Литература: Л. Хе̄рмандер, Введение в теорню фунхций нескольких комплексных переменных, -Мир», М., 1968.
Дж. Мезер, Теорема деления для бесконечно диффер:нцируемых и голоморфных функций, в сб. Особенности диф ференцируемых отображений, кМиру, М., 1968, crp. 198-215.
L. Nirenberg, A proof of the Malgrange – Mather preparation theorem, Proc. of Liverpool Singularities, Symposium 1, Springer Lecture Notes 192 (1971), 97 – 105.
Б. Мальгранж, Подготовнтельная теорема для дифференцирусмых фуккций, в сб. «Особенностн дифференцируемых отображений, мир», М., 1968, стр. 183 189.

Для того чтобы ниже нам не приходилось прерывать ход изложения для всевозможных пояснений, мы начнем эту главу с нескольких не связанных друг с другом предварительных замечаний.
Первое из них относится к алгебре.
Пусть $\left\{a_{i} \mid i=1, \ldots, n\right\}$ – независимые переменные. Определим $\left\{\sigma_{i} \mid i=1, \ldots, n\right\}$ с помощью равенства
\[
\prod_{i=1}^{n}\left(x-\alpha_{i}\right)=\sum_{i=0}^{n} \sigma_{l} x^{n-i}, \quad \text { где } \quad \sigma_{0}=1 .
\]

Выражение $(-1)^{i} \sigma_{i}\left(\alpha_{1}, \ldots, \alpha_{n}\right)$ называется $i$-й элементарной симметрической функцией.
Рассмотрим отображение
\[
\begin{aligned}
\sigma: \mathbb{C}^{n} & \rightarrow \mathbb{C}^{n}, \\
\left(\alpha_{1}, \ldots, \alpha_{n}\right) & \mapsto\left(\sigma_{1}, \ldots, \sigma_{n}\right) .
\end{aligned}
\]
5.1. Лемма. Для любого в>0 существует такое
\[
\delta=\delta(\varepsilon)>0, \text { чго иэ }\left|\sigma_{i}\right|<\delta, i=1, \ldots, n u \sum_{i=0}^{n} \sigma_{i} x^{n-1}=0
\]

вытекает, что $|x|<$ е. Иными словами, если коэффициенты некоторого многочлена стремятся к нулю (кроме старшего, равного 1), то все его корни также стремятге $\mathrm{x}$ нулю.

Доказательство. Положим $p(x)=\sum_{i=0}^{n} \sigma_{i} x^{n-1}=$ $=x^{n}\left(1+\frac{\sigma_{1}}{x}+\ldots+\frac{\sigma_{n}}{x^{n}}\right)$ (для $x
eq 0$ ). Если $|x| \geqslant 8$ и $\sigma_{t}$ достаточно малы (меньше, чем $\delta(\varepsilon)$ ), то сумма $\frac{\sigma_{1}}{x}+\ldots+\frac{\sigma_{n}}{x^{n}}$ мала и $(1+\ldots)
eq 0$. Следовательно, $p(x)
eq 0$. Таким образом, если $p(x)=0$ и $\sigma_{i}$ достаточно малы, то $|x|<\varepsilon$.

Другими словами, если мы сопоставим каждому многочлену какой-нибудь его корень, то отображение, сопоставляющее коэффициентам многочлена (кроме старшего) этот корень, непрерывно в нуле независимо от того, как мы выбирали корень многочлена.
5.2. Отступледие. Связь между корнями многочлена и его коэффициентами можно описать следующим образом. Для любого топологического пространства $X$ определим $n$-кратное симметрическое произведение
\[
\operatorname{SP}^{n}(X)=\underbrace{X X X \times \ldots \times X}_{n \text { сочножителей }} \sim,
\]

где $\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right) \sim\left(x_{\pi(1)}, \ldots, x_{n(n)}\right)$ для всякой перестановки $\pi$ чисел $(1, \ldots, n)$. Обозначим класс эквивалентности через $\prod_{i=1}^{n} x_{i}$. $\mathrm{SP}^{n}$ – симметрическое произведение и $\mathrm{S}^{2}=\mathrm{CP}^{\prime}$ с однородными комплексными координатами $\left[a_{l}, b_{l}\right]$. Отображение
\[
\begin{aligned}
\operatorname{SP}^{n}\left(S^{2}\right) & \rightarrow \mathbf{C P}^{n}, \\
\prod_{i=1}^{n}\left[a_{i}, b_{i}\right] & \longrightarrow\left[c_{0}, \ldots, c_{n}\right],
\end{aligned}
\]

