Литература: С. Ленг, Алгебра, єМир», М., 1968.
S. Lang, Introduction to algebraic geometry, Whley, 1964.
В. Ходж, Д. Пидо, Методы алгебраической геометран, т. $1-3$, иЛ, М., 1954, 1955.
H. Whitney, Elementary structure of real algebralc varleties, Ann. of Math., 66 (1957), 545-556,

В этой главе собраны вместе несколько фактов из алгебраической геометрии, которые понадобятся нам в следующей главе. Материал этой главы не был бы столь обширен, если бы нам не пришлось еще ввести некоторую технику, необходимую для разложения алгебраических множеств. Эта техника – первый шаг к теории стратификации, играющей важную роль в изучении особенностей.

Пусть $K$ – некоторое поле (обычно $\mathbf{R}$ или $\mathbf{C}$ ), и пусть $K^{n}$ – векторное пространство $n$-строк над $K$.
12.1. Определение. Подмножество $A \subset K^{n}$ называется алгебрацческим, если существуют такие многочлены $f_{1}, \ldots, f_{r} \in K[x]=K\left[x_{1}, \ldots, x_{n}\right]$, что
\[
A=\left\{x \in K^{n} \mid f_{1}(x)=\ldots=f_{r}(x)=0\right\}
\]
(мы пишем $x=\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)$ ).
Пусть $A$ – произвольное подмножество в $K^{n}$. Обозначим идеал, состоящий из всех многочленов, обращающихся в 0 на $A$, через $\mathfrak{n}(A)$. Таким образом,
\[
\mathfrak{n}(A)=\{f \in K[x] \mid f(a)=0 \text { для всех } a \in A\} .
\]

Обратно, всякий идеал $\mathfrak{a} \subset K[x]$ позволяет определить подмножество $V(\mathfrak{a}) \subset K^{n}$, называемое множеством кулей идеала $\mathrm{a}:$
\[
V(\mathfrak{a})=\left\{x \in K^{n} \mid f(x)=0 \text { для всех } f \in \mathfrak{a} .\right.
\]

Следующая тсорема устанавливает, что подмножество $V$ (a) алгебраическое.
12.2. Теорема Гильверта о базисе. Колбцо многочленов $K[x]$ нётерово, г. е. всякий идеал в нем конечно порожден (см. Ленг, Алгебра).

Согласно этой теореме, $V(\mathfrak{a})$ – это множество общих нулей образующих $\left\{f_{1}, \ldots, f_{r}\right\}$ идеала а. По определению, множество $A$ является алгебраическим, если справедливо равенство $V(\mathrm{n}(A))=A$. Для всякого подмножества $A \subset K^{n}$ выполняется включение $V(\mathrm{n}(A)) \supset A$. Следовательно, $V(\mathrm{n}(A))$ – это нанменьшее алгебраическое подмножество, содержащее $A$.
Если $\boldsymbol{A}$ и $\boldsymbol{B}$ – алгебраические множества, то
\[
A \subset B \Leftrightarrow \mathfrak{n}(A) \supset \mathfrak{n}(B) .
\]

Если а и b- идеалы в $K[x]$, то
。
\[
\mathfrak{a} \subset \mathfrak{b} \Leftrightarrow V(\mathfrak{a}) \supset V(\mathfrak{b}) .
\]

Всякой убывающей последовательности алгебраических множеств
\[
A_{1} \supset A_{2} \supset A_{3} \supset \ldots
\]

соответствует возрастающая последовательность идеалов, обращающихся в нуль на этих множествах:
\[
\mathfrak{a}_{1} \subset \mathfrak{a}_{2} \subset \mathfrak{a}_{3} \subset \ldots \quad\left(\mathfrak{a}_{i}=\mathfrak{n}\left(A_{i}\right)\right) .
\]

Поскольку кольцо $K[x]$ нётерово, существует такое $n_{s}$ что все образующие идеала $\mathfrak{a}=\bigcup_{i=1}^{\infty} a_{i}$ содержатся в $a_{n}$, следовательно, $u=a_{n}$. Таким образом, последовательность идеалов перестает возрастать, начикая с номера $n$, а значит, последовательность алгебранческих множеств перестает убывать, начиная с номера $n$. Итак, справедливо утверждение:
12.3. Всякая строго убывающая последовательность алгебрацческих множеств конечна (теорема о базисе).

