Литература: Ж. Дьедоние, Основы ссвременного анализа, «мир\”, М., 1964.

1.1. Пусть $A$ – произвольное подмножество в $\mathbf{R}^{n}$. Отображение $f: A \rightarrow \mathbf{R}^{k}$ называется дифференцируемым, если существуют открытое множество $U \subset \mathbf{R}^{\text {n }}$ и отображение $F: U \rightarrow \mathbf{R}^{k}$, такие, что $A \subset U, F \mid A=f$ и все частные производные $F$ всех порядков существуют и непрерывны.

Ниже мы будем в основном интересоваться лока.лькыми свойствами отображений. Для того чтобы сделать более точным это понятие, дадим следующее определение. Пусть $x \in A \subset \mathbb{R}^{n}, V-$ некоторое множество и $\mathscr{F}$ – множество пар вида $(U, f)$, где $U$ открытое подмножество в $\mathbf{R}^{n}$, содержащее точку $x$, a $f: A \cap U \rightarrow V$ – некоторое (произвольное, непрерывное, дифференцнруемое, аналитическое,…) отображение. Рассмотрим следующее отношение эквивалентности на множестье $\mathscr{F}$ : пары $\left(U_{1}, f_{1}\right) \in \mathscr{F}$ и $\left(U_{2}, f_{2}\right) \in$ $\in \mathscr{F}$ эквивалентны, $\left(U_{1}, f_{1}\right) \sim\left(U_{2}, f_{2}\right)$, тогда и только тогда, когда в $U_{1} \cap U_{2}$ содержится открытое множество $U \subset \mathbf{R}^{n}$, содержащее точку $x$ и такое, что $f_{1}\left|U=f_{2}\right| U$. Класс эквивалентности по этому отношению называется (произрольным, непрерывным, дифференцируемым, аналитическим,…) ростком $\tilde{f}:(A, x) \rightarrow V$ в точке $x$ (тильда часто опускается). Так, можно говорить о ростках дифференцируемых или аналитических отображений. Далее, поскольку всякое подмножество $\mathbf{R}^{n}$ определяется отображением $\mathbf{R}^{n} \rightarrow\{0,1\}$, можно говорить о ростках в точке $x$ подмножеств $R^{h}$. Ростки ведут себя в основном так же, как отображения. В частности, можно взять композицию ростка $\tilde{g}$ в точке $y$ и ростка $\tilde{f}$ в точке $x$ и получить росток $\tilde{g} \circ f($ если $y=f(x))$ :
\[
\begin{array}{c}
\left(\mathbf{R}^{n}, x\right) \xrightarrow{\tilde{f}}\left(\mathbf{R}^{m}, y\right) \xrightarrow{\tilde{g}} \mathbf{R}^{k}, \\
y=f(x), \\
\tilde{g} \circ \tilde{f}:\left(\mathbf{R}^{n}, x\right) \rightarrow \mathbf{R}^{k} .
\end{array}
\]

Если $f: U \rightarrow \mathbf{R}^{m}$ и $g: V \rightarrow \mathbf{R}^{k}$ – представители ростков $\tilde{f}$ и $\tilde{g}$, то $f \| f^{-1}(V): f^{-1}(V) \rightarrow \mathbf{R}^{m}$ – представитель $\tilde{f}$. $\mathrm{Ha} f^{-1}(V) \subset U$ определена обычная композиция отображений $g \circ f$; это отображение есть представктель ростка $\tilde{g} \circ \tilde{f}$. Для дифференцируемого ростка $f:\left(\mathbf{R}^{n}, x\right) \rightarrow \mathbf{R}^{k}$ определена матрица Якоби $D f(x): \mathbf{R}^{n} \rightarrow$ $\rightarrow R^{k}$ (линейное отображение). Росток $\bar{f}$ обладает обратным ростком (по отношению к операции ॰) тогда и только тогда, когда для $\tilde{f}$ найдется представитель $f$, обладающий локальным обратным отображением в некоторой достаточно малой окрестности точки $\boldsymbol{x}$. А это имеет место в том и только том случае, когда невырожденна матрица Якоби $D f(x)$.
1.2. Teоpeма оБ обратной функции (см. Дьедонне). Росток $f:\left(\mathbf{R}^{n}, \boldsymbol{x}\right) \rightarrow\left(\mathbf{R}^{n}, y\right)$ обладает обратным ростком $f^{-1}:\left(\mathbf{R}^{n}, y\right) \rightarrow\left(\mathbf{R}^{n}, x\right)$ тогда и только тогда, когда невырожденна матрица Якоби $D f(x)$.

