Литература: Дж. Мезер, Конечно определенные ростки отображенни, сб. Математика, 14:1 (1970), 145-175. J. C. Tougeron, Idéaux de tonctions différentiables I, Ann. Inst. Pourier, 18 (1968), $177-240$.
P. Ганнинг, X. Росси, Аналитические функции многих комплехсных переменных, «Мир», М., 1969.
Дж. Милнор, Особые точки хомплексных гаперповерхностей, сМирл, М., 1971.

Пусть, как и выше, $\mathscr{E}(n, m)$ — векторное пространство ростков $\left(\mathbf{R}^{n}, 0\right) \rightarrow \mathbf{R}^{m}$. Обозначим через $\mathscr{R}(n) \subset$ $\subset \mathscr{E}(n, n)$ подмножество обратимых относительно композиции ростков, удовлетворяющих условию $f(0)=0$. Тогда пара $(\mathscr{\theta}(n), \circ)$ есть группа и росток $\tilde{f} \in \mathscr{E}(n, n)$, удовлетворяющий условию $f(0)=0$, принадлежит $\mathscr{B}(n)$ в том и только том случае, когда матрица $D f(0)$ невыро\»зденна. Группа $\mathscr{D}(n)$ действует на $\mathscr{E}(n, m)$ с помощью композиции: если $\tilde{\mathscr{E}} \in(n, m)$ и $\tilde{h} \in \mathscr{F}(n)$, то $\tilde{f} \circ \tilde{h} \in \mathscr{E}(n, m)$.
11.1. Определение. Ростки $f_{0}, f_{1} \in \mathscr{E}(n, m)$ иазываются правоэквивалентными (или $r$-экөиваленткыми), если существует такой росток $\tilde{h} \in \mathscr{B}(n)$, что $f_{0} \circ \tilde{h}^{2}=\tilde{F}_{1}$,

Пусть $j^{k}: \mathscr{E}(n) \rightarrow \mathscr{E}(n) / m(n)^{k+1}=\mathbf{R}\left[x_{1}, \ldots, x_{n} V /\left\langle x_{1}, \ldots\right.\right.$ $\left.\ldots, x_{n}\right)^{k+1}$ — отображение, сопоставляющее каждому ростку его струю. Для удобства обозначим $\mathscr{E}(n) / m(n)^{n+1}$ через $\hat{\mathscr{E}}_{k}(n)$. Каждому ростку $f$ отображение $f^{\boldsymbol{k}}$ сопоставляет соответствующую $k$-струю, т. е. многочлен Теилора $f$ порядка $k$ в начале координат.

11.2. Определение. Росток $\tilde{f} \in \mathscr{E}(n)$ называется $k$-определенным (достаточным), если каждый росток $\tilde{g} \in \mathscr{E}(n)$, имеющий такую же $k$-струю, что и $\tilde{f}$, правоэквивалентен $\tilde{f}$.

Иными словами: если $j^{k} \tilde{f}=l^{k} \tilde{g}$, то существует росток $\tilde{h} \in \mathscr{g}(n)$, такой, что $\tilde{f}=\tilde{g} \circ \tilde{h}$.

Можно дать соответствующее определение и для ростков из $\mathscr{E}(n, m)$, но это не приведет ни к каким дополнительным разумным результатам. Это выяснится ниже, после того как мы познакомимся с простейшими видами $k$-определенности.
$k$-определенность ростка $\tilde{f}$ — это скорее свойст о многочлена $j^{k} f$, чем самого ростка $\tilde{f}$. Қаждый росток, $k$-струя которого есть $k$-определенный многочлен, превращается $\mathbf{R}$ этот многочлен в подходящей системе координат. Таким образом, в этой ситуации $k$-струя определяет соответствующий росток.

В этой главе изучается следующий вопрос: какие струи из $\widehat{\mathscr{E}}_{k}(n)$ определяют соответствующие им ростки?
Рассмотрим несколько примеров.
1. Никакая 0-струя не определяет росток.
2. $\hat{\mathscr{E}}_{1}(n)=\mathbb{R} \times \mathbb{R}^{n}$, поскольку $j \tilde{f}=f_{0}+\sum_{i} f_{i} x_{i}$, и росток $f$ 1-определен в том и только том случае, когда хстя бы одна из первых производных $\tilde{f}$ в начале коочдинат отлична от 0 (или, эквивалентно, $D f(0)
eq 0$ ). Это объясняется тем, что тогда $f$ можно привести к виду $\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right) \rightarrow f_{0}+x_{1}$.
3. Лемма Морса утверждает, что если $f \in \mathscr{E}(n)$ и $D f(0)=0$, то росток $f 2$-определен в том и только том случае, когда
\[
\operatorname{det}\left(\partial^{2} / / \partial x_{i} \partial x_{l}(0)\right)
eq 0 .
\]

