Jareparypa: J. C. Tougeron, Idéaux de fonctlons ditférentlables I, Ann. Inst. Pourier, 18 (1968), 177-240.

В условиях различных доказанных нами утверждений о ростках часто встречалос: требование конечности ростка $f:\left(R^{n}, 0\right) \rightarrow\left(R^{n}, 0\right)$, т. е. требование о том, что пространство $\mathscr{E}(n) /\left\langle f_{1}, \ldots, f_{p}\right\rangle$ имеет конечную размерность. Как велико (иеприятное) множество таких ростков $f$, для которых $\operatorname{dim} \mathscr{\delta}(n) /\left\langle f_{1}, \ldots, f_{p}\right\rangle=\infty$ ?
Рассмотрим импликацин
(i) $\operatorname{dim} \mathscr{\delta}(n) /\left\langle f_{t}, \ldots, f_{p}\right\rangle=k \Rightarrow$
(ii) $\operatorname{dim} \mathscr{E}(n) /\left(\left(f_{1}, \ldots, f_{p}\right)+m(n)^{k+1}\right)=$ $\operatorname{dim} \hat{\delta}_{k}(n) /\left\langle f_{1}, \ldots, f_{p}\right\rangle \leqslant k \Rightarrow$
(лемма Накаямы)
\[
\mathfrak{m}(n)^{n} \subset\left\langle f_{1}, \ldots, f_{p}\right\rangle_{q(n)}+\mathfrak{m}(n)^{k+1} \Rightarrow
\]
(лемма Накаямы)
\[
\mathfrak{m}(n)^{k+1} \subset \mathfrak{m}(n)^{k} \subset\left\langle f_{1}, \ldots, f_{p}\right\rangle_{g(n)} .
\]

При одновременном выполнении последнего условия и условия (ii) имеем $\operatorname{dim} \mathscr{\delta}(n) /\left\langle f_{1}, \ldots, f_{p}\right\rangle \leqslant k$. Это доказывает, в частности, такое утверждение.
13.1. Замечание. $\operatorname{dim} \delta(n) /\left\langle f_{1}, \ldots, f_{p}\right\rangle<\infty$ в том и только том случае, когда $\operatorname{dim} \hat{\dot{\delta}}_{h}(n) /\left\langle f_{1}, \ldots, f_{p}\right\rangle \leqslant k$ дая некоторого $k$.

Это условие полезно, поскольку оно формулируется в терминах последовательности конечномерных пространств струй. Сейчас мы введем несколько новых понятии, для того чтобы изложить более элегантно оставшуюся часть главы. Рассмотрим последовательность евклидовых пространств и проекций:
\[
\begin{aligned}
\hat{\mathscr{E}}(n, p) \xrightarrow{\pi^{\infty}} \ldots \rightarrow & \hat{\mathscr{E}}_{k+1}(n, p) \xrightarrow{\pi_{k}^{k+1}} \\
& \rightarrow \hat{\mathscr{E}}_{k}(n, p) \xrightarrow{\pi_{k-1}^{k}} \hat{\mathscr{E}}_{k-1}(n, p) \rightarrow \ldots
\end{aligned}
\]
13.2. ОПределение. Подмножество $A \subset \hat{\mathscr{E}}(n, p)$ называется проалгебраическим, если существуют алгебраические множества $A_{k} \subset \widehat{\mathscr{E}}_{k}(n, p)$, такие, что
\[
A=\bigcap_{k=1}^{\infty}\left(\pi_{k}^{\infty}\right)^{-1}\left(A_{k}\right) \text {. }
\]

Легко видеть, что это определение не изменится, если мы потребуем, чтобы $\pi_{k}^{k+1}\left(A_{k+1}\right) \subset A_{k}$. Предполагая выполненным это условие, назовем коразмерностью множества $A$ верхнкоо грань коразмерностей множеств $A_{k}$. Обозначим через $\pi_{k}^{\infty}$ каноническую проекцию
\[
\pi_{k}^{\infty}: \hat{\mathscr{E}}(n, p) \rightarrow \hat{\mathscr{E}}_{k}(n, p)=\mathscr{E}(n, p) / \mathrm{m}(n, p)^{k+1} .
\]
13.3. Упражнение. Введем на $\hat{\mathscr{E}}(n, p)$ слабейшую топологию, облалающую тем свойством, что все проекции $\pi_{k}^{\infty}$ непрерывны относительно топологии Зарисского на $\hat{\mathscr{E}}_{k}(n, p)$. Покажите, что проалгебраические множества образуют совокупность замкнутых множеств этой топологин.