Если $U \subset \mathbf{R}^{n}$ и отображение $f: U \rightarrow \mathbf{R}^{k}$ дифференцируемо, то отображение $D f: U \rightarrow \mathbf{R}^{k n}=\{$ множество всех ( $k \times n)$-матриц) также дифференцируемо. Ранг отображения $f$ в точке $\boldsymbol{x}$ определяется как ранг матрицы $D f(x)$ и обозначается через $\mathrm{Rk}_{x} f$. Если $\mathrm{Rk}_{x} f \geqslant s$, то некоторый ( $s \times s$ )-минор матрицы $D f(x)$ отличен от нуля. Этот минор будет отличен от нуля и в некоторой окрестности точки $x$, поскольку отображение $D f$ непрерывно, а определитель ( $s \times s$ )-матрицы – непрерывная функция ее элементов. Следовательно, ранг $f$ не меньше $s$ в некоторой окрестности точки $x$, т. е. ранг $f$ локально не может падать, и, значит, отображение $U \rightarrow Z$, задаваемое формулой $x \mapsto R \mathrm{k}_{x} f$, полунепрерывно снизу. Таким образом, для любого ростка $\bar{f}:\left(\mathbf{R}^{n}, \dot{x}\right) \rightarrow \mathbf{R}^{k}$ имеется соответствующий ему полунепрерывный снизу росток $\mathrm{Rk} f:\left(\mathbf{R}^{n}, x\right) \rightarrow \mathbf{Z}, y \mapsto \mathrm{Rk}_{y} f$.

Теорема об обратной функции имеет важное следствие.
1.3. Теорема $о$ ранге (см. Дьедонне). Пусть $\tilde{f}: \quad\left(\mathbf{R}^{n}, x\right) \rightarrow\left(\mathbf{R}^{m}, y\right)$ – росток почтоянного ранга (это означает, что росток $\mathrm{Rkf}$ – росток постоянного отображения). Тогда существуют обратимые ростки $\tilde{\varphi}:\left(\mathbf{R}^{n}, x\right) \rightarrow\left(\mathbf{R}^{n}, 0\right)$ и $\tilde{\psi}:\left(\mathbf{R}^{m}, y\right) \rightarrow\left(\mathbf{R}^{m}, 0\right)$, такие, что представителем ростка
\[
\tilde{\phi} \circ \tilde{f} \circ \tilde{\varphi}^{-1}:\left(R^{n}, 0\right) \rightarrow\left(R^{m}, v\right)
\]

является отображенше, определяемое формулой ( $x_{1}, \ldots$ $\left.\ldots, x_{n}\right) \mapsto\left(x_{1}, \ldots, x_{k}, 0, \ldots, 0\right)$, где $k=\mathrm{Rk}_{x} f$.

Забудем про ростки. Тогда этот результат просто означает, что если отображение $f: U_{1} \rightarrow \mathbb{R}^{m}$, определенное в окрестности $U_{1}$ точки $x$, имеет постоянный ранг в некоторой, быть может меньшей, окрестности $U_{2}$ точки $x$, то в некоторой, возможно, еще меньшей окрестности $U_{3}$ точки $x$ отображение $f$ запишется в указанном выше виде относительно подходящих систем координат на $\mathbf{R}^{n}$ и $\mathbf{R}^{m}$.

Доказательство. Без ограничения общности можно считать, что $x=y=0$. Пусть $f$ – представитель ростка $\tilde{f}$, имеющий постоянный ранг $k$. Тогда найдется $(k \times k)$-минор матрицы $D f$, отличный от нуля в начале координат. Сделав замены координат, т. е. применив локальные диффеоморфизмы (обратимые дифференцируемые отображения), можно считать, что этот минор есть
\[
\left(\partial f_{i} / \partial x_{j}\right), \quad 1 \leqslant i, j \leqslant k .
\]

Так как этот минор отличен от нуля в начале координат, то он отличен от нуля и в некоторой окрестности начала координат.
Определим росток $\tilde{\varphi}:\left(\mathbf{R}^{n}, 0\right) \rightarrow\left(\mathbf{R}^{n}, 0\right)$ формулой
\[
\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right) \mapsto\left(f_{1}(x), \ldots, f_{k}(x), x_{k+1}, \ldots, x_{n}\right)
\]
(мы обозначаем компоненты $f$ через $\left(f_{1}, \ldots, f_{\text {in }}\right)$ ).