Эти примеры показывают, что недостаточные струи встречаются тем реже, чем выше степень многочлена. Недостаточные 1-струи образуют прямую $\mathbf{R} \times\{0\}$ — $\mathbb{R}^{n+1}$. Oпределена проекция пространства 2-струй в пространство 1-струй, и слой над каждой 1-струей — это пространство симметрических матриц, т. е. пространство всевозможных коэффициентов мономов степени 2. Над каждой точкой линии недостаточных 1-струй недостаточные 2-струи также образуют множество меры нуль, заданное условием $\left\{\right.$ det $\left(a_{i j}\right)=0$ \} в пространстве симметрических матриц $\left\{\left(a_{i j}\right)\right\}$.

Цель этой главы — доказать приведенный ниже результат. Это один из многих результатов, полученных Мезером в этой области, причем большинство из них значительно сильнее.
11.3. Teopema. Пусть $\tilde{f} \in \mathscr{E}(n), u$ nусть
\[
\mathfrak{m}(n)^{k} \subset \mathfrak{m}(n) \cdot\left\langle\frac{\partial f}{\partial x_{1}}, \ldots, \frac{\partial f}{\partial x_{n}}\right\rangle_{\mathscr{\delta}(n)}+\mathfrak{m}(n)^{k+1} ;
\]

тогда росток $\tilde{f} k$-определен.
Начнем с нескольких замечаний.
Условие теоремы можно переписать в виде
\[
\mathfrak{m}(n)^{k} \subset \mathfrak{m}(n) \cdot\left\langle\partial f / \partial x_{i}\right\rangle \bmod \mathfrak{m}(n)^{k+1}
\]
$\left(\left\langle\partial f / \partial x_{l}\right\rangle\right.$ — сокращение для $\left.\left\langle\partial f / \partial x_{1}, \ldots, \partial f / \partial x_{n}\right\rangle_{\mathscr{\ell}(n)}\right)$, и это условие есть условие на $k$-струю ростка $f$, как и должно быть.
Из условия
\[
\mathfrak{m}(n)^{k} \subset \mathfrak{m}(n)\left\langle\partial f / \partial x_{l}\right\rangle+\mathfrak{m}(n) \cdot \mathfrak{m}(n)^{k}
\]

по лемме Накаямы вытекает, что
\[
\mathfrak{m}(n)^{k} \subset \mathfrak{m}(n)\left\langle\partial f / \partial x_{i}\right\rangle_{\mathscr{\zeta}(n)} .
\]

Следовательно, это условие эквивалентно предположениям теоремы. Однако формулировка теоремы имеет то преимущество, что в ней участвуют только конечномерные векторные пространства. Это вытекает из первого замечания. Для каждого явно заданного ростка эти конечномерные пространства могут быть явно вычислены.

Последняя формулировка условия теоремы показывает, что пространство
\[
\mathscr{E}(n) /\left(\mathbb{m}(n) \cdot\left\langle\partial f / \partial x_{i}\right\rangle\right)
\]

конечномерно и порождено мономами степени $\leqslant k$. Обратно, предположим, что пространство $\mathscr{E}(n) / \mathrm{m}(n)$. — $\left.\left\langle\partial f / \partial x_{l}\right\rangle\right)$ имеет размерность k. Положим $A=$ $=\mathscr{E}(n) / m(n)\left\langle\partial f / \partial x_{l}\right\rangle$. По лемме Накаямы
\[
0=\mathfrak{m}(n)^{t} A \subset \mathfrak{m}(n)^{t-1} A \subset \ldots \subset \mathfrak{m}(n) A \subset A,
\]

где $l \leqslant k$, поекольку $\operatorname{dim} A=k$. Следовательно,
\[
\mathfrak{m}(n)^{k} \subset \mathfrak{m}(n)^{l} \subset \mathfrak{m}(n)\left\langle\partial f / \partial x_{l}\right\rangle .
\]

Далее, $\mathscr{E}(n)$ изоморфно $\mathrm{m}(n) \oplus \mathrm{R}$ ( $f$ переходит при этом изоморфизме в $(f-f(0)) \oplus f(0)$ ). Следовательно,
\[
m(n)\left\langle\partial f / \partial x_{i}\right\rangle+\left\langle\partial f / \partial x_{i}\right\rangle_{R}=\left\langle\partial f / \partial x_{i}\right\rangle_{\mathscr{g}(n)}
\]