Введя эти новые понятия, вернемся к не конечным росткам. Положим
\[
Y_{k}=\left\{\hat{f}=\left(\hat{f}_{1}, \ldots, \hat{f}_{p}\right) \mid \operatorname{dim} \hat{\mathscr{E}}_{k}(n) /\left\langle\hat{f}_{1}, \ldots, \hat{f}_{p}\right\rangle>k\right\} .
\]

Множество $Y_{k}$ есть подмножество в $\hat{\mathscr{E}}_{k}(n, p)$, и замечание 13.1 показывает, что росток $f^{k}$ не конечен в том и только том случае, когда $j^{k}(f) \doteq Y_{k}$ для всех $k$. Положим $\bigcap_{k=1}^{\infty}\left(\pi_{k}^{\infty}\right)^{-1} Y_{k}=Y$. Тогда совокупность условий на $f$ можно записать в виде $j(f) \in Y$. Заметим, что $Y_{k+1} \subset \pi^{-1} Y_{k}$. Действительно, если $f
otin \mp^{-1} Y_{k}$, то $\operatorname{dim} \mathscr{E}(n) /\left\langle f_{1}, \ldots, f_{p}\right\rangle \leqslant k$ и, следовательно, $f
otin Y_{k+1}$ (здесь мы использовали обозначение $\pi=\pi_{k}^{k+1}$ ).
Сформулируем теперь важный результат этой главы.
13.4. Теорема (Тужрон). Множества $Y_{k}$-алгебраические. Кроме того, если $n \leqslant p$, то $Y$ – проалгебраическое множество бесконечной кориэмерности.

цоказательство первой части теоремы. $\in Y_{k} \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow \operatorname{dim}\left(\hat{\mathscr{E}}_{k}(n) /\left\langle\hat{f}_{1}, \ldots, \hat{f}_{p}\right\rangle\right)>k \Leftrightarrow \operatorname{dim}\left(\left\langle f_{1}, \ldots, f_{p}\right\rangle\right.$. – $\left.\widehat{\mathscr{E}}_{k}(n)\right)<\operatorname{dim} \widehat{\mathscr{E}}_{k}(n)-k$.
Обозначим ( $\left.\operatorname{dim} \hat{\mathscr{E}}_{k}(n)-k\right)$ через $r(k)$.
Пусть $\left\{\varphi_{l}\right\}$ – множество всех мономов степени $\leqslant k$ в $\mathscr{E}(n)$; тогда $\left(f_{1}, \ldots, f_{p}\right) \in Y_{k}$ в том и только том случае, когда ранг линейного отображения
\[
\begin{aligned}
\mathbf{R}^{p} \otimes\left\langle\varphi_{j}\right\rangle_{R} & \rightarrow \hat{\mathscr{E}}_{k}(n), \\
e_{l} \otimes \varphi_{j} & \mapsto j^{k}\left(\hat{f}_{l} \cdot \varphi_{j}\right)
\end{aligned}
\]

меньше $r(k)$. Это условие определяется обращением в нуль некоторых определителей, являющихся многочленами от коэффициентов $k$-струй ростков $f_{i}$.

Для доказательства второй части теоремы нам понадобится следующая лемма.
13.5. Лемма. сс $\lim Y=\infty$ в том и только том случие, когда для каждой $k$-струи $f_{k}$ найдутся такие $l>k$ u l-струя $f_{l}$, что $\pi_{k}^{l} f_{t}=f_{k}$ u $f_{l}
otin Y_{l}$.

Второе условие можно выразнть, сказав, что для каждой струи найдется проектирующаяся в кее конечная струя.

Доказательство леммы. Предположим, что верхняя грань коразмерностей множеств $Y_{k}$ равна бесконечности, и что не существует конечной струи, лежащей над $f_{k} \in \hat{\mathscr{E}}_{k}(n)$. Тогда $\left(\pi_{k}^{l}\right)^{-1} f_{k} \subset Y_{l}$ для всех $l>k$ и, значит, $Y_{l}$ имеет самое большее ту же коразмерность, что и $\left(\pi_{k}^{l}\right)^{-1} \hat{f}_{k}$. Но эта коразмерность не превосходит $\operatorname{dim}\left(\hat{\mathscr{E}}_{k}(n)\right)$, а последнее число не зависит от $l$.

