i} / \partial x_{1}\right), \quad 1 \leqslant i \leqslant k, \quad 1 \leqslant j \leqslant m,
\]

где $\left(x_{1}, \ldots, x_{m}\right)$ – некоторая система координат в окрестности точки $x \in M$, имеет ранг $k$ в точке $x$.

Заметим, что sто условие затпагивает только те $x \in M$, для которых $f(x) \in U$. Следовательно; если $m<k$, то трансверсальность означает просто, что $f(M) \cap U=\varnothing$.

Используя касательные пространства и касательное отображение, это условие можно сформулировать слелующим образом:
Если $x \in M$ и $f(x) \in U$, то отображение
\[
T_{x} M \xrightarrow{T_{x} t} T_{f(x)} N \rightarrow T_{f(x)} N / T_{f(x)} U
\]

сюръективно. Иначе говоря,
\[
T_{x} f\left(T_{x} M\right)+T_{f(x)} U=T_{f(x)} N .
\]
1) Трансверсальность – 9то свой гво отображеняя $f$, а не множества $f(M)$. Поятому если нарисовано множество $f(M)$, то иногда из этого рнсунка можно понять, что $\mid$ не трансверсально $U$, но внкогда нельзя гарантнровать, что $f$ трансверсально $U$. но внкогия $=\left(0, t^{\circ}\right)$. Приж. перео.

9.2. Замечание. Если отображение $\mathrm{f:} \boldsymbol{M}^{m} \rightarrow N^{n}$ трансвгрсалбно подмногообразию $U^{n-k} \subset N^{n}$, то множество $\hat{f}^{-1}(U) \subset M$ либо является подмногообразиеж коразмерности $k$, либо пусто.

Доказательство. Выберем системы координат ( $x_{1}, \ldots$ $\left.\ldots, x_{m}\right)$ и $\left(y_{1}, \ldots, y_{n}\right)$, как в определении трансверсальности. Вблизи точки $x \in f^{-1}(U)$ множество $f^{-1}(U)$ локально является прообразом нуля при композиции отображений
\[
\left(x_{1}, \ldots, x_{m}\right) \stackrel{f}{\mapsto}\left(y_{1}, \ldots, y_{n}\right) \stackrel{\text { prof }}{\longmapsto}\left(y_{1}, \ldots, \zeta_{k}\right) .
\]

Это отображение имеет ранг $k$ по определению трансверсальности.

Если $U \subset N$ – замиутое множество, то множество отображений, трансверсальных $U$, является открытым подмножеством в $C^{\infty}(M, N)$. Это вытекает из того, что трансверсальность локально выражается необращением в нуль некоторого непрерывного отображения $\varphi_{f}: M \rightarrow \mathbb{R}$, а именно суммы квадрата расстояния $(f(x), U)$ и квадратов детерминантов $\left(\partial f_{i} / \partial x_{j}\right), i \leqslant k$. Если $f$ меняется мало, то и $\varphi_{f}$ меняется мало.

С другой стороны, теорема трансверсальности Тома (см. лекции Милнора по дифференциальной топологии) утверждает, что множество отображений, трансверсальных $U$, плотно в $C^{\infty}(M, N)$.

Локальная часть этой теоремы следует непосредственно из теоремы Сарда. Если $f: M \rightarrow \mathbb{R}^{n}$ – дифференцируемое отображение, то возьмем регулярное значение $\lambda=\left(\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{k}\right)$ композицни
\[
M \xrightarrow{\perp} \mathbb{R}^{n} \xrightarrow{p} \mathbb{R}^{i},
\]

где $p\left(y_{i}, \ldots, y_{n}\right)=\left(y_{1}, \ldots, y_{k}\right)$. Тогда отображение $M \rightarrow \mathbb{R}^{n}$, определяемое формулой
\[
x \mapsto f(x)-\left(\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{k}, 0, \ldots, 0\right),
\]

близко к $f$ при малых $\lambda$ и трансверсально подмногообразию
\[
\mathbf{R}^{n-k}=\left\{\left(y_{1}, \ldots, y_{n}\right) \in \mathbf{R}^{n} \mid y_{1}=\ldots=y_{k}=0\right\} .
\]

Вывод глобального случая из локального мы не будем повторять, так как он опирается на рассуждения с локально конечными покрытиями, которые мы уже проводили в конце доказательств лемм 8.5 и 8.7.