задаваемое формулои
\[
\prod_{i=1}^{n}\left(x a_{i}-y b_{i}\right)=\sum_{i=0}^{n} c_{i} y^{i} \cdot x^{n-i},
\]

корректно определено и является гомеоморфизмом.
Доказательство. Непрерывность очевидиа, так как $c_{i}$ – многочлены от $a_{f}, b_{l}$. Это отображение можно также определить формулой
\[
\prod_{i=1}^{n}\left(x a_{i}-b_{l}\right)=\sum_{i=0}^{n} c_{i} x^{n-1} .
\]

Инъективность означает, что коэффицненты многочлена определяют его корни. Сюръективность означает, что каждый многочлен над С разлагается на линейные множители. Поскольку $S^{2} \times \ldots \times S^{2}$ компактно, а $\mathrm{CP}^{n}$ хаусдорфово, отображение факторпространства $\mathrm{SP}^{n}\left(S^{2}\right)$ в $\mathbf{C P}^{n}$ – гомеоморфизм. Действительно, это отображение непрерывно и биективно. Комец отступления.
5.3. Уприкненив. Докакіте, что мнокество таких $\sigma_{0}=1$, имеет меньше $n$ различных комплексиых корней, замкнуто и имеет меру нуль. (Это множество назшвается дискриминантным жножествон.)

5.4. Если точка $\sigma \in \mathbf{C}^{n}$ не лежит в дискриминантном множестве и $\alpha$-корень многочлена $\sum_{i=0}^{n} \sigma_{i} x^{n-i}=$ $=p_{\sigma}(x)$, то $p_{\sigma}(x)=(x-\alpha) g(x)$ и
\[
\frac{\partial p_{0}}{\partial x}(\alpha)=g(\alpha)
eq 0 .
\]

Следовательно, из уравнення $\sum_{i=0}^{n} s_{i} x^{n-1}=0$ можно в окрестности точки $s=\sigma, x=\alpha$ выразить $x$ как аналитическую функцию от s. Действительно, отображение
\[
\tau:\left(s_{1}, \ldots, s_{n}, x\right) \mapsto\left(s_{1}, \ldots, s_{n}, p_{s}(x)\right)
\]

локально в окрестности точки $s=\sigma, x=\alpha$ является заменов̈ координат и определяет функцию
\[
\left(s_{1}, \ldots, s_{n}\right) \mapsto\left(\tau^{-1}\left(s_{1}, \ldots, s_{n}, 0\right)\right)_{n+1} .
\]

Эта функция выражает корень многочлена $p_{s}$ через его коэффициенты $s$. (Выше мы использовали теорему об обратной функции для комплексных пространств.)
5.5. Множество $\left\{(\dot{\sigma}, z) \in \mathbf{C}^{n} \times \mathbf{C} \mid p_{\mathrm{\sigma}}(z)=0\right\} \subset \mathbf{C}^{n} \times \mathbf{C}$ всегда является плдмногообразием комплексной коразмерности 1 и, следовательно, вещественной коразмерности 2 (соответствующий результат верен и в вещественном случае). Это вытекает из того, что рассматриваемое множество есть график функции $\mathbf{C}^{n-1} \times \mathbf{C} \rightarrow \mathbf{C}$, заданной формулой
\[
\sigma_{n}\left(\sigma_{1}, \ldots, \sigma_{n-1}, z\right)=-\sum_{i=0}^{n-1} \sigma_{l} 2^{n-t} .
\]