Отсюда следует, что $K^{n}$ можно наделить топологией, в которой роль замкнутых множеств будут играть алгебраические множества. Это так называемая тополоаия Зарисского. В случае, когда $K=\mathbf{R}$ или $\mathbf{C}$, она гораздо слабее, чем обычная топология.

Объединение двух алгебраических множеств очевидно является алгебраическим множеством, поскольку $V(\mathfrak{a}) \cup V(\mathfrak{b})=V(\mathfrak{a} \cap \mathfrak{b})$. Всякое пересечение алгебраических множеств на самом деле, как мы видели, своднтся к конечному пересечению. В качестве множества многочленов, определяющих $A \cap B$, можно взять объединение множества многочленов, определяющих $A$, и множества многочленов, определяющих $B$.

Всякое алгебраическое множество можно наделить топологией, индуцированной топологией Зарисскс $о$ на $K^{n}$, и для произвольного подмножества $A \subset K^{n}$ множество $V(\mathrm{n}(A))$ является замыканием $A$ в топологии Зарисского.

Из определений следует, что идеал $\mathfrak{n}(V(\mathfrak{a}))$ всегда содержит $a$, но равенство в общем случае может не иметь места.
12.4. Теорема о нулях (Гильоерт). гсли поле $K$ алгебраически замкнуто, то идеал $п(V(\mathfrak{a}))$ является радикалом идеала а, т. е.
\[
\mathfrak{n}(V(\mathfrak{a}))=\left\{f \in K[x] \mid f^{r} \in \mathfrak{a} \text { для некоторого } r\right\}
\]
(см. Ленг, Алгебра).
Очевидно, что радикал идеала а содержится в $\mathfrak{n}(V(a))$, поскольку
\[
f^{r} \in a \Rightarrow f^{r}|V(\mathfrak{a})=0 \Rightarrow f| V(\mathfrak{a})=0 \Rightarrow f \in \mathfrak{n}(V(\mathfrak{a})) .
\]
12.5. Определенив. Алгебрачческое множество $A$ называется кеприводимым, если для любых двух алгебраических множеств $A_{1}$ и $A_{2}$, удовлетворяющих условию $A=A_{1} \cup A_{2}$, либо $A=A_{1}$, либо $A=A_{2}$. Неприводимое алгебраическое множество называют также (алгебраическим) многообразием.

Многообразие не может быть разложено в объединение двух меньших алгебраических множеств. Взяв дополнения в топологии Зарисского, можно перефразировать это определение: алгебраическое множество $A$

называется многообразием, если пересечение любых двух его непустых открытых подмножеств непусто.

Произвольное алгебраическое множество $A$, не являющееся неприводимым, можно разложить в объединение алгебраических множеств: $A=A_{1} \cup A_{2}$. Итерируя этот процесс, мы придем в конце концов к разложению $A=A_{1} \cup \ldots \cup A_{r}$ на неприводимые множества (по теореме о базисе). В случае, когда между членами этого разложения нет включений $A_{i} \subset A_{j}$ при $i
eq j$, это разложение единственно с точностью до перемены порядка его членов. Действительно, если $A=B_{1} \cup \ldots$ ..U $\cup B_{s}$ – второе разложение без включений, то для каждого $l$ существуют такие $j$ и $k$, что $A_{l} \subset B_{l} \subset A_{k}$; это вытекает из неприводимости множеств $A_{l}$ и $B_{l}$. Поскольку между членами обоих разложений нет включений, то $i=k$ и $A_{l}=B_{l}$.

Неприводимые множества в таком разложении $A$ называются неприводимыми компонентами $A$.
12.6. Алгебраическов нножество $V$ неприводимо в том и только том случае, когда идеал $\mathfrak{n}(V)$ простой.
(Идеал п называется простым, если $f \circ g \in \mathfrak{n} \Rightarrow f \in \mathfrak{n}$ либо $g \in \mathfrak{n}$.)

Доказательство. Если множество $V$ иеприводимо и $f \cdot g \in n(V)$, то $V \subset V(\langle f) \cup V(\langle g))$, поэтому без ограничения общности можно считать, что $V \subset V(\langle f))$ и, следовательно, $f \in n(V)$.