После этих предварительных разговоров об общем положении вернемся к множеству особенностей. Начнем с того, что решим задачу, сформулированную раньше в качестве упражнения.
9.3. Лемма. Пусть $L A(n, m)=\operatorname{Hom}\left(\mathbf{R}^{n}, \mathbf{R}^{m}\right)-в е \kappa-$ торное пространство вещественных ( $m \times n$ )-латрш, а $L A(n, m ; t) \subset L A(n, m)$ – подпространство матриц ранеа r. Тогда множество LA $(n, m ; r)$ есть дифференцируемое подмногообразие в $L A(n, m)$ коразмерности $(n-r) \cdot(m-r) n p u \quad r \leqslant \min (m, n)$.

Докаяательстьо. Пусть $U \subset L A(n, m)$ – открытое множество матриц вида
\[
r\left\{\left[\begin{array}{c|c}
\overbrace{m}^{r} \\
\hline D & ?
\end{array}\right], \quad \operatorname{det} A
eq 0 .\right.
\]

Произвольную точку множества $L A(n, m ; r)$ можно считать лежащей в $U$ (в противном случае переставим строки и столбцы). Множество $U \cap L A(n, m ; r)$ состоит из таких матриц, у которых последние $n-r$ столбцов линейно выражаются через первые $r$. Выберем следующие матрицы $A, B, C, D$ :
$A: \quad(r \times r)$-матрица, $\operatorname{det} A
eq 0$,
$B: \quad(r \times(n-r))$-матрица,
C: $\quad((m-r) \times(n-r))$-матрнца,
$D: \quad((m-r) \times r)$-матрица

и рассмотрим отображение
\[
\begin{array}{l}
=\left[\begin{array}{c|c}
A & A B \\
\hline D & D B+C
\end{array}\right] . \\
\end{array}
\]

Образ этого отображения лежит в $U$, и первый сомножитель является обратимой матрицей, поскольку $\operatorname{det} A
eq 0$. Очевндно, это отображение обратимо, поскольку существует матрица $A^{-1}$. Образ $(A, B, C, D$ ) лежит в $L A(n, m ; r)$ тогда и только тогда, когда $C=0$. Следовательно, множество $U \cap L A(n, m ; r)$ есть подмногообразие коразмерности $(m-r) \cdot(n-r)$ в множестве всех матриц.
9.4. Лемма. Пусть $f: \mathbf{R}^{n} \rightarrow \mathbf{R}^{m}$ – дифференцируемое отображение и $U \subset L A(n, m)$ – дифференцируемое подмногообразие; тогда для почти всякого линейного отображения $A: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}^{m}$ (т. е. для почти всякой матрицы) отображение
\[
\mathbf{R}^{n} \rightarrow L A(n, m), \quad x \mapsto D(f+A)(x)=D f(x)+A
\]

трансверсально $U$.
Доказательство. Рассмотрим отображение
\[
\varphi: \mathbb{R}^{n} \times U \rightarrow L A(n, m), \quad(x, u) \mapsto u-D f(x) .
\]