и конечномерность пространства $\mathscr{E}(n) / \boldsymbol{m}(n)$.
— $\left\langle\partial f / \partial x_{1}\right\rangle$ эквивалентна конечномерности пространства $\mathscr{E}(n) /\left\langle\partial f / \partial x_{i}\right\rangle_{\text {в }(n)}$. Следсвательно,
11.4. Есаи росток DF: $\left(\mathbf{R}^{n}, 0\right) \rightarrow \mathbf{R}^{n}$ конечен (определение 6.8 ), то росток $\tilde{f}$ конечно определен ( $k$-oпределен для некоторого $k$ ).

Повторяя приведенные выше рассуждения, использующие лемму Накаямы, но положив на этот раз $A=\mathscr{E}(n) /\left\langle\partial f / \partial x_{l}\right\rangle$, находим, что если $\operatorname{dim}\left(\mathscr{E}(n) /(D f)^{*}\right.$. — $m(n) \mathscr{E}(n))=k$, то рогток $f(k+1)$-определен.
Теперь приведем доказательство теоремы.
Пусть $\tilde{f}, \tilde{g} \in \mathscr{E}(n)$ — два ростка с одной и той же $k$-струей. Мы должны показать, что существует росток $\tilde{h} \in \mathscr{B}(n)$, для которого $\tilde{f} \circ \tilde{h}=\tilde{g}$. Для этого мы вклюінм ростки $\tilde{f}$ и $\tilde{\mathbf{g}}$ в однопараметрическое семейство ростков $\widetilde{F}$ :
\[
F(x, t)=(1-t) f(x)+\operatorname{tg}(x), \quad t \in \mathbf{R}, \quad x \in \mathbf{R}^{n} .
\]

Определим росток $\tilde{F}_{t} \in \mathscr{E}(n)$ формулой $F_{t}(x)=$ $=F(x, t)$. Мы хотим доказать, что дли каждого $t_{0} \in \mathbf{R}$ найдется некоторое е $>0$, такое, что любой росток $\tilde{F}_{t}$ с $\left|t-t_{0}\right|<$ e $r$-эквнвалентен $\widetilde{F}_{t_{0}}$. Отсіода ввнду связности $\mathbb{R}$ будет следовать теорема. Для того чтобы доказать это утверждение отиосительно $\tilde{F}$, рассмотрим росток
\[
\tilde{H}:\left(\mathbb{R}^{n} \times \mathrm{R},\left(0, t_{0}\right)\right) \rightarrow \mathbf{R}^{n} .
\]

Обозначим росток $\tilde{H}(x, t)$ через $\tilde{H}_{i}(x)$. Мы будем искать росток $h_{i}(x)$, обладающий такими свойствами:
(i) $\tilde{H}_{t}=i d \in \mathscr{B}(n)$,
(ii) $\tilde{H}_{t}(0)=0 \in \mathrm{R}^{n}$,
(iii) $\tilde{F}_{t} \circ \tilde{H}_{t}=\tilde{F}_{t}$, T. e. $F(H(x, t), t)=F\left(x, t_{0}\right)$.
Для $t_{2}$ близких к $t_{0}$ росток $\tilde{H}_{t}$ автоматически обратим, поскольку росток $\tilde{H}_{t}$ обратим и $\operatorname{det}\left(D H_{t}(0)\right)$ иедрерынио зависнт от $t$. Условие (iii) автоматически выволияется при $t=t_{0}$, и, следовательно, достаточно заменить условие (ii) дифференциальным уравнением, которое вкражает тот факт, что $F_{t} \circ H_{t}$ не зависит oт $t_{x}$ T. e.
(iii) $\sum_{i} \frac{\partial F}{\partial x_{i}}(H(x, t), t) \cdot \frac{\partial H_{i}}{\partial t}(x, t)+\frac{\partial F}{\partial t}(H(x, t), t)=0$.
Мы хотвм решить уравнения (i), (ii), (iii) относнтельно $\boldsymbol{H}$. Для этого сделаеи такое утверждевне.
11.5. Ecлu cyцестоует роcтoк $\tilde{\xi}:\left(\mathbb{R}^{n} \times R,\left(0, t_{0}\right)\right) \rightarrow R^{n}$, об ладаномйі сөойствами
(a) $\sum_{i} \frac{\partial F}{\partial x_{i}}(x, n) \cdot \xi_{i}(x, n)+\frac{\partial F}{\partial t}(x, n)=0$,

то существует росток $\tilde{H}$, удовлетворяючиди условиям (i), (ii) $u$ (iii’).