Обратно, предположим, что над каждой $k$-струей найдется конечная струя. Положим $d_{i}=\operatorname{codim} Y_{i}$; тогда
\[
d_{k} \leqslant d_{k+1} \leqslant d_{k+2} \leqslant \ldots .
\]

Если в этой последовательности бесконечное число строгих неравенств, то доказательство окончено. В противном случае без ограничения общности можно считать, что
\[
d_{k}=d_{k+1}=d_{k+2}=\ldots .
\]

Обозначим через $X_{k}$ неприводимую компоненту множества $Y_{k}$, имеюшую наибольшую размерность. Мы знаем, что при $l>k$ множество $\left(\pi_{k}^{l}\right)^{-1}\left(X_{k}\right)$ неприводимо. Поэтому для любого $l>k$ либо
\[
Y_{l} \cap\left(\pi_{k}^{l}\right)^{-1}\left(X_{k}\right)=\left(\pi_{k}^{l}\right)^{-1}\left(X_{k}\right)
\]

либо левая часть имеет более высокую коразмерность (используйте замечание после 12.11).

Обозначим через $b_{k}$ число неприводимых компонент множества $Y_{k}$, имеющих наибольшую коразмерность. Мы утверждаем, что $b_{k} \geqslant b_{k+1} \geqslant b_{k+2} \geqslant \ldots$. Всякая неприводимая компонента $Y_{k+1}$ содержится в прообразе $Y_{k}$ относительно $\left(\pi_{k}^{k+1}\right)^{-1}$ и, значит, содержится в прообразе некоторой неприводимой компоненты множества $Y_{k}$. Так как $d_{k}=d_{k+1}$, то неприводнмая компонента $Y_{k+1}$ наибольшей размерности содержится в $\left(\pi_{k}^{k+1}\right)^{-1}\left(X_{k}\right)$ и, значит, совпадает с $\left(\pi_{k}^{k+1}\right)^{-1}\left(X_{k}\right)$, где $X_{k}$ – неприводимая компонента $Y_{k}$, имеющая наибольшую размерность.

Поскольку $b_{k}$ конечно, мы получим в конце концов, что $b_{k}=b_{k+1}=b_{k+2}=\ldots$ Это означает, что всегда выполняется соотношение (*), т. е. ни одна неприводимая компонента наибольшей размерности не пропадает. Отсюда вытекает, что $\left(\pi_{k}^{l}\right)^{-1}\left(X_{k}\right) \subset Y_{l}$ для каждого $l$. Следовательно, если $f \in X_{k}$, то для каждого $l$ l-струя $f_{l} \in\left(\pi_{k}^{l}\right)^{-1}\{f\}$ лежит в $Y_{l}$, и мы пришли к противворечию.

Доказательство второй части теоремы. Достаточно показать, что если $f$ есть $p$-строка многочленов степени $k$, то существует $p$-строка, скажем $h$, однородных многочленов степени $k+1$, такая, что $(f+h)
otin Y_{\text {। }}$ для некоторого $l>k$.

Положим $g=\left(x_{1}^{k+1}, \ldots, x_{n}^{k+1}, 0, \ldots, 0\right)$ (напомним, что $n \leqslant p)$. Положим $h_{t}=(1-t) f+t g$. Множество
\[
A=\left\{t \in \mathbf{R} \mid \hat{h}_{t} \in Y_{l}\right\} \subset \mathbf{R}
\]

является алгебраическим. Действительно, множество $Y_{l}$ алгебраическое, и отображение
\[
t \mapsto(1-t) \hat{f}+t \hat{g}
\]

линейно отображает $t$ в коэффициенты $h_{t}$ (а линейное отображение полиномиально). Таким образом, множедтво $A$ либо конечно, либо есть все $\mathbf{R}$.

Однако $l
otin A$ для достаточно больших $l$, поскольку $\hat{h}_{1}=\hat{g}$ и пространство $\mathscr{E}(n) /\left\langle x_{1}^{k+1}, \ldots, x_{n}^{k+1}\right\rangle$ имеет конечную размерность.

Следовательно, множество $A$ конечно для достаточно больших $l$. Найдем отличную от единицы константу $t \in \mathrm{R}$, такую, что $t
otin A$. Тогда $h_{t}=(1-t) f+$ $+t \hat{g}
otin Y_{l}$ для некоторого $l$. Поскольку компоненты $h_{t}$ и $h_{t} /(1-t)$ порожд-ют один и тот же идеал, для некоторого $l$
\[
\left(\frac{1}{1-t}\right) \cdot \hat{h}_{t}=f+\left(\frac{t}{1-t}\right) \cdot \hat{g}
otin Y_{l},
\]

что и требовалось доказать.
13.6. Замечание. Те ростки $f \in \mathscr{E}(n)$, для которых росток $D f$ не является конечным, также образуют подмножество бесконечной коразмерности. Чтобы это доказать, нужно повторить все предыдущие рассуждения, а в конце доказательства заметить, что $n$-строку $g=\left(x_{1}^{k+1}, \ldots, x_{n}^{k+1}\right)$ можно представить в виде $g=D q$, где $q=\left(x_{1}^{k+2}+\ldots+x_{n}^{k+2}\right) /(k+2)$.