Jareparypa: J. C. Tougeron, Idéaux de fonctlons ditférentlables I, Ann. Inst. Pourier, 18 (1968), 177-240.

В условиях различных доказанных нами утверждений о ростках часто встречалос: требование конечности ростка $f:(R^n,0)\to (R^n,0)$, т. е. требование о том, что пространство $\mathcal{E}(n)/⟨f_1,\dots ,f_p⟩$ имеет конечную размерность. Как велико (иеприятное) множество таких ростков $f$, для которых $\dim \delta (n)/⟨f_1,\dots ,f_p⟩=\mathrm{\infty }$ ?
Рассмотрим импликацин
(i) $\dim \delta (n)/⟨f_t,\dots ,f_p⟩=k\Rightarrow$
(ii) $\dim \mathcal{E}(n)/((f_1,\dots ,f_p)+m(n{)}^{k+1})=$ $\dim {\hat{\delta }}_k(n)/⟨f_1,\dots ,f_p⟩⩽k\Rightarrow$
(лемма Накаямы)
$$\mathfrak{m}(n{)}^n\subset {⟨f_1,\dots ,f_p⟩}_{q(n)}+\mathfrak{m}(n{)}^{k+1}\Rightarrow$$
(лемма Накаямы)
$$\mathfrak{m}(n{)}^{k+1}\subset \mathfrak{m}(n{)}^k\subset {⟨f_1,\dots ,f_p⟩}_{g(n)}.$$

При одновременном выполнении последнего условия и условия (ii) имеем $\dim \delta (n)/⟨f_1,\dots ,f_p⟩⩽k$. Это доказывает, в частности, такое утверждение.
13.1. Замечание. $\dim \delta (n)/⟨f_1,\dots ,f_p⟩<\mathrm{\infty }$ в том и только том случае, когда $\dim {\hat{\dot{\delta }}}_h(n)/⟨f_1,\dots ,f_p⟩⩽k$ дая некоторого $k$.

Это условие полезно, поскольку оно формулируется в терминах последовательности конечномерных пространств струй. Сейчас мы введем несколько новых понятии, для того чтобы изложить более элегантно оставшуюся часть главы. Рассмотрим последовательность евклидовых пространств и проекций:
$$\begin{array}{rl}\hat{\mathcal{E}}(n,p)\stackrel{{\pi }^{\mathrm{\infty }}}{\to }\dots \to & {\hat{\mathcal{E}}}_{k+1}(n,p)\stackrel{{\pi }_k^{k+1}}{\to }\\ & \to {\hat{\mathcal{E}}}_k(n,p)\stackrel{{\pi }_{k-1}^k}{\to }{\hat{\mathcal{E}}}_{k-1}(n,p)\to \dots \end{array}$$
13.2. ОПределение. Подмножество $A\subset \hat{\mathcal{E}}(n,p)$ называется проалгебраическим, если существуют алгебраические множества $A_k\subset {\hat{\mathcal{E}}}_k(n,p)$, такие, что
$$A=\bigcap _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{\left({\pi }_k^{\mathrm{\infty }}\right)}^{-1}\left(A_k\right)\text{. }$$

Легко видеть, что это определение не изменится, если мы потребуем, чтобы ${\pi }_k^{k+1}\left(A_{k+1}\right)\subset A_k$. Предполагая выполненным это условие, назовем коразмерностью множества $A$ верхнкоо грань коразмерностей множеств $A_k$. Обозначим через ${\pi }_k^{\mathrm{\infty }}$ каноническую проекцию
$${\pi }_k^{\mathrm{\infty }}:\hat{\mathcal{E}}(n,p)\to {\hat{\mathcal{E}}}_k(n,p)=\mathcal{E}(n,p)/\mathrm{m}(n,p{)}^{k+1}.$$
13.3. Упражнение. Введем на $\hat{\mathcal{E}}(n,p)$ слабейшую топологию, облалающую тем свойством, что все проекции ${\pi }_k^{\mathrm{\infty }}$ непрерывны относительно топологии Зарисского на ${\hat{\mathcal{E}}}_k(n,p)$. Покажите, что проалгебраические множества образуют совокупность замкнутых множеств этой топологин.