Для того чтобы доказать это утверждение, вужно решить дифференциальное уравнение относительно $H$ :
\[
\frac{\partial H}{\partial t}(x, t)=\xi(H(x, t), t)
\]

с начальных условием $H_{t_{4}}=$ id. Существование решения этого уравнения следует из теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Подставляя $H$ вместо $\boldsymbol{x}$ в (a), мы получаем (iіi’), а используя (b), мы видим, что уравнение
\[
\frac{\partial H}{\partial t}(0, t)=\xi(H(0, t), t)
\]

имеет единственное решение $H(0, t)=0$. Отсюда следует (ii), а (i) есть не что иное, как приведенное выше начальное условие.

Итак, остается только найти ростки $\tilde{\xi}_{l}$, удовлетворяющие условиям (a) и (b).

Мы будем сейчас работать с кольцом ростков $\left(\mathbf{R}^{n} \times \mathbf{R},\left(0, t_{0}\right)\right) \rightarrow \mathrm{R}$, которое обозначим через $\mathscr{E}(n+1)$. Пусть $\mathscr{E}(n)$ — подкольцо в $\mathscr{E}(n+1)$, состоящее из ростков, не зависящих от $t$, и $\mathfrak{m}(n)$ — максимальный идеал в $\mathscr{E}(n)$. Мы будем искать элементы $\tilde{\xi}_{i}$ в $\mathscr{E}(n+1)$. Условие (b) означает, что
(b) $\tilde{\xi}_{i} \in \mathfrak{m}(n) \cdot \mathscr{E}(n+1)$ для каждого $i$.

Согласно 4.2, отсюда вытекает, что для каждого $i$ существует-росток $\tilde{\gamma}_{i} \in \mathscr{E}(n+1), j=1, \ldots, n$, такой, что
\[
\xi_{i}(x, t)=\sum_{i} x_{i} \gamma_{i}(x, t)
\]

Следовательно, существование ростков $\tilde{\xi}_{i}$, удовлетворяющих условиям (a) и (b), эквивалентно следующему утверждению о ростках в $\mathscr{E}(n+1)$ :
\[
\frac{\partial F}{\partial t} \in \mathfrak{m}(n) \cdot\left\langle\frac{\partial F}{\partial x_{1}}, \ldots, \frac{\partial F}{\partial x_{n}}\right\rangle_{y(n+1)} .
\]

Одиако $\frac{\partial F}{\partial t}=\frac{\partial}{\partial t}((1-t) f+t g)=g-f \in \mathfrak{m}(n)^{k+1}$, так как, по предполокению, $f$ и $g$ имеют одну и ту же $k$-струю. Таким образом, достаточно показать, что

Из условий теоремы получаем
(*)
\[
\begin{array}{r}
\mathfrak{m}(n)^{k} \cdot \mathscr{E}(n+1) \subset \mathfrak{m}(n) \cdot\left\langle\frac{\partial f}{\partial x_{i}}\right\rangle_{\mathscr{y}(n+1)}+ \\
\quad+\mathfrak{m}(n)^{k+1} \cdot \mathscr{E}(n+1) \subset \\
\subset \mathfrak{m}(n)\left\langle\frac{\partial F}{\partial x_{i}}\right\rangle_{\mathscr{y}(n+1)}+\mathfrak{m}(n+1) \cdot \mathfrak{m}(n)^{k} \mathscr{E}(n+1) .
\end{array}
\]

Второе включение вытекает из того, что
\[
\begin{aligned}
\frac{\partial F}{\partial x_{l}}-\frac{\partial f}{\partial x_{l}} & =t \cdot \frac{\partial}{\partial x_{l}}(g-f) \in \mathfrak{m}(n)^{k} \\
\text { и } \mathfrak{m}(n) & \subset \mathfrak{m}(n+1) .
\end{aligned}
\]

Заметим теперь, что $\mathscr{E}(n+1)$-модуль $\mathfrak{m}(n)^{k} \cdot \mathscr{E}(n+1)$ конечно порожден, а именно порожден мономами от $x_{i}$ степени $k$. Применим следующую форму леммы Накаямы:
\[
A \subset B+\mathfrak{m} \cdot A \Rightarrow A \subset B
\]