Следующии пример иллюстрирует вещественный случай в размерности 2 (или, если угодно, вещественную часть комплексного случая).
5.6. ПримеР: $n=2, p_{\sigma}(z)=z^{2}+2 \sigma_{1} z+\sigma_{2}$ (двойка перед $\sigma_{1}$ добавлена для удобства). Дискриминантное множество и множество $\left\{p_{\sigma}(z)=0\right\}$ содержат начало координат в $\mathbf{C}^{n} \times \mathbf{C}$.
5.7. Теперь нам понадобится немного комплексного анализа. Қак веще ственное векторное пространство С изоморфно $\mathbf{R}^{2}$. Пусть $f: \mathbf{C} \rightarrow \mathbf{C}$ – отображение, дифференцируемое как отображение $\mathbf{R}^{2} \rightarrow R^{2}$. Введем обычные координаты $z=x+i y, \bar{z}=x-i y$ :
\[
x=\frac{1}{2}(z+\bar{z}), \quad y=-\frac{i}{2}(z-\bar{z}) .
\]

Дифференциал $f$ можно записать в виде
\[
d f=\frac{\partial f}{\partial x} d x+\frac{\partial f}{\partial y} d y=\frac{\partial f}{\partial z} d z+\frac{\partial f}{\partial \bar{z}} d \bar{z},
\]

где, по определению,
\[
\frac{\partial f}{\partial z}=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial f}{\partial x}-i \frac{\partial f}{\partial y}\right), \quad \frac{\partial f}{\partial \bar{z}}=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial f}{\partial x}+i \frac{\partial f}{\partial y}\right) .
\]

В частности: (df пропорционален $d z) \Leftrightarrow(f$ голоморфна (аналитична) $\Leftrightarrow(\partial f / \partial \bar{z}=0) \Leftrightarrow$ (выполняются уравнения Коши – Римана).

Из теоремы Стокса вытекает, что если отображение $f: \mathbf{C} \rightarrow \mathbf{C}$ дифференцируемо и $D \subset \mathbf{C}$ – область, ограниченная гладкой кривой, то
\[
\begin{aligned}
\int_{D} f d z & =\int_{D} d f \wedge d z= \\
& =\int_{D} \underbrace{\frac{\partial f}{\partial z} \cdot d z \wedge d z}_{0}+\int_{D} \frac{\partial f}{\partial z} d \tilde{z} \wedge d z .
\end{aligned}
\]

Следовательно, если $f \mid D$ аналитична, то $\int_{O D} f d z=0$.
Воспользуемся этим, чтобы доказать следующий вариант интегральной формулы Коши.
5.8. Пусть $f: \mathrm{r} \rightarrow \mathrm{C}$ – дифференцируемое отображение, $D$ – замккутый единичный круг $и \zeta \in D^{\circ}$. Тогда
\[
f(\zeta)=\frac{1}{2 \pi i} \int_{\partial D} \frac{f(z)}{z-\zeta} d z+\frac{1}{2 \pi l} \int_{D} \frac{\partial \mid / \partial \bar{z}}{(z-\zeta)} d z \wedge d \bar{z} .
\]

Доказательство. Пусть $D_{0}$ – круг раднуса в с центром в точке $\zeta$, содержащийся в $D^{\circ}$. Функция $1 /(z-\zeta)$ аналитична вне $D_{e}$, поэтому к функции $f(z) /(z-\zeta)$ применима теорема Стокса:
\[
\begin{array}{l}
\int_{D-D_{e}} \frac{\partial f}{\partial \bar{z}}(z-\zeta)^{-1} d z \wedge d \bar{z}=\int_{\partial D} f(z)(z-\zeta)^{-1} d z- \\
-\int_{Q}^{2 \pi} f\left(\zeta+e e^{l \theta}\right) l d \theta
\end{array}
\]

вания пронзведения, чего и следовало ожидать).

При в $\rightarrow 0$ последний интеграл сходится к $2 \pi i f(६)$. Тот интеграл; который «выброшен» в левой части, а именно $\int_{D_{z}} \frac{\partial f}{\partial \tilde{z}} \cdot(z-\zeta)^{-1} d z \wedge d \bar{z}$, стремится к нулю, поскольку $d z \wedge d \bar{z}=-2 i d x \wedge d y=-2 i r d r d \theta \quad$ и $|z-\zeta|^{-1}=r^{-1}$. Следовательно,
\[
\left|\int_{D_{B}} \ldots\right| \leqslant c \int_{0}^{\infty} d r, \quad \text { где } \quad\left|2 i \int_{0}^{2 \pi} \frac{\partial f}{\partial \bar{z}}\left(\zeta+r e^{i \theta}\right) d \theta\right|<c \text {. }
\]