Обратно, предположим, что $V$ приводимо, а именно $V \subset A \cup B, V
ot \subset A$ и $V
ot \subset B$. Возьмем такие $f \in \mathfrak{n}(A)$ и $g \equiv \mathrm{n}(B)$, что $f
otin n(B)$ и $g
otin \mathfrak{n}(A)$. Тогда
$f \cdot g \in \mathfrak{n}(A \cup B) \subset \mathfrak{n}(V)$, но $f
otin n(V)$ и $g
otin n(V)$.
Пусть $\alpha$ – некоторый идеал в $K[x]$. Ракгом идеала а называется число
\[
\rho(\mathrm{a})=\max _{x \in V(a)} \mathrm{Rk}_{x}\left(f_{1}, \ldots, f_{k}\right)_{\text {, }}
\]

где $f_{1}, \ldots, f_{k}$ – любая система образующих идеала а n
\[
\operatorname{Rk}_{x}\left(f_{1}, \ldots, f_{k}\right)=\operatorname{parr}\left(\frac{\partial_{i}}{\partial x_{l}}(x)\right) .
\]

Ранг $\rho$ идеала а действительно не зависит от выбора системы образующих, так как если $g_{1}, \ldots, g_{m}$ другая система образующих, то $g_{i}=\sum_{i} a_{i l} f_{l}$ для некоторых $a_{i l} \in K[x]$. Поскольку $f_{i}(x)=0$ для $x \in V$, получаем, что на $V$
\[
\left(\frac{\partial g_{i}}{\partial x_{r}}\right)=\left(a_{i j}\right)\left(\frac{\partial i_{j}}{\partial x_{r}}\right) .
\]

Следовательно, $\mathrm{Rk}_{x}\left(g_{1}, \ldots, g_{m}\right) \leqslant \mathrm{Rk}_{x}\left(f_{1}, \ldots, f_{k}\right)$ для $x \in V$; соответствующее рассуждение в другом направлении дает равенство.

Для простоты мы будем, начиная с этого места, гредполагать, что $K=\mathbf{R}$ или $\mathbf{C}$.

Пусть $V
eq \varnothing$ – многообразие (неприводимое). Поскольку $n(V)$ – простой идеал, $K[x] / n(V)$ – кольцо без делителей нуля. Рассмотрим его поле частных:
\[
K(V)=Q(K[x] / n(V)) .
\]

Векторное пространство $(K(V))^{n} n$-строк над полем $K(V)$ содержит точку $x=\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)$, координатами которой являются переменные $x_{i}$ по модулю $n(V)$. Эта точка называется общей точкой многообразия $V$. Далее, имеется каноническое вложение $K \subset K(V)$, и, значит, мы можем подставить точку из $(K(V))^{n}$ в пюбой многочлен $f \in K[x]$. По определению общей точки получаем:
12.7. Многочлен $f \in K[x]$ обращается в муль ка $V$ в том и только том случае, когда $f$ обращаетсл в нуль в общей точке:
\[
f \in n(V) \Leftrightarrow f(x)=0 \text { в } K(V) .
\]

В частности, ранг идеала $n(V)$ равен рангу системы образующих $\left(f_{1}, \ldots, f_{k}\right)$ идеала $\mathfrak{n}(V)$ в общей точке. Это вытекает из того, что любой минор $\Phi$ матриць $\left(\partial f_{i} / \partial x_{j}\right.$ ) удовлетворяет условию $\Phi(V)=0$ в том и толькс том случае, когда $\Phi(x)=0$ для общей точки $x \in K(V)$.
12.8. Определение. Размерностью многообразия $V$ называется степень трансцендентности поля $K(V)$ над полем $K$.

12.9. Теорема. Размерность многообразия $V \subset K^{n}$ равна корамгу идеала $\mathfrak{n}(V)$, т. е. $\operatorname{dim} V=n-\rho(\mathfrak{n}(V))$.