к включению (*). Мы получим (a, b):
\[
\mathfrak{m}(n)^{k+1} \subset \mathfrak{m}(n)^{k} \cdot \mathscr{E}(n+1) \subset \mathfrak{m}(n)\left\langle\frac{\partial F}{\partial x_{l}}\right\rangle_{y(n+1)}
\]
11.6. Правые преобразования ( $r$-преобразования) и $r$-эквивалентность можно определить и для струй, т. е. для формальыых степенных рядов, а также для формальных степенных рядов по модулю $\hat{\mathfrak{m}}(n)^{k}$ (т. е. элементов из $\left.\mathrm{R}\left[x_{1}, \ldots, x_{n}\right] /\left\langle x_{1}, \ldots, x_{n}\right)^{k}\right)$.
Положим
$\hat{\mathscr{B}}_{k}(n)=$ группа $k$-струй ростков из $\mathscr{B}(n)=$
$=$ группа ростков $n$-строк миогочленов степени $k$ :
\[
f(x)=\left(f_{1}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right), \ldots, f_{n}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)\right),
\]

причем матрица $D f(0)=\left(\partial f_{l} / \partial x_{l}(0)\right)$ обратима и $f(0)=0$. Групповая операция индуцирована композицией отооражений.
Положим
\[
\hat{\mathscr{E}}_{k}(n, n)=\left(\mathrm{R}\left[x_{1}, \ldots, x_{n}\right] /\left\langle x_{1}, \ldots, x_{n}\right)^{k+1}\right)^{n} .
\]

Это евклидово пространство размерности $n \cdot\left(\begin{array}{c}n+k \\ k\end{array}\right)$. Поскольку $\hat{\mathscr{f}}_{k}(n)$ представляет собой подмножество в $\widehat{E}_{k}(n, n)$, определенное условиями $\operatorname{det}\left(\partial f_{l} / \partial x_{j}(0)\right)
eq 0$ и $f(0)=0$, то $\hat{\mathscr{B}}_{k}(n)$ — дифференцируемое многообразие.
Групповая операция в $\hat{\mathscr{B}}_{k}(n)$ :
\[
\begin{aligned}
\hat{\mathscr{B}}_{k}(n) \times \hat{\mathscr{B}}_{k}(n) & \rightarrow \hat{\mathscr{B}}_{k}(n), \\
\quad(f(x), g(x)) & \mapsto f(g(x)) \bmod \left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)^{k+1}
\end{aligned}
\]

является дифференцируемым отображением. Коэффициенты композиции $f \circ g$ получаются при подстановке коэффициентов $f$ и \& в некоторые канонические многочлены. Отображение
\[
\hat{\mathscr{R}_{k}}(n) \rightarrow \hat{\mathscr{B}}_{k}(n),
\]

определяемое формулой
\[
f(x) \mapsto f^{-1}(x) \bmod \left\langle x_{1}, \ldots, x_{n}\right\rangle^{k+1},
\]

также дифференцируемо.
Дифференцируемое многообразие, на котором введена структура группы так, что групповые операции дифференцируемы, называется ерупnoй $J u$.
11.7. Упражнвние. Докажите, что $\operatorname{dim} \hat{\mathscr{E}}_{k}(n, m)=$ $=m \cdot \sum_{i=0}^{k}\left(\begin{array}{c}n+i-k \\ i\end{array}\right)-m\left(\begin{array}{c}n+k \\ k\end{array}\right)$.

Группа Ли $\hat{\mathscr{B}}_{k}(n)$ денствует на $\hat{\mathscr{E}}_{k}(n, m)$ с помощъю композиции $\hat{\mathscr{E}}_{k}(n, m) \times \widehat{\mathscr{D}}_{k}(n) \rightarrow \hat{\mathscr{E}}_{k}(n, m):(f, g) \rightarrow f \circ g$.

Это действие совместимо с композицией действия $\mathscr{A}(n)$ на $\mathscr{E}(n, m)$ и взятия струи, т. е. следующая диаграмма коммутативна:
\[
\begin{array}{c}
\mathscr{E}(n, m) \times \mathscr{B}(n) \rightarrow \mathscr{E}(n, m) \\
r^{k} \times\left.\right|^{k} \downarrow \\
\dot{E}_{k}(n, m) \times \bar{B}_{k}(n) \rightarrow \dot{\mathscr{E}}_{k}(n, m)
\end{array}
\]