Наша цель-научиться доказывать утверждения следующего типа:

Пусть $f:\left(\mathbf{R}^{n+1}, 0\right) \rightarrow \mathbf{R}$ – росток с ненулевой струей. Тогда на $\mathbf{R}^{n+1}$ можно выбрать такие координаты $\left(t, x_{1}, \ldots, x_{n}\right)$, что
\[
\tilde{f}(t, x)=\tilde{Q}(t, x) \cdot \tilde{P}(t, x),
\]

где
$\tilde{Q}(0,0)
eq 0, \quad$ т. е. росток $\tilde{Q}$ обратим в $\mathscr{E}(n+1)$,
\[
\tilde{P}(t, x)=t^{p}+\sum_{l=1}^{p} \tilde{\lambda}_{l}(x) t^{p-1}, \quad \tilde{\lambda}_{l}(0)=0,
\]

следовательно, $\tilde{P} \in \mathscr{E}(n)[t]$.
Таким образом, если росток из $\mathscr{E}(n+1)$ имеет ненулевой ряд Тейлора, то, с точностью до умножения на обратимый элемент, он в подходящих координатах может быть записан как многочлен $P \in$ $\in \mathscr{E}(n)[t]$, коэффициенты которого (кроме старшего, равного 1) лежат в $\mathfrak{m}(n)$. (Такой многочлен $P \in \mathscr{E}(n)$, у которого старший коэффициент равен 1 , а остальные коэффициенты $\lambda_{1}$ лежат в $m(n)$, в дальнейшем будет называться отмеченным.) В аналитическом случае этот факт можно использовать для того, чтобы индуктивно выводить различные утверждения, относящиє ¿я к $\mathscr{E}(n)$, из соответствующих утверждений для многочленов.

Доказательство сделанного выше утверждения, которое мы позже сформулируем как теорему, начинается следующим образом. Мы показываем, что на росток произвольного отмеченного многочлена $\widetilde{P} \in \mathscr{E}(n)[t]$ с остатком вида
\[
\tilde{R}(t, x)=\sum_{t=1}^{p} \tilde{h}_{l}(x) t^{p-1},
\]
т. e. $\tilde{f}=\tilde{Q} \cdot \tilde{P}+\tilde{R}$.

Далее мы показываем, что найдутся такие координаты и такой многочлен $\tilde{P}$, что росток $\tilde{Q}$ обратим, а $\widetilde{R}=0$. Чтобы упростить доказательство, мы рассма. триваем «общий» многочлен $P$ с коэффициентами $\lambda_{1}$, которые сначала вводятся как новые переменные, не зависящие от $x$. Функция $f$ не зависит от этих новых переменных, которые могут принимать комплексные значения. После деления на «общић» многочлен вместо $\lambda_{l}$ подставляются подходящие ростки $\lambda_{l}(x)$ из $\mathscr{E}(n)$. Следуя этому плану, мы должны доказать такую теорему.
5.9. Специальная лемма делення. Пусть $\mathfrak{f}$ : ( $\mathrm{R} \times$ $\left.\mathbf{X}^{P}, 0\right) \rightarrow \mathbf{C}$ – росток кобщего» многочлена
\[
P(t, \lambda)=t^{p}+\sum_{j=1}^{p} \lambda_{t} t^{p-1} .
\]

Тогда существуют такие дифференцируемые ростки $\tilde{\mathbf{Q}}, \widetilde{\mathbf{R}}:\left(\mathbb{R}^{n+1} \times \mathbf{C}^{p}, 0\right) \rightarrow \mathbf{C}$, где
\[
\tilde{R}(t, x, \lambda)=\sum_{i=1}^{p} \tilde{h}_{l}(x, \lambda) \cdot t^{p-1},
\]

что возможно следующее деленце с остатком:
\[
\tilde{f}(t, x)=\tilde{Q}(t, x, \lambda) \cdot \tilde{P}(t, \lambda)+\tilde{R}(t, x, \lambda) .
\]

При этом если $\tilde{f}$ и $\lambda$ веществекны, то $\tilde{Q}$ и $\tilde{R}$ можно выбрать вещественными.