Введя эти новые понятия, вернемся к не конечным росткам. Положим
$$Y_k=\{\hat{f}=({\hat{f}}_1,\dots ,{\hat{f}}_p)\mid \dim {\hat{\mathcal{E}}}_k(n)/⟨{\hat{f}}_1,\dots ,{\hat{f}}_p⟩>k\}.$$

Множество $Y_k$ есть подмножество в ${\hat{\mathcal{E}}}_k(n,p)$, и замечание 13.1 показывает, что росток $f^k$ не конечен в том и только том случае, когда $j^k(f)\doteq Y_k$ для всех $k$. Положим $\bigcap _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{\left({\pi }_k^{\mathrm{\infty }}\right)}^{-1}{Y}_k=Y$. Тогда совокупность условий на $f$ можно записать в виде $j(f)\in Y$. Заметим, что $Y_{k+1}\subset {\pi }^{-1}{Y}_k$. Действительно, если $fotin{\mp }^{-1}{Y}_k$, то $\dim \mathcal{E}(n)/⟨f_1,\dots ,f_p⟩⩽k$ и, следовательно, $fotin{Y}_{k+1}$ (здесь мы использовали обозначение $\pi ={\pi }_k^{k+1}$ ).
Сформулируем теперь важный результат этой главы.
13.4. Теорема (Тужрон). Множества $Y_k$-алгебраические. Кроме того, если $n⩽p$, то $Y$ — проалгебраическое множество бесконечной кориэмерности.

цоказательство первой части теоремы. $\in Y_k\iff$ $\iff \dim ({\hat{\mathcal{E}}}_k(n)/⟨{\hat{f}}_1,\dots ,{\hat{f}}_p⟩)>k\iff \dim (⟨f_1,\dots ,f_p⟩$. — ${\hat{\mathcal{E}}}_k(n))<\dim {\hat{\mathcal{E}}}_k(n)-k$.
Обозначим ( $\dim {\hat{\mathcal{E}}}_k(n)-k)$ через $r(k)$.
Пусть $\left\{{\phi }_l\right\}$ — множество всех мономов степени $⩽k$ в $\mathcal{E}(n)$; тогда $(f_1,\dots ,f_p)\in Y_k$ в том и только том случае, когда ранг линейного отображения
$$\begin{array}{rl}{\mathbf{R}}^p\otimes {⟨{\phi }_j⟩}_R& \to {\hat{\mathcal{E}}}_k(n),\\ e_l\otimes {\phi }_j& \mapsto j^k({\hat{f}}_l\cdot {\phi }_j)\end{array}$$

меньше $r(k)$. Это условие определяется обращением в нуль некоторых определителей, являющихся многочленами от коэффициентов $k$-струй ростков $f_i$.

Для доказательства второй части теоремы нам понадобится следующая лемма.
13.5. Лемма. сс $limY=\mathrm{\infty }$ в том и только том случие, когда для каждой $k$-струи $f_k$ найдутся такие $l>k$ u l-струя $f_l$, что ${\pi }_k^l{f}_t=f_k$ u $f_{l}otin{Y}_l$.

Второе условие можно выразнть, сказав, что для каждой струи найдется проектирующаяся в кее конечная струя.

Доказательство леммы. Предположим, что верхняя грань коразмерностей множеств $Y_k$ равна бесконечности, и что не существует конечной струи, лежащей над $f_k\in {\hat{\mathcal{E}}}_k(n)$. Тогда ${\left({\pi }_k^l\right)}^{-1}{f}_k\subset Y_l$ для всех $l>k$ и, значит, $Y_l$ имеет самое большее ту же коразмерность, что и ${\left({\pi }_k^l\right)}^{-1}{\hat{f}}_k$. Но эта коразмерность не превосходит $\dim ({\hat{\mathcal{E}}}_k(n))$, а последнее число не зависит от $l$.

Обратно, предположим, что над каждой $k$-струей найдется конечная струя. Положим $d_i=\mathrm{codim}{Y}_i$; тогда
$$d_k⩽d_{k+1}⩽d_{k+2}⩽\dots .$$

Если в этой последовательности бесконечное число строгих неравенств, то доказательство окончено. В противном случае без ограничения общности можно считать, что
$$d_k=d_{k+1}=d_{k+2}=\dots .$$

Обозначим через $X_k$ неприводимую компоненту множества $Y_k$, имеюшую наибольшую размерность. Мы знаем, что при $l>k$ множество ${\left({\pi }_k^l\right)}^{-1}\left(X_k\right)$ неприводимо. Поэтому для любого $l>k$ либо
$$Y_l\cap {\left({\pi }_k^l\right)}^{-1}\left(X_k\right)={\left({\pi }_k^l\right)}^{-1}\left(X_k\right)$$

либо левая часть имеет более высокую коразмерность (используйте замечание после 12.11).