Доказательство. Пусть $\operatorname{dim} V=d=$ степень трансцендентности $K(V)$ над $K$. Сделав подходящую перестановку координат, можно считать, что элементы $\boldsymbol{x}_{d+\boldsymbol{i}} \in K(V)$ алгебраичны над полем $K\left(x_{1}, \ldots, x_{d}\right)$. Следовательно, существует неприводимый многочлен $g_{l}$ (многочлен наименьшей степени), такой, что $g_{l}\left(x_{1}, \ldots\right.$ $\left.\ldots, x_{d}, x_{d+i}\right)=0$ в $K(V)$, или, эквивалентно, $g_{i} \in \mathfrak{n}(V)$. В частности, $\partial g_{i} / \partial x_{d+i}(x)
eq 0$ в $K(V)$. (Если $\partial g_{l} / \partial x_{d+i} \equiv 0$; то $g_{i}$ как многочлен от переменной $x_{d+i}$ есть константа. Torда $\left(x_{1}, \ldots, x_{d}\right)$ алгеб,аически зависимы. Если $\partial g_{i} / \partial x_{d+i}
eq 0$, то равенство $\partial g_{i} / \partial x_{d+l}=0$ было бы алгебраическим соотношением для $x_{d}$, степень которого меньше, чем степень соотношения $g_{i}(x)=0$.)

Отсюда вытекает, что матрица $\left(\partial g_{i} / \partial x_{j}(x)\right)$ имеет ранг $n-d$ в общей точке и $g_{i} \in \mathfrak{n}(V)$ для любого $i$, Поэтому $\rho(\mathrm{n}(V)) \geqslant n-d$.
Теперь покажем, что $\rho \leqslant n-d$.
Для этого мы используем два факта. Во-первых, дифференцирования $D_{i}$ поля $K\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)$, обладающие тем свойством, что $D_{i} \mid K=0$, однозначно определяются уравнением $D_{i} x_{j}=\delta_{i j}$. Во-вторых, всякое дифференцирование поля (в данном случае $K\left(x_{1}, \ldots, x_{d}\right)$ ) можно единственным образом продолжить на алгебраическое расширение этого поля (в данном случае – поле $K(V)$ ).

См. Ленг, Алгебра, X, § 7, предл. 10. Определение $D_{l}$ на рациональных функциях из $K(x)$ использует обычные правила дифференциального исчисления. Расширение $D$ с поля $K$ на поле $K(y)$, где $y$-алгебраический элемент, определяется минимальным многочленом элемента $y$. Пусть $p(y)=\sum p_{1} y^{\prime}-$ минимальный многочлен. Положим $p^{D}(y)=\sum D\left(p_{l}\right) y^{I}$. Тогда
\[
D(p(y))=0=p^{D}(y)+p^{\prime}(y) \cdot D(y) .
\]

Поскольку многочлен $p$ минимален, $p^{\prime}(y)
eq 0$, и мы получаем формулу, из которой определяется $D(y)$. Тем самым дифференцирование задается на $K(y)$.

Векторное пространство дифференцирований поля $K(V)$, обращающихся в нуль на $K$, в нашем случае имеет размерность $d$. Базисом этого пространства является $\left\{D_{i} \mid i=1, \ldots, d\right\}$, где $D_{i}\left(x_{j}\right)=\delta_{i j}$ для $j \leqslant d$. Если $\left(f_{1}, \ldots, f_{k}\right)$ – система образующих идеала $\mathfrak{n}(V)$, то в общей точке $x$ мы имеем $f_{f}(x)=0$. Следовательно,
\[
\frac{\partial f_{j}}{\partial x_{i}}+\sum_{v=1}^{n-d} \frac{\partial f_{j}}{\partial x_{d+v}} \cdot D_{i}\left(x_{d+v}\right)=0, \quad i=1, \ldots, d \text {. }
\]

Итак, для минимальных многочленов $g_{v}$ элементов $x_{t+v}$ имеем
\[
\frac{\partial g_{v}}{\partial x_{i}}+\frac{\partial g_{v}}{\partial x_{d+v}} \cdot D_{i}\left(x_{d+v}\right)=0, \quad v=1, \ldots, n-d .
\]

Подставляя это равенство в предыдущие, находим, что в общей точке
\[
\frac{\partial f_{i}}{\partial x_{i}}=\sum_{v=1}^{n-d} \frac{\partial i_{j}}{\partial x_{d+v}} \cdot \frac{\partial g_{v}}{\partial x_{i}} \cdot\left(\frac{\partial g_{v}}{\partial x_{d+v}}\right)^{-1} \text { для } i=1, \ldots d \text {. }
\]

Тем самым показано, что первые $d$ столбцов матрицы $D f(x), x \in K(V)^{n}$, суть линейные комбинации последних $i-d$ столбцов. Следовательно, $\rho \leqslant n-d$.
12.10. Теорема. Пусть $\subset \subset b-$ постые идеалы в $K[x]$. Обозначим через $d(\mathfrak{a})$ степень трансцендентности $K(\mathfrak{a})$ над $K$, где $K(\mathfrak{a})=Q(K[x] / \mathfrak{a})$. Oпределим амалогично $d(\mathfrak{b})$. Тогда $d(\mathfrak{a}) \geqslant d(\mathfrak{b})$, и если $\mathfrak{a}
eq \mathfrak{b}$, то $d(\mathfrak{a})>d(\mathfrak{b})$.