Начнем доказательство с разбора классического случая. А именно, предположим, что при любом фиксированном $x$ функция $f(t, x)$ аналитически зависит от $t \in \mathbf{C}$ (как обычно, мы считаем, что $f$ – представитель $\tilde{f}$ ).
Интегральная формула Коши дает
\[
f(t, x)=\frac{1}{2 \pi i} \int_{\partial D} \frac{f(z, x)}{z-t} d z .
\]

Здесь и ниже через $D$ обозначается стандартный диск, содержащий точку 0 и все корни многочлена $P(t, \lambda)$ при достаточно малых $\lambda$. Такой диск существует по доказанной ранее лемме 5.1.

Многочлен $r(z, t, \lambda)$ от переменных $z, t$, определяемый формулой
\[
\frac{P(z, \lambda)-P(t, \lambda)}{z-t}=r(z, t, \lambda),
\]

аналитичен по совокупности переменных и как многочлен от $t$ имеет степень $<p$.

Из формулы для $r(z, t, \lambda)$, получаем тождество между рациональными функциями:
\[
\frac{1}{z-t}=\frac{P(t, \lambda)}{(z-t) \cdot P(z, \lambda)}+\frac{r(t, z, \lambda)}{P(z, \lambda)} .
\]

Подставим (2) в (1) (знаменатель не обращается в нуль на $\partial D$, если $t$ и $\lambda$ достаточно малы). Получим голоморфную (аналитическую) лемму деления:
\[
\begin{array}{l}
f(t, x)=P(t, \lambda) \cdot \frac{\frac{1}{2 \pi i} \int_{\partial D} \frac{f(z, x)}{(z-t) P(z, \lambda)} d z+}{Q(t, x, \lambda)} \\
+\underbrace{\frac{1}{2 \pi i} \int_{\partial D} \frac{f(z, x)}{P(z, \lambda)} r(t, z, \lambda) d z .}_{R(t, x, \lambda)} \\
\end{array}
\]

Действительно, $R$ – многочлен от $t$ степени $<p$ (подынтегральное выражение – многочлен от $t$, коэффициенты которого интегрируются по $z$ ). Доказательство голоморфной леммы деления окончено.

Чтобы доказать аналогичный результат в дифференцируемом случае, воспользуемся приведенным. выше вариантом интегральной формулы Коши и следующим утверждением.
5.10. ЛЕммА о продолЖЕнии. Пусть $f: \mathbf{R} \times \mathbf{R}^{n} \rightarrow$ $\rightarrow \mathbf{C}$-дифференцируемое отображение $c$ носителем в единичном шаре. Тогда существует дифференцируемое отображение
\[
F: \mathbf{C} \times \mathbf{R}^{n} \times \mathbf{C}^{p} \rightarrow \mathbf{C},
\]

такое, что
(i) $F(t, x, \lambda)=f(t, x)$ для $(t, x) \in \mathbf{R}^{n+1} \subset \mathbf{C} \times \mathbf{R}^{n}$,
(ii) дF/дz имеет нуль бесконечного порядка на множестве $\{(z, x, \lambda) \mid \operatorname{Im} z=0\}$ и на множестве $\{(z, x, \lambda) \mid P(z, \lambda)=0\}$.

Последнее условие означает, что в точках этих множеств ‘отображение $\partial F / \partial \dot{z}$ имеет нулевой ряд Тейлора.

Предположим, что лемма о продолжении справедлива, и вернемся к доказательству леммы деления. По интегральной формуле Коши
\[
\begin{array}{l}
f(t, x)=F(t, x, \lambda)=\frac{1}{2 \pi i} \int_{\partial D} \frac{F(z, x, \lambda)}{z-t} d z+ \\
\quad+\frac{1}{2 \pi i} \int_{D} \frac{F_{\bar{z}}(z, x, \lambda)}{z-t} d z \wedge d \bar{z},
\end{array}
\]