Классы правоэквнвалентиых отображений в $\mathscr{E}(n, m)$ — это орбиты действия $\mathscr{f}(n)$, а классы эквивалентности их $k$-струй — орбиты действия $\widehat{\mathscr{f}}_{k}(n)$ на $\hat{\mathscr{E}}_{k}(n, m)$. Следовательно, если ростки $f, g \in \mathscr{E}(n)$ правоэквивалентны, то $f$ и $\hat{g}$ лежат в одной и той же орбите действия $\hat{\mathscr{S}}_{k}(n)$ на $\hat{\mathscr{E}}_{k}(n)$. Рассматривая эти конечномерные орбиты в хонечномерном евклидовом пространстве, мы получаем необходимое условие $r$-эквивалентности:
11.8. Лемма. Пусть $f \in \mathscr{O}(n)$ — росток с $k$-струей $f \in \hat{\mathscr{B}}_{k}(n)$. Обозначим через $\left\{\hat{\mathscr{B}}_{k}(n)\right.$ орбиту $\{$ nри дейкасательное пространство к этой орбите в точке $\mathfrak{f}$, рассматриваемое как подпространство евклидова пространства $\hat{\mathscr{E}}_{k}(n)$. Тогда
\[
T_{1}\left\{\hat{A}_{k}(n)=\mathfrak{m}(n)\left\langle\frac{\partial f}{\partial x_{1}}, \ldots, \frac{\partial f}{\partial x_{n}}\right\rangle \bmod \mathfrak{m}(n)^{k+1} .\right.
\]

Доказательство. Рассмотрим росток $\bar{\delta}:\left(\mathbb{R}^{n+1}, 0\right) \rightarrow$ $\rightarrow\left(\mathbb{R}^{n}, 0\right),(x, t) \mapsto \delta(x, t)=\delta_{t}(x)$, где $\tilde{\delta}_{0}=$ id: $\left(\mathbb{R}^{n}, 0\right) \rightarrow$ $\rightarrow\left(\mathbf{R}^{n}, 0\right)$.

Это росток диф ференцируемого однопараметрического семейства преобразований из $\mathscr{O}(n)$, имеющего тождественный росток при нулевом значении параметра. Такой росток индуцирует росток пути $(\mathbf{R}, 0) \rightarrow$ $\rightarrow\left(\hat{\mathcal{\delta}}_{k}(n), \hat{f}\right), t \mapsto \hat{\delta} \hat{\delta}_{t}$. \&Векторы скорости таких путей в. момент времени 0 образуют касательное пространство $T_{f}\left\{\hat{P}_{k}(n)\right.$. Если мы запишем $\delta(t, x)$ в виде $x+\varepsilon(t, x)$, то на росток $\tilde{\varepsilon} \in \mathscr{E}(n+1, n)$ налагаются только ограничения в $(0, x)=0$, в $(t, 0)=0$. Таким образом, следующие векторы, приведенные по модулю $\mathfrak{m}(n)^{k+1}$, исчерпывают все касательные векторы:
\[
\left.\frac{\partial}{\partial t}(f(x+\varepsilon(t, x)))\right|_{t=0}=\left.\sum_{i=1}^{n} \frac{\partial f}{\partial x_{i}} \cdot \frac{\partial e_{i}}{\partial t}\right|_{t=0} .
\]

Поскольку на е нет других ограничений, кроме указанных выше, производная $\partial e_{i} / \partial t_{t-0}$ может быть любым элементом из $m(n)$. Это означает, что касательное пространство есть $\mathfrak{m}(n)\left\langle\partial f / \partial x_{l}\right\rangle \bmod \mathfrak{m}(n)^{k+1}$

Мы уже отметили выше, что достаточность ростка на самом деле есть свойство его струи, и теперь поясним это более подробно. По аналогии с 11.3 $r$-струя $f \in \hat{\mathscr{E}}_{r}(n)$ называется $k$-определеніой (для некоторого $k \leqslant r$ ), если для любого $\hat{g} \in \hat{\mathscr{E}}_{r}(n)$, удовлетворяющего условию $\pi_{k}^{r} \hat{f}=\pi_{k}^{r} \hat{g} \in \hat{\mathscr{E}}_{k}(n)$, существует элемент $\hat{h} \in \hat{\mathscr{B}}_{r}(n)$, такой, что $\hat{f}=\hat{g} \circ \hat{h}$.
11.9. Следствив (теоремы Мезера 11.3). Если $f \in \mathscr{E}(n)$ и струя $j^{k+1}(f) k$-определена, то росток $f$-определен.
Доказательство. Положим
\[
U=\left\{\hat{g} \in \hat{\mathscr{E}}_{k+1}(n) \mid \pi_{k}^{k+1} \hat{g}=j^{k} \hat{f}\right\} .
\]

Обозначим через $V=j^{k+1}(f) \hat{\mathscr{B}}_{k+1}(n)$ орбиту струи $j^{k+1}(f)$ под действием правых преобразований.