Доказательство. Предположим, что $x_{1}, \ldots, x_{d}$ алгебраически независимы в $K(\mathfrak{b})$, но связаны алгебраическим соотношением $f\left(x_{1}, \ldots, x_{d}\right)=0$ в $K(\mathfrak{a})$. Это означает, что $f\left(x_{1}, \ldots, x_{d}\right)$ принадлежит a, но не принадлежит $\mathfrak{b}$, что противоречит условию теоремы. Следовательно, $d(a) \geqslant d(\mathfrak{b})$.

Предположим теперь, что $d(\mathfrak{a})=a$ (b). Пусть $\left\{x_{1}, \ldots\right.$ $\left.\ldots, x_{d}\right\}$ – базис трансцендентности для $K($ b). Мы предположим, что $f \in \mathfrak{b}$; и выведем отсюда, что $f \in \mathfrak{a}$. Пусть $f$ представляет элемент из $K(\mathfrak{a})$, алгебраический над $K\left(x_{1}, \ldots, x_{d}\right)$. Тогда существует многочлен $g \in K\left(x_{1}, \ldots, x_{d}\right)[t]$, такой, что
\[
g\left(x_{1}, \ldots, x_{d}, f\right)=0 \quad \text { в } K(a) .
\]

Обозначим произведение знаменателей коэффициентов $g$ в $K\left(x_{1}, \ldots, x_{d}\right)$ через $q\left(x_{1}, \ldots, x_{d}\right)
eq 0$. Умножим $g$ на это произведение. Получим
\[
h(x, t)=q(x) \cdot g(x, t) \in K\left[x_{1}, \ldots, x_{d}, t\right] .
\]

Отсюда $h\left(x_{1}, \ldots, x_{d}, f\right)=0$ в $K(a)$ н, значит, $h\left(x_{1}, \ldots\right.$ $\left.\ldots, x_{d}, f\right) \in \mathfrak{a}$. Выбрав $g$ минимальным по отношению к $t$, мы можем считать, что $h\left(x_{1}, \ldots, x_{d}, 0\right)
eq 0$ в $K(\mathfrak{a})$, так как в противном случае $f=0$ в $K(\mathfrak{a})$, т. е. $f \in \mathfrak{a}$.
Рассмотрим теперь проекцию
\[
\varphi: K[x] / a \rightarrow K[x] / \mathfrak{b} ;
\]

поскольку $\varphi(f)=0, \varphi\left(h\left(x_{1}, \ldots, x_{d}, f\right)\right)$ равно $h\left(x_{1}, \ldots\right.$ $\ldots, x_{d}, 0$ ) (в зависимости от контекста рассматриваемые многочлены берутся либо по модулю идеала $a$, либо по модулю идеала ( )). По построению, $h\left(x_{1}, \ldots\right.$, $\left.\ldots, x_{d}, s f\right)=0$ в $K[x] / \alpha$ и, значит, $h\left(x_{1}, \ldots, x_{d}, 0\right)=0$ в $K(\mathfrak{b})$. Отсюда следует, что многочлен $h\left(x_{1}, \ldots, x_{d}, 0\right)$ нулевой, ибо $x_{1}, \ldots, x_{d}$ алгебраически независимы. Это противоречит сделанному ранее предположению, если только $f
otin a$; значит, $f \in a$, что и требовалось доказать.

Б частности, если $\mathfrak{a}=\mathfrak{n}(W)$ и $\mathfrak{b}=\mathfrak{n}(V)$, то мы получаем то $\operatorname{dim} V \leqslant \operatorname{dim} W$, причем $\operatorname{dim} V=\operatorname{dim} W$ том $и$ только том случае, когда $V=$ !