где $F_{\bar{z}}=\partial F / \partial \bar{z}$, а $D$ описано выше. Заменив $1 /(z-t)$ его выражением из формулы (2), получим $\tilde{f}=\tilde{Q} \cdot \tilde{P}+\tilde{R}$, где
\[
\begin{array}{l}
Q(t, x, \lambda)=\frac{1}{2 \pi i} \int_{\partial D} \frac{F(z, x, \lambda)}{(z-t) P(z, \lambda)} d z+ \\
\quad+\frac{1}{2 \pi i} \int_{D} \frac{F_{\bar{z}}(z, x, \lambda)}{(z-t) P(z, \lambda)} d z \wedge d \bar{z}, \\
R(t, x, \lambda)=\frac{1}{2 \pi i} \int_{\partial D} F(z, x, \lambda) \frac{r(t, z, \lambda)}{P(z, \lambda)} d z+ \\
\quad+\frac{1}{2 \pi i} \int_{D} F_{\bar{z}}(z, x, \lambda) \frac{r(t, z, \lambda)}{P(z, \lambda)} d z \wedge d \bar{z} .
\end{array}
\]

Знаменатели не обращаются в нуль на $\partial D$, и нужно показать, что вторые интегралы определяют дифференцируемые отображения. Для этого достаточно показать, что функция
\[
g(z, t, x, \lambda)=\left\{\begin{array}{cc}
0 & \text { при }(z-t) P(z, \lambda)=0, \\
\frac{F_{z}(z, x, \lambda)}{(z-t) P(z, \lambda)} & \text { при }(z-t) P(z, \lambda)
eq 0
\end{array}\right.
\]

дифференцируема. $B$ тех точках, где знаменатель не обращается в нуль, каждая частная производная функции $g$ является суммой функций вида $F_{0}(z, x, \lambda) /[(z-t) P(z, \lambda)]^{k}$, где $F_{0}$ имеет нуль бескоҺечного порядка там, где $\operatorname{Im} z=0$ или $P(z, \lambda)=0$. (Используйте тот факт, что знаменатель комплексно аналитичен по всем переменным, и поэтому
\[
\frac{\partial}{\partial \operatorname{Re} z}\left(\frac{1}{(z-t) P(z, \lambda)}\right)=\frac{\partial}{\partial z}\left(\frac{1}{(z-t) P(z, \lambda)}\right) .
\]

а правило дифференцирования дроби можно применять формально. Аналогичные формулы верны и для других переменных.) Поскольку $F_{0}$ имеет нуль сколь угодно высокого порядка на множестве $\{\operatorname{Im} z=0$, то для сколь угодно большого $l$ можно написать $F_{0}(z, x, \lambda)=(\operatorname{Im} z)^{l} F_{1}(z, x, \lambda)$. Теперь $F_{1}$ имеет нуль бесконечного порядка на множестве $\{\operatorname{Re} P(z, \lambda)=$ $=\operatorname{Im} P(z, \lambda)=0\}$, и, следовательно, можно написать
\[
F_{1}=(\operatorname{Re} P(z, \lambda))^{t} F_{2}(z, x, \lambda)+(\operatorname{Im} P(z, \lambda))^{t} F_{3}(z, x, \lambda)
\]

для сколь угодно большого l. (Заметим, что ( $\operatorname{Re} P$, Im P) могут служить локальными координатами, см. 5.4.)

Ясно, что если ( $z, t, x, \lambda$ ) стремится $\mathrm{K}$ точқе, где $P \cdot(z-t)=0$, то
\[
\frac{F_{2} \cdot(\operatorname{Re} P)^{l} \cdot(\operatorname{Im} z)^{l}}{((z-t) \cdot P)^{k}} \rightarrow 0 \quad \text { при } \cdot l>k .
\]

То же самое верно и для второго слагаемого
\[
\frac{F_{3} \cdot(\operatorname{Im} P)^{l} \cdot(\operatorname{Im} z)^{l}}{((z-t) \cdot P)^{k}} .
\]

Следовательно, при стремлении знаменателя к нуло все производные $g$ стремятся к нулю. Отсюда видно, что $g$ дифференцируема и ее производные равны нулю в тех точках, где знаменатель равен нулю (см. задачу в конце этой главы). Таким образом, мы доказали дифференцируемость $Q$ и $R$. Если $\lambda$ вещественно, а функгия $f$ вещественнозначна, то можно взять вещественную часть равенства
\[
f(t, x)=Q(t, x, \lambda) \cdot P(t, \lambda)+R(t, x, \lambda)
\]

и получить формулу деления с вещественными частным и остатком:
\[
f=\frac{1}{2}(Q+\bar{Q}) P+\frac{1}{2}(R+\bar{R}) .
\]