Torza

и
\[
\operatorname{det}(D \varphi)=\operatorname{det}\left(\partial f_{t} / \partial x_{l}\right)_{1<i, 1<k}
eq 0 .
\]

Следовательно, росток $\tilde{\varphi}$ обратим и диаграмма

показывает, что представителем ростка $\tilde{g}=f \circ \tilde{\varphi}^{-1}$ является отображение $g$, определяемое формулой
\[
z=\left(z_{1}, \ldots, z_{n}\right) \longmapsto\left(z_{1}, \ldots, z_{k}, g_{k+1}(z), \ldots, g_{m}(z)\right) .
\]

Eго матрица Якоби имеет вид
rде
\[
A(z)=\left(\partial g_{l} / \partial z_{i}\right), \quad k+1 \leqslant j \leqslant m, \quad k+1 \leqslant i \leqslant n .
\]

Так как в некоторой окрестности начала координат выполнено равенство $\mathrm{Rk}(g)=\mathrm{Rk}(D g)=k$, то в этой. окресткости матрица $A(z)$ должса обращаться в куль. Следовательно, без ограничения общности можно считать, что
(*) $\partial g_{l} / \partial z_{l}=0$ при $k+1 \leqslant j \leqslant m, \quad k+1 \leqslant i \leqslant n$.
Выполиим теперь локальное преобразование в области зчачений отображения $f$, T. е. в $\mathbf{R}^{m}$, а именно, определим росток $\overline{\boldsymbol{\psi}}:\left(\mathbf{R}^{m}, 0\right) \rightarrow\left(\mathbf{R}^{m}, 0\right)$ формулой

Матрица Якоби ростка $\tilde{\emptyset}$ имеет вид

поскольку $g_{k+1}\left(y_{1}, \ldots, y_{h}, 0, \ldots, 0\right)$ и т. д. не зависят or $y_{k+1}, \ldots, y_{m}$. Следовательно, росток $\bar{\Phi}$ обратим, а представителем ростка $\overline{\boldsymbol{\psi}} \circ \tilde{\mathrm{g}}$ является композиция отображений, заданных формулами
\[
\left[\begin{array}{c}
z_{1} \\
\vdots \\
z_{k} \\
z_{k+1} \\
\vdots \\
z_{n}
\end{array}\right] \mapsto\left[\begin{array}{c}
z_{1} \\
\vdots \\
z_{k} \\
g_{k+1}(z) \\
\vdots \\
g_{m}(z)
\end{array}\right] \mapsto\left[\begin{array}{c}
z_{1} \\
\vdots \\
z_{k} \\
g_{k+1}(z)-g_{k+1}\left(z_{1}, \ldots, z_{k}, 0, \ldots, 0\right) \\
\vdots \\
g_{m}(z)-g_{m}\left(z_{1}, \ldots, z_{k}, 0, \ldots, 0\right)
\end{array}\right]
\]