Размерностью произвольного алгебраического множества $A$ (обозначается $\operatorname{dim} A$ ) называется нанбольшая из размерностей его неприводимых компонент. Число $(n-\operatorname{dim} A)$ называется коразмерностью $A$. Следовательно, для произвольных алгебраических множеств иs включения $A \subset B$ следует, что $\operatorname{dim} A \leqslant \operatorname{dim} B$. Если же $B$ неприводимо, то из соотношений $A \subset B$ и $\operatorname{din} A=$ $=\operatorname{dim} B$ следует, что $A=B$.

Если $A$ – алгебраическое множєлтво, определенное многочленами $\left\{f_{1}, \ldots, f_{k}\right\}$, то его множество особых точек определяется равенством $\Sigma A=\left\{x \in A \mid \mathrm{Rk}_{x}\left(f_{1}, \ldots, f_{k}\right)\right.$ не равен своему
максимальнсму значению на $A$ \}.
Множество $A-\Sigma A$ называется множеством регуяярных точек $A$, а его точки – регулярными точками. Таким образом, $x$ является регулярной точкой $A$, если $\mathrm{Rk}_{\mathrm{x}}\left(f_{\mathrm{i}}, \ldots, f_{k}\right)=\rho(\mathfrak{n}(A))=n-\operatorname{dim} A$. По определению ранга ндеала, множество регулярных точек $A$ не пусто. Следовательно, множество $\Sigma A$ строго меньше, чем $A$. Кроме того, множество $\Sigma A$ алгебраическое, посколь оно определяется как множество таких точек $A$, у которых обращаются в нуль все ( $\rho \times \rho)$-миноры матрицы ( $\partial f_{i} / \partial x_{i}$ ).

Связь между приведенным выше определением размерности алгебраического множества и топологическим определением размерности устанавливается следующей теоремой.
12.12. Теорема. Если $V \subset K^{n}$ – алгебраическое нногообразие, то множество регулярных точек $V-\Sigma V$ – ана: митическое многооб разие вещественной или комплексной (в sависимости от контекста) размерности $\operatorname{dim} V$.

Предположим на некоторое время, что этот результат имсет место, и разложим алгебраическое множество $A$ на неприводимые подмножества: $A=V_{1} U \ldots$. …UV. Тогда множество
\[
A-\left(\bigcup_{i+1}\left(V_{i} \cap V_{l}\right) \cup \bigcup_{i} \Sigma V_{i}\right)
\]

можно разложить в объединение $r$ непустых аналитических многообразий:
\[
V_{i}-\left(\left(V_{i} \cap \bigcup_{i+1} V_{l}\right) \cup \Sigma V_{l}\right)
\]

Подмножества, которые мы отбросили, являются алгебраическими, поэтому к ним можно применить ту же процедуру. Размерность $\left(V_{i} \cap \bigcup_{l+l} V_{i}\right) \cup \Sigma V_{i}$, вычисленная по алгебраическому определению, меньше размерности $V_{i}$. Следовательно, итерации этого процесса оборвутся после $(\operatorname{dim} A)$ шагов. В результате этой конструкции мы разложим $A$ в дизъюнктное объединение аналитических многообразий, размерности которых $\leqslant \operatorname{dim} A$ (и по крайней мере одно из них имеет ту же размерность, что и $A$ ).

Доказательство теоремы. Пусть $x \in V-\Sigma V$, ска: жем $x=0$, и $f_{1}, \ldots, f_{\rho} \in \mathfrak{n}(V)$ – такие многочлены, что $\mathrm{Rk}_{0}\left(f_{1}, \ldots, f_{\rho}\right)=\rho=n-\operatorname{dim} V$. Тогда $V \subset W \Rightarrow$ $=\left\{x \mid f_{1}(x)=\ldots=f_{\rho}(x)=0\right\}$. Поскольку множество $V$ неприводимо, оно содержится в некоторой неприводимой компоненте, скажем $W_{0}$, множества $W$, и мы имеем $\rho=\operatorname{Rk} \pi(V) \geqslant \operatorname{Rk} \pi\left(W_{0}\right) \geqslant \rho$, где первое неравенство следует из теоремы 12.10, а второе вытекает из того, что $f_{1}, \ldots, f_{0} \in n\left(W_{0}\right)$ и $0 \in V \sqsubset \mathbb{W}_{0}$. Следовательfo, $\operatorname{Rkn}(V)=\operatorname{Rkn}\left(W_{0}\right)$, и так как, по теореме $12.10, V=W_{0}$, то $V$ – неприводимая компонента $W$. Теперь нужно доказать, что множество $W$ локально (в смысле топологии Зарисского) неприводимо (т. е. локально $W=V$ ). Это завершит доказательство теоремы, поскольку локально $W$ является аналитическим многообразием. Но локальная неприводимость $W$ означает, что функции $\left\{f_{1}, \ldots, f_{\rho}\right\}$ порождают простой идеал $\langle f\rangle$ в локаль.іом кольце
\[
K[x]_{0}=\{g / h \mid g, h \in K[x], h(0)
eq 0\} .
\]