Пусть $A \subset L A(n, m)$ – регулярное значение $\varphi$. Мы утверждаем, что тогда отображение $\mathrm{R}^{n} \rightarrow L A(n, m)$, $x \mapsto D f(x)+A$, трансверсально $U$. Если $u \in U$ и $u=D f(x)+A$, то точка $u-D f(x)=A$ лежит в образе $\varphi$ и является регулярным значением $\varphi$. По९тому вблизи точки ( $x, u$ ) отображение $\varphi$ является субмерсией (оно имеет ранг $n \cdot m$ и касательное отображение $T \varphi$ – эпиморфизм). Это означает, что образ отображения, касательного к $D f$, и касательчое пространство к $U$ в точке $u$ порождают касательное пространство к $L A(n, m)$ в точке $A$. Заметим, что дифференциал отображения $D f: \mathbf{R}^{n} \rightarrow L A(n, m)$ совпадает с дифференциалом отображения $D f+A$, поскольку $A$-константа, принадлежащая векторному пространству $L A(n, m)$.
Из этих лемм вытекает следующая теорема:
9.5. Теорема (P. Том). Для дифференцируемого отображения $f: \mathbf{R}^{n} \rightarrow \mathbf{R}^{m}$ положим
\[
\Sigma^{r}(f)=\left\{x \in \mathbb{R}^{n} \mid \mathrm{Rk}_{x} f=n-r\right\} .
\]

Тогда для почти всякого линейного отображения $A: \mathbf{R}^{n} \multimap \mathbf{R}^{m}$ множество $\Sigma^{r}(f+A)$ является дифференцируемым подмногообразием в $\mathbf{R}^{n}$ коразмерности $(m-n+r) \cdot r$ при каждом $\left.r^{1}\right)$.

Доказательство. Имеем $\Sigma^{r}(f)=D f^{-1}(L A(n, m ; n-r))$. По лемме 9.3 множество $L A(n, m ; n-r)$ является подмногообразием в $L A(n, m)$ коразмерности $(m-(n-r))$. – $(n-(n-r))=(m-n+r) \cdot r$. Согласно лемме 9.4, путем прибавления точти любого отображения $A$ можно продеформировать $f$ так, чтобы отображение $D(f+A)$ стало трансверсально каждому подмногообразию $L A(n, m ; n-r)$. По сделанному ранее замечанию 9.2, множество $\Sigma^{\prime}(f+A)$ есть подмногообразие той же коразмерности, что и $L A(n, m ; n-r)$.

Стандартным рассуждением с локально конечными покрытиями можно получить отсюда более общий результат: для некоторого открытого и плотного множества отображений $f \in C^{\infty}\left(M^{m}, N^{m}\right)$ все множества $\Sigma^{r}(f)=\left\{x \in M \mid \mathrm{Rk}_{x} f=n-r\right\}$ являются подмногообразиями. Дополнительная трудность состоит в том, что
1) Здесь и ниже не исключается возможность того, что эго додмногообразие может быть пустым. – Прим. перев.

многообраяия $L A(n, m ; r)$ не замкнуты. Однако наша цель здесь – лишь пробудить у читателя интерес к этим вопросам и указать подходящую литературу. Подход Бордмана к общему случаю, т: е. к случаю множеств особенностей $\Sigma^{i}, \cdots, i_{r}(f)$, опирается на построение некоторых регулярных алгебраических многообразий $\Sigma\left(i_{1}, \ldots, i_{r}\right)$ в пространстве струй $\hat{\mathscr{E}}(n, m)$ (вместо пространства $L A(n, m) 1$-струй). Затем Бордман деформирует немного данное отображение $f: \mathbf{R}^{n} \rightarrow \mathbf{R}^{m}$ так, чтобы отображение
\[
\text { jf: } \begin{aligned}
\mathbf{R}^{n} & \rightarrow \hat{\mathscr{E}}(n, m), \\
x & \rightarrow \text { (струя ростка } f:\left(\mathbf{R}^{n}, x\right) \rightarrow \mathbf{R}^{m} \text { в точке } x \text { ) }
\end{aligned}
\]

стало трансверсальным ко всем подмногообразням $\Sigma\left(i_{1}, \ldots, i_{r}\right)$. Для отображений, обладающих этим свойством, он доказывает совпадение множеств
\[
\Sigma^{l_{1}}, \ldots, i_{r}(f) \text { и } \quad \text { if }{ }^{-1} \Sigma\left(i_{1}, \ldots, i_{r}\right)
\]

и то, что все они являются подмногообразиями.