Если струя $j^{k+1}(f) \quad k$-определена, то множество $(k+1)$-струй с той же $k$-струей, что и у $f$, содержится в орбите струи $j^{k+1}(f)$, т. е. $U \subset V$. Следовательно, $T_{f} U \subset T_{f} V$. Однако $T_{f} U=\mathrm{m}^{k+1}(n) \bmod m^{k+2}(n)$, поскольку зсякая струя $g \in U$ отличается от $j^{k+1}(f)$ только в членах порядка $k+1$. По лемме 11.8, $\mathfrak{m}(n)^{k+1} \subset \mathfrak{m}(n)\left\langle\partial f / \partial x_{i}\right\rangle \bmod \mathfrak{m}(n)^{k+2}$, значит, nо теореме Мезера, росток $f(k+1)$-определен. Но струя $j^{k+1}(f)$ $k$-определена, поэтому росток $f$ также $k$-определен.

Это доказательство можно обобщить и получить такой результат.
11.10. Следствие.
\[
\begin{aligned}
\mathrm{m}(n)^{k} \subset \mathfrak{m}(n)\left\langle\partial f / \partial x_{t}\right\rangle & \Rightarrow \text { росток } f \text {-определен } \Rightarrow \\
& \Rightarrow \mathrm{m}(n)^{k+1} \subset \mathfrak{m}(n)\left\langle\partial f / \partial x_{l}\right\rangle \cdot
\end{aligned}
\]

В частности, росток $\tilde{f} \in \mathscr{E}(n)$ является конечно определенным в том-и только в том случае, когда росток. $D f:\left(\mathbf{R}^{n}, 0\right) \rightarrow \mathbf{R}^{n}$ конечен.

Доказательство. Первая импликация следует из теоремы Мезера. Если росток $\vec{f} k$-определен, то струя $j^{k+i}(f) k$-определена и из доказательства первого следствия получаем, что
\[
\mathrm{m}(n)^{k+1} \subset \mathfrak{m}(n)\left\langle\frac{\partial f}{\partial x_{i}}\right\rangle+\mathfrak{m}(n)^{k+2} .
\]

Отсюда, по лемме Накаямы, $\mathfrak{m}(n)^{k+1} \subset \mathfrak{m}(n)\left\langle\partial f / \partial x_{l}\right\rangle$ (см. второе замечанне после 11.3).

Наконец, в 11.4 и предшествовавших замечаниях мы видели, что условие $\mathrm{m}(n)^{k} \subset \mathfrak{m}(n)\left\langle\partial f / \partial x_{i}\right\rangle$ эквивалентно конечности ростка $D f$.

Утверждение о том, что конечная определенность ростка $f$ равносильна конечности $D f$, — это теорема, принадлежащая $T$ ужроку. Из предыдущего вытекает, что верно более точное утверждение:

Eсли $\operatorname{dim} \mathscr{E}(n) /\left\langle\partial / \partial x_{i}\right\rangle=k$, ro pocтoк $f(k+1)$-onределен.
11.11. Определение. Росток $\tilde{f} \in \mathscr{E}(n)$, удовлетворяющий условию $\tilde{f}(0)=D \tilde{f}(0)=0$, называется особым ростком, или просто особенностью. Особенность называется изолированиой, если росток множества $\Sigma(\tilde{f})=$ $=\left\{x \in \mathbf{R}^{n} \mid f(x)=D f(x)=0\right\}$ совпадает с ростком множества $\{0\}^{\sim}$. Oсобенность $f$ называется алеебранчески изомированной, если росток $D f$ конечен (т. е. росток $f$ конечно определен).
11.12. Злмечанив. Алеебрацчески изолированная особекность изолирована, но существуют ияолировакмье особенности, не являючиепя алгебраически иэолированными.

Докаяательство. Если $\mathrm{m}(n)^{k} \subset\left\langle\partial f / \partial x_{i}\right\rangle_{g(n)}$ и, в част* ности, $x_{j}^{k} \in\left\langle\partial f / \partial x_{i}\right\rangle_{\varnothing(n)}$ для всех $j$, то из равенства $D f(x)=0$ следует, что $x_{j}^{k}=0$, откуда $x_{l}=0$. Следовательно, алгебраически изолированная особенность изолирована.