Обозначим через $b_k$ число неприводимых компонент множества $Y_k$, имеющих наибольшую коразмерность. Мы утверждаем, что $b_k⩾b_{k+1}⩾b_{k+2}⩾\dots$. Всякая неприводимая компонента $Y_{k+1}$ содержится в прообразе $Y_k$ относительно ${\left({\pi }_k^{k+1}\right)}^{-1}$ и, значит, содержится в прообразе некоторой неприводимой компоненты множества $Y_k$. Так как $d_k=d_{k+1}$, то неприводнмая компонента $Y_{k+1}$ наибольшей размерности содержится в ${\left({\pi }_k^{k+1}\right)}^{-1}\left(X_k\right)$ и, значит, совпадает с ${\left({\pi }_k^{k+1}\right)}^{-1}\left(X_k\right)$, где $X_k$ — неприводимая компонента $Y_k$, имеющая наибольшую размерность.

Поскольку $b_k$ конечно, мы получим в конце концов, что $b_k=b_{k+1}=b_{k+2}=\dots$ Это означает, что всегда выполняется соотношение (*), т. е. ни одна неприводимая компонента наибольшей размерности не пропадает. Отсюда вытекает, что ${\left({\pi }_k^l\right)}^{-1}\left(X_k\right)\subset Y_l$ для каждого $l$. Следовательно, если $f\in X_k$, то для каждого $l$ l-струя $f_l\in {\left({\pi }_k^l\right)}^{-1}\{f\}$ лежит в $Y_l$, и мы пришли к противворечию.

Доказательство второй части теоремы. Достаточно показать, что если $f$ есть $p$-строка многочленов степени $k$, то существует $p$-строка, скажем $h$, однородных многочленов степени $k+1$, такая, что $(f+h)otin{Y}_{\text{। }}$ для некоторого $l>k$.

Положим $g=(x_1^{k+1},\dots ,x_n^{k+1},0,\dots ,0)$ (напомним, что $n⩽p)$. Положим $h_t=(1-t)f+tg$. Множество
$$A=\{t\in \mathbf{R}\mid {\hat{h}}_t\in Y_l\}\subset \mathbf{R}$$

является алгебраическим. Действительно, множество $Y_l$ алгебраическое, и отображение
$$t\mapsto (1-t)\hat{f}+t\hat{g}$$

линейно отображает $t$ в коэффициенты $h_t$ (а линейное отображение полиномиально). Таким образом, множедтво $A$ либо конечно, либо есть все $\mathbf{R}$.

Однако $lotinA$ для достаточно больших $l$, поскольку ${\hat{h}}_1=\hat{g}$ и пространство $\mathcal{E}(n)/⟨x_1^{k+1},\dots ,x_n^{k+1}⟩$ имеет конечную размерность.

Следовательно, множество $A$ конечно для достаточно больших $l$. Найдем отличную от единицы константу $t\in \mathrm{R}$, такую, что $totinA$. Тогда $h_t=(1-t)f+$ $+t\hat{g}otin{Y}_l$ для некоторого $l$. Поскольку компоненты $h_t$ и $h_t/(1-t)$ порожд-ют один и тот же идеал, для некоторого $l$
$$\left(\frac{1}{1-t}\right)\cdot {\hat{h}}_t=f+\left(\frac{t}{1-t}\right)\cdot \hat{g}otin{Y}_l,$$

что и требовалось доказать.
13.6. Замечание. Те ростки $f\in \mathcal{E}(n)$, для которых росток $Df$ не является конечным, также образуют подмножество бесконечной коразмерности. Чтобы это доказать, нужно повторить все предыдущие рассуждения, а в конце доказательства заметить, что $n$-строку $g=(x_1^{k+1},\dots ,x_n^{k+1})$ можно представить в виде $g=Dq$, где $q=(x_1^{k+2}+\dots +x_n^{k+2})/(k+2)$.