Ясно, что эти функции порождают простой идеал в кольце формальных степенных рядов $K[[x]]$. Действительно, по теореме о неявной функции можно преобразовать эти функции в первые $\rho$ координатных функций. Остается только показать, что если
$g \in K[x], \quad g=\sum a_{v} f_{v}$, где $a_{v} \in K[[x]]$, то $g \in\langle f\rangle$.
Но это равносильно равенству $\prod_{r=1}^{\infty}\left(\langle f\rangle+m^{\eta}\right\rangle=\langle f\rangle$, где через $\mathfrak{m}$ обозначен максимальный идеал в $K[x]_{0}$. Вычисляя по модулю идеала $\langle f\rangle$, мы видим, что остается доказать следующее утверждение:

Теорема Крулля. Пусть $R$ – ётерово локальков кольцои $\mathfrak{m}$ – его максимальный идеал. Тогда $\bigcap_{-1}^{\infty} \mathfrak{m}^{\prime}=0$.

Доказательство. Пусть идеал п порожден элементами $x_{1}, \ldots, x_{n}$. Обозначим через $R[\mathfrak{m} t]$ ккольцо Рисах: $R[\mathfrak{m} t]=\coprod_{r=0}^{\infty} \mathfrak{m}^{r} t^{r}$ (т. е. множество многочленов от $t$, у которых коэффициент при $t^{r}$ лежит в $\mathfrak{m}^{\prime}$, с очевидной кольцевой структурой). Тогда элементы $x_{1} t, \ldots, x_{n} t$ порождают $R[\mathrm{~m} t]$ над $\mathrm{R}$, и, значит, по теореме Гильберта о базисе кольцо $R[\mathrm{mt}]$ нётерово. Положим $D=\bigcap_{r=1}^{\infty} \mathfrak{m}^{r}$. Тогда идеал $D[t] \subset R[\mathfrak{m} t]$ конечно порожден. Предположим, что все его образующие имеют степень $\leqslant s$. Тогда $D[t] \subset R[m t] \cdot \prod_{t=0}^{s} t^{t} D$, и, сравнивая коэффициенты при $t^{s+1}$, находим, что $D \subset \mathfrak{m} D$. Значит, $D=0$ по лемме Накаямы.

Для подготовки к доказательству теоремы 12.14 докажем такое утверждение.
12.13. Лемма. Проекция $\pi: K^{n+1} \rightarrow K^{n}$, определяемая формулой $\left(x_{1}, \ldots, x_{n+1}\right) \mapsto\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)$, является открытым отображением относительно топологш Зарисского.

Доказательство. Пусть $U$-открытое в топологии. Зарисского множество в $K^{n+1}$, т. е. множество $A=$ $=\left(K^{n+1}-U\right)$ алгебраическое. Тогда
\[
x
otin \pi(U) \Leftrightarrow \pi^{-1}(x) \cap U=\varnothing \Leftrightarrow \pi^{-1}(x) \subset A .
\]

Таким образом, нужно показать, что множество $V=\left\{x \in K^{n} \mid \pi^{-1}(x) \subset A\right\}$ алгебраическое. Предположим, что идеал $n(A)$ порожден элементами $\left\{f_{1}, \ldots, f_{k}\right\}$, $f_{1} \in K\left[x_{1}, \ldots, x_{n+1}\right]$ и и
\[
\begin{aligned}
f_{i}\left(x_{1}, \ldots, x_{n+1}\right) & =\sum_{j} a_{i j}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right) \cdot x_{n+i}^{j}, \\
a_{i j} & \in K\left[x_{1}, \ldots, x_{n}\right] .
\end{aligned}
\]