Оствется доказать лемму о продолжении. Ее доказательство аналогично доказательству теоремы Бореля и проводится в два этапа.
5.11. Лемма. Пусть $\mathbf{R} \subset \mathbf{C}$ – стандартное вломедифференцируемая фуккция $F: \mathbf{C} \times \mathbf{R}^{n} \rightarrow \mathbf{C}$, такая, что $F \mid \mathbf{R} \times \mathbf{R}^{n}=f u \partial F, \partial \bar{z}: \mathbf{C} \times \mathbf{R}^{n} \rightarrow \mathbf{C}$ uмеет нуль беско. нечного порядка на множестве $\mathbf{R} \times \mathbf{R}^{n}$.
Доказательство. Пусть $z=x+t y$. Положим
\[
F(z)=\sum_{i=0}^{\infty}\left(l \frac{\partial}{\partial x}\right)^{\prime} f(x) \cdot \frac{y^{\prime}}{f} \cdot \varphi\left(t_{i} \cdot y\right),
\]

где $\varphi(y)=1$ при $|y| \leqslant 1 / 2, \Phi(y)=0$ при $|y| \geqslant 1$ и последовательность $\left\{t_{l}\right\}$ возрастает столь быстро, что ряд почлевно дифферевцируем. Тогда $F(x)=f(x)$ при вещественных $x$. Так $\operatorname{xax}$
\[
2 \partial / \partial \bar{z}=\partial / \partial x+i \partial / \partial y=i(-i \partial / \partial x+\partial / \partial y),
\]

To
\[
\begin{aligned}
\frac{2}{i} \frac{\partial}{\partial \bar{z}} F(z) & =\sum_{i=0}^{\infty}\left(i \frac{\partial}{\partial x}\right)^{\prime+1} f(x) \cdot \frac{y^{\prime}}{j !} \cdot\left[\varphi\left(t_{i+1} \cdot y\right)-\varphi\left(t_{j} \cdot y\right)\right]+ \\
& +\sum_{i=0}^{\infty}\left(i \frac{\partial}{\partial x}\right)^{\prime} f(x) \cdot \frac{y^{j}}{j i} \cdot \varphi^{\prime}\left(t_{j} \cdot y\right),
\end{aligned}
\]

и в каждом из этих двух рядов каждый член обращается в нуль в некоторой окрестности точки $y=0$, поскольку $\varphi(t, \cdot y)$ локально принимает постоянное значение 1 .

Доказательство леммы о продолженши. Пусть заданы дифференцируемая функция с компактным носителем $\mathrm{f:} \mathrm{\textrm {X }} \times \mathrm{R}^{n} \rightarrow \mathbf{C}$ и многочлен $P: \mathbf{C} \times \mathbf{C}^{p} \rightarrow \mathbf{C}$ вида
\[
P(z, \lambda)=z^{p}+\sum_{i} \lambda_{j} z^{p-i} .
\]

Мы хотим продолжить $f$ до функции $F: \mathbf{C} \times \mathbf{R}^{n} \times$ $X \mathbf{C}^{p} \rightarrow \mathrm{C}$, такой, что $\partial F / \partial \bar{z}$ имеет нуль бесконечного порядка на множествах $\operatorname{Im} z=0\}$ и $\{P=0\}$.
Проведем индукцию по степени $p$ многочлена $P$. При $p=0$ нужно продолжить $f$ так, чтобы $F_{z}$ имела нуль бесконечного порядка на вещественной оси. Это возможно согласно лемме 5.11.

Предположим теперь, что лемма о продолжении верна для $p-1$. Сделаем в $\mathbf{C} \times \mathbf{C}^{p}$ замену координат таким же образом, как и раньше:
\[
\left(z, \lambda_{1}, \ldots, \lambda_{p}\right) \mapsto\left(z, \lambda_{1}, \ldots, \lambda_{p-1}, P(z, \lambda)\right) .
\]

Обозначим новые координаты через ( $\left.z, \lambda^{\prime}, \mu\right)$. В новых координатах оператор $\partial / \partial \bar{z}$ принимает вид
\[
L=\frac{\partial}{\partial \tilde{z}}+\overline{P^{\prime}(z, \lambda)} \cdot \frac{\partial}{\partial \bar{\mu}} .
\]