Из соотношений (*) вытекает, что последние $m-k$ компонент этой композицни, т. е. $g_{k+l}\left(z_{1}, \ldots, z_{n}\right)$ – $g_{k+1}\left(z_{1}, \ldots, z_{k}, 0, \ldots, 0\right)$ обрашаются в нуль на $n$-мерном кубе $\left|z_{j}\right|<\varepsilon$. Следовательно, представителем ростка $\bar{\psi} \circ \tilde{g}$ является отображение, заданное формулой
\[
\left(z_{1}, \ldots, z_{n}\right) \rightarrow\left(z_{1}, \ldots, z_{k}, 0, \ldots, 0\right) .
\]
1.4. ПрилоЖение теоремЫ о ранге. Пусть $U-$ от $^{\circ}$ крытое подмножество в $\mathbf{R}^{n}$. Отображение $f: U \rightarrow \mathbf{R}^{k}$ называется субмерсией, если $\mathrm{Rk}_{x} \mathrm{f}=k$ (и иммерсией, если $\mathrm{Rk}_{x} f=n$ ) для лобого $x \in U$. По теореме о ранге, в подходяцнх системах координат субмерсия (иммер. сия) локально записывается в виде
\[
\begin{aligned}
\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right) & \mapsto\left(x_{1}, \ldots, x_{k}\right) \\
\left(\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)\right. & \left.\mapsto\left(x_{1}, \ldots, x_{n}, 0, \ldots, 0\right)\right) .
\end{aligned}
\]
1.5. Определениє. Подмножество $M \subset \mathrm{R}^{n}$ называется дифференцируемьн подмногообразием в $\mathbf{R}^{n}$ размерности $m \leqslant n$, если для каждой точки $x \in M$ найдется обратимый росток $\tilde{\varphi}:\left(\mathbf{R}^{n}, x\right) \rightarrow\left(\mathbf{R}^{n}, 0\right)$, такой, что $\tilde{\varphi}(M, x)=\left(\mathbf{R}^{m}, 0\right) \subset\left(\mathbf{R}^{n}, 0\right)$ (имеется в виду $\mathbf{R}^{n}$, линейно вложенное в $\mathrm{R}^{n}$ при $m \leqslant n$ ).
1.6. Пример. Миожество $S^{n}=\left\{x \in \mathrm{R}^{n+1} \mid\langle x, x\rangle=\right.$ $=1\}$ – дифференцируемое подмногообразие в $\mathrm{R}^{n+1}$. Доказательство предоставляется читателю в качестве упражнения.
1.7. Упражненив. Обозначим через $L A(n, m)=\mathrm{R}^{n m}$ множество всех $(m \times n)$-матриц, а через $L A(n, m ; k)$ его подмножество, состоящее из всех ( $m \times n$ )-матриц ранга $k$. Докажите, что $L A(n, m ; k)$ – дифференци руемое подмногообразие в $L A(n, m)$, и найдите его размерность.
1.8. ОПределенив. Пусть $f: \mathbf{R}^{n} \rightarrow \mathbf{R}^{m}-$ дифференцируемое отображение. Точка $y \in \mathbf{R}^{m}$ называется регулярным значением отображения $f$, если для любой точки $x \in \mathbf{R}^{n}$, такой, что $f(x)=y$, выполнено равенство $\mathrm{Rk}_{x} f=m$, т. е. ранг $f$ в этой точке равен $m$. Всякое значение $f$, которое не является регулярным, называется критическим значением $f$. В частности, если $y
otin f\left(\mathbf{R}^{\prime \prime}\right)$, то, согласно этому определению, $y$ – регулярное значение $f$.
1.9. Теорема. Если $y$-регулярное значение отображения $f: \mathbf{R}^{n} \rightarrow \mathbf{R}^{m}$, то множцство $f^{-1}\{y\} \subset \mathbf{R}^{n}$, явияется дифференцируемим подмногообразием в $R^{n}$ размерности $n-m$ (либо пусто).

Доказательство. Пусть $x \in f^{-1}\{y\}$, т. е. $f(x)=y$ н $\mathrm{Rk}_{x} f=m$. Это означает, что ранг $f$ локально постоянен в точке $x$. По теореме о ранге, существуют локальные преобразования $\varphi: \quad\left(\mathbf{R}^{n}, x\right) \rightarrow\left(\mathbf{R}^{n}, 0\right)$ и $\psi:\left(\mathbf{R}^{m}, y\right) \rightarrow\left(\mathbb{R}^{m}, 0\right)$, такие, что росток $\tilde{\psi} \circ \tilde{f}^{-1} \circ \tilde{\varphi}^{-1}=f_{1}$ имеет вид
\[
f_{1}\left(x_{1}, \ldots, x_{m}, \ldots, x_{n}\right)=\left(x_{1}, \ldots, x_{m}\right) .
\]