Ясно, что $\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right) \in V$ в том и только том случае, когда $f\left(x_{1}, \ldots, x_{n}, x_{n+1}\right)=0$ при любом значении $x_{n+1}$, т. е. в том и только том случае, когда $a_{i j}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)=0$. Следовательно,
\[
V=\left\{\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right) \mid a_{i j}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)=0 \text { для всех }(i, j)\right\} .
\]
12.14. Теорема. Пусть $V$ – неприводимое алгебраическое множество в $K^{n}$. Тогда множество $\pi^{-1}(V) \subset K^{n+1}$ также неприводимо $и$ codim $V=\operatorname{codim} \pi^{-1}(V)$.

Доказательство. Если множество $V$ состоит из одной точки, т. е. $V=\{a\}$, то множ этво $\pi^{-1}\{a\}$ непри водимо. Это вытекает из того, что идеал $\left\langle\left(x_{l}-a_{i}\right)\right| i=$ $=1, \ldots, n\rangle$, состоящин из многочленов, обращающихся в нуль на $\pi^{-1}\{a\}$, есть ядро отображення
\[
\begin{aligned}
K\left[x_{1}, \ldots, x_{n+1}\right] & \rightarrow K\left[x_{n+1}\right], \\
x_{i} & \mapsto a_{i} \text { для } i \leqslant n, \\
x_{n+1} & \mapsto x_{n+1} .
\end{aligned}
\]
$\operatorname{Tax}$ как $K\left[x_{n+1}\right]$ – кольцо без делителей нуля, то ядро этого отображения является простым идеалом.

Перейдем теперь к общему случаю. Мы должны показать, что если множества $U_{1}, U_{2} \subset \pi^{-1}(V)$ открыты и непусты, то $U_{1} \cap U_{2}
eq \varnothing$. Если множество $U_{i}$ непусто н открыто, то же верно и для множества $\pi\left(U_{i}\right)$. Поскольку множество $V$ неприводимо, должен существовать элемент $a \in \pi\left(U_{1}\right) \cap \pi\left(U_{2}\right)$. Отсюда получаем, что $\pi^{-1}\{a\} \cap U_{i}
eq \varnothing$. Далее, поскольку множество $\pi^{-1}\{a\}$ неприводимо, множества $\pi^{-1}\{a\} \cap U_{1}$ и $\pi^{-1}\{a\} \cap$ $\cap U_{2}$ имеют общую точку и, значит, $U_{1} \cap U_{2}
eq \varnothing$.

Ясно, что $n(V) \subset n\left(\pi^{-1}(V)\right)$, и потому $\rho(n(V)) \leqslant$ $\leqslant \rho\left(n\left(\pi^{-1}(V)\right)\right)$. Обратно, если $f_{1}, \ldots, f_{k} \in \mathbb{\pi}\left(\pi^{-1}(V)\right)$, то $f_{i}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}, a\right) \in \mathfrak{n}(V)$ для любой константы $a \in K$. Кроме того, $\partial f_{d} / \partial x_{n+1}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}, a\right)=0$ для $\left(x_{1}, \ldots\right.$ $\left.\ldots, x_{n}\right) \in V$. Выберем неко: орую точку $\left(x_{1}, \ldots\right.$ $\left.\ldots, x_{n}, a\right) \in \pi^{-1}(V)$. Тогда
\[
\mathrm{Rk}_{(x, a)}\left(f_{1}, \ldots, f_{k}\right)=\mathrm{Rk}_{x}\left(f_{1}(x, a), \ldots, f_{k}(x, a)\right)
\]

и $f_{i}(x, a) \in K\left[x_{1}, \ldots, x_{n}\right]$, откуда $\rho\left(\pi\left(\pi^{-1}(V)\right)\right) \leqslant \rho(n(V))$.

Последнее рассуждение показывает также, что $\pi^{-1}(V-\Sigma V)=\pi^{-1}(V)-\Sigma \pi^{-1}(V)$; это равенство согласуется с нашими интуитивными представлениями, когда мы интерпретируем размерность топологически.
12.15. Единственный пример в этой главе:
\[
\begin{aligned}
V & =\left\{(x, y) \in \mathrm{R}^{2} \mid y^{2}-x^{2}\left(1-x^{2}\right)=0\right\}, \\
\Sigma V & =\{0\} .
\end{aligned}
\]