где $P^{\prime}$ – производная $P$ ( $P^{\prime}$ не зависит от $\lambda_{p}$ ).
Используя теперь индуктивное предположение (примененное к $P^{\prime}$ ), можно найти дифференцируемую комплекснозначную функцию $v\left(z, x, \lambda^{\prime}\right)$, обладающую следующими свойствами:
(i) $v\left(t, x, \lambda^{\prime}\right)=f(t, x)$ при $t \in \mathbf{R}$;
(ii) $\partial v / \partial \bar{z}$ имеет нуль бесконечного порядка на множестве $\{\operatorname{Im} z=0\}$ и на множестве $\left\{P^{\prime}\left(z, \lambda^{\prime}\right)=0\right\}$.
Положим теперь
\[
F=\sum_{j=0}^{\infty}\left(-\frac{1}{\bar{P}^{\prime}} \frac{\partial}{\partial \bar{z}}\right)^{\prime} v\left(z, \lambda^{\prime}\right) \frac{\bar{\mu}^{J}}{j !} \varphi\left(t_{j} \mu\right) ; \quad t_{0}=0 .
\]

Здесь $\varphi$ – функция, определенная в (5.11), а последовательность $\left(t_{j}\right)$ возрастает столь быстро, что ряд можно дифференцировать почленно (заметим, однако, что $t_{0}=0$ ). Продолжим члены ряда дифференцируемым образом на множество $\left\{P^{\prime}=0\right\}$, положив их там равными нулю. На множестве $\{\operatorname{Im} z=0\}$ член ряда с индексом $j=0$ равен $v$, а все остальные имеют нуль бесконечного порядка. Из (ii) и тождества $\partial v / \partial \bar{\mu}=0$ вытекает, что $L F$ имеет нуль бесконечного порядка на множестве $\{\operatorname{Im} z=0\}$ и что справедливо равенство $v \mid\{\operatorname{Im} z=0\}=f$.
Вычислять $L F$ в общем случае можно почленно:
\[
\begin{aligned}
L F= & \overline{P^{\prime}}\left(\frac{1}{\bar{P}^{\prime}} \frac{\partial}{\partial \bar{z}}+\frac{\partial}{\partial \bar{\mu}}\right) F= \\
= & -\overline{P^{\prime}} \sum_{l=0}^{\infty}\left(-\frac{1}{\bar{P}^{\prime}} \frac{\partial}{\partial \tilde{z}}\right)^{\prime+1} \cdot v \cdot \frac{\bar{\mu}^{\prime}}{\eta}\left[\varphi\left(\mu t_{l}\right)-\varphi\left(\mu t_{l+1}\right)\right]+ \\
& +\overline{P^{\prime}} \sum_{l=0}^{\infty}\left(-\frac{1}{\bar{P}^{\prime}} \frac{\partial}{\partial \tilde{z}}\right)^{\prime} \cdot v \cdot \frac{\bar{\mu}^{J}}{\eta} \cdot t_{l} \cdot \frac{\partial \varphi}{\partial \tilde{\mu}}\left(\mu t_{l}\right) .
\end{aligned}
\]

Заметим теперь, что функция ф локально постоянна в окрестности множества $\{\mu=0\}$, поэтому все члены ряда локально обращаются в нуль и, значит, $L F$ имеет нуль бесконечного порядка там, где $\mu=0$. Доказательство специальной леммы деления окфнчено.

5.12. Упражненив. Пусть $A$-замкнутое подмножество в $\mathbf{R}^{n}$ и $f: \mathbf{R}^{n} \rightarrow \mathbf{R}$ – отображение, обладающее следующими свойствами:
(i) $f \mid A=0$,
(ii) отображенне $f \mid\left(R^{n}-A\right)$ дифференцируемо,
(iii) еслн $a$-граничная точка $A$, то
\[
\begin{array}{l}
\lim _{x \rightarrow \alpha_{2}
otin A} D^{\alpha} f(x)=0 \\
\text { при лобом } \alpha=\left(\alpha_{1}, \ldots, \alpha_{n}\right) .
\end{array}
\]

Докажите, что $f$ дифференцируемо.