Отсюда видно, что росток $\tilde{f}^{-1}\{0\}=\tilde{\varphi} \tilde{f}^{-1} \tilde{\psi}^{-1}\{0\}=$ – $\tilde{\varphi} \tilde{f}^{-1}\{y\}$ является ростком в начале координат множества $\left\{\left(0, \ldots, 0, x_{m+1}, \ldots, x_{n}\right)\right\}$.
1.10. Упражнения. 1. Предположим, что $A$-симметрическая ( $n \times n$ )-матрица и $0
eq b \in \mathrm{R}$. Докажите, что миожество $M=\left\{x \in \mathrm{R}^{n} \mid x^{i} A x=b\right\}$ либо является п дмногообразием размерности ( $n-1)$ в $\mathrm{R}^{n}$, либо пусто.
2. Пусть $f: R^{n} \rightarrow R^{n}$ – дифференцируемое отображение, удовлетвориющее условию $f$ of $=f$. Докажи те, что множество $f\left(\mathbf{R}^{n}\right) \subset \mathbf{R}^{n}$ – дифференцируемое подмногообразие.
3. Вообще говоря, множество $f^{-1}\{y\}$ может н не оыть подмногообразием. Прнведите пример.

Пусть $M^{m} \subset \mathbf{R}^{m+k}$ – дифференцируемое подмногообразие. Выберем обратимый представитель для каждого ростка $\tilde{p}$ из определения дифференцируемого подмногообразил; тогда:

каждая точка $x \in M$ обладает окрестностью $U_{\lambda}$, на которой опрсделено дифференцируемое отображение $\varphi_{\lambda}: U_{\lambda} \stackrel{\approx}{\rightarrow} U_{\lambda}^{\prime} \subset \mathbf{R}^{m}$, где $U_{\lambda}^{\prime}$ – некоторое открытое подмножество в $\mathbf{R}^{m}$.

Если мы хотим дать определение дифференцируемого многообразия, не используя вложение в $\mathbf{R}^{m+k}$, то напрашивается следуішен конструкция:
1.11. Дифференцируемым иногообразием называется топологическое пространство $M$ вместе с открытым покрытием $\left\{U_{\lambda} \mid \lambda \in \Lambda\right\}$ и гомеоморфизмами $U_{\lambda} \rightarrow$

$\rightarrow U_{\lambda}^{\prime} \subset \mathrm{R}^{m}$ ( $U_{\lambda}^{\prime}$ открыто), обладающими такими свойстствами:
(i)

если $U_{\lambda} \cap U_{\mu}
eq \varnothing$, то существует дифференцируемое ной. Поскольку $\varphi_{\lambda_{\mu}} \circ \varphi_{\mu \lambda}=\mathrm{id}$, отображение $\varphi_{\lambda \mu}$ – диффеоморфизм (обратимо). Очевидно, что $U_{, \mu}^{\prime}=$ $=\varphi_{\lambda}\left(U_{\lambda} \cap U_{\mu}\right)$, и т. д.
(ii) $M$ – хаусдорфово топологическое пространство, обладающее счетной базой.

Многие понятия, определяем.де для евклидова пространства, переносятся на подмногообразия в $\mathbf{R}^{n}$ (и на многсобразия). Например, пусть $x \in M^{m} \subset \mathbb{R}^{m+k}$. Тогда функцня $f: M \rightarrow \mathbf{R}$ называется дифференцируемой в точке $x$, если существует обратимый росток $\tilde{\psi}:\left(R^{m+k}, x\right) \rightarrow\left(R^{m+k}, 0\right)$, такой, что
\[
\tilde{\psi}:\left(M^{m}, x\right) \stackrel{ }{\rightarrow}\left(R^{m}, 0\right)
\]

и росток $\hat{f} \circ \grave{\psi}^{-1}$ дифференцируем в точке $0 \in R^{m} \subset$ $\subset \mathbf{R}^{m+k}$.

Другими словами, $M$ покрывается открытыми множествами $U_{\lambda}$, каждое из которых можно стождествить с открытым подмножеством в $\mathbf{R}^{m}$ при помощи преобразования координат, и определенное на $M$. отображение называется дифференцируемым (имеющим ранг $r$, ит. д.), если после сужения на такие открытые подмножества – которые после замены координат можно рассматривать как подмножества B $\mathbf{R}^{m}$ – оно становится дифференцируемым (имеющим ранг $r$, и $\boldsymbol{\tau}$. д.).