С другой стороны, $\exp \left(-1 / x^{2}\right)$ — это пример изолированной особенности с нулевой струей. Следовательно, эта особенность алгебраически не изолирована.
Вот еще один интересный пример.
11.13. УпражнєниЕ. Покажите, что особенность $\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2} \in \mathscr{E}(2)$ изолирована, но алгебраичесхи не изолирована.
11.14. Замечание. Росток $\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}$ не является конечно определенным, но он определен своей бесконечной струей. Это верно для всякого вещественно аналитического ростка с изолированной в вещественном смысле особеннос тью. Такие ростки, кроме того, конечно определены относительно группы преобразо. ваний класса $C^{k}$ для любого фиксированного $k<\infty$. Это утверждение вытекает из неравенства Лоясевича (см. Мальгранж, Идеалы дифференцируемых функцнй, стр. 73) и работы: Takens F., A note on suffciency of Jets, Invent. Math., 13 (1971), 225-231.

Как это часто бывает, в комплексном случае вся ситуация становится более приемлемой. Введем обозначения:
$\mathscr{A}(n)$ — кольцо вещественно аналитических рост. ков $\left(R^{n}, 0\right) \rightarrow R$;
$O(n)$ — кольцо комплексно аналитических ростков $\left(\mathrm{C}^{n}, 0\right) \rightarrow \mathbf{C}$.
Имеются канонические вложения $\mathscr{A}(n) \subset \mathscr{E}(n)$ и of $(n) \subset O(n)$.
11.15. Лемма. Пусть, $f \in \mathscr{A}(n)$. Тогда
\[
\operatorname{dim}_{R} \mathscr{E}(n) /\left\langle\partial f / \partial x_{i}\right\rangle_{\delta(n)}<\infty
\]

в том и только том случае, когда
\[
\operatorname{dim} O(n) /\left\langle\partial f / \partial z_{i}\right\rangle_{O(n)}<\infty .
\]

Доказательство. Обозначим максимальные идеалы в $\mathscr{A}(n)$ и $O(n)$ через $\mathfrak{m}_{\mathcal{A}}(n)$ и $\mathfrak{m}_{\mathcal{O}}(n)$.
$\Rightarrow$. Из $\mathfrak{m}(n)^{k} \subset\left\langle\frac{\partial f}{\partial x_{1}}\right\rangle_{8(n)}$ следует включение $\mathfrak{m}(n)^{k} \subset$ $c\left\langle\frac{\partial f}{\partial x_{i}}\right\rangle_{\mathrm{g}(n)}+\mathfrak{m}(n)^{k+1}$. Кроме того,
\[
m_{A}(n)^{k} \subset\left\langle\frac{\partial f}{\partial x_{i}}\right\rangle_{A(n)}+m_{\mathcal{A}}(n)^{k+1} .
\]

Действительно, моном $\varphi \in \mathfrak{m}_{\mathcal{A}}(n)^{k}$ степени $k$ может быть записан в виде
\[
\varphi(x)=\sum \lambda_{t}(x) \frac{\partial f}{\partial x_{i}}(x) \bmod \mathfrak{m}(n)^{k+1} .
\]

Заиеннм каждое $\lambda_{\text {, его }}^{\text {е }}$ многочленом Тейлора порядка $k$. Остаток лежит в $\mathfrak{m}(n)^{k+1}$ и аналитичен, следовательно, выролняется (*).
По лемме Накаямы,
\[
m_{M}(n)^{k} \subset\left\langle\frac{\partial f}{\partial x_{i}}\right\rangle_{A(n)} .
\]

В частности, всякий моном $\varphi$ степени $k$ принадлежит идемлу $\left\langle\partial \mid \partial x_{i}\right\rangle_{\alpha(n)}$, а этот идеал содержится в $\left\langle\partial f / \partial x_{i}\right\rangle_{o}(n)$ Но такие мономы порождают $m_{O}(n)^{k}$, мначнт,
\[
\mathfrak{m}_{0}(n)^{n} \subset\left\langle\frac{\partial f}{\partial z_{t}}\right\rangle_{O(n)} .
\]
«. Пронэводные $\partial f / \partial z_{i}(z)$ принимакот- вещественные зиачевия ири вещественных $z$. Это означает, что, взяв вещественные части в $m_{0}(n)^{k} \subset\left\langle\partial f / \partial z_{1}\right\rangle_{O(n)}$, мы
\[
m_{A}(n)^{k} \in\left\langle\frac{\partial t}{\partial k_{1}}\right\rangle_{z(n)}
\]

Эта лемма показывает, что если росток $f$ вещественно аналитичен и комплексный росток $f \in Q(n)$ алгебраически изолирован, то $\tilde{f}$ алгебраически изолирован как вещественный росток.
11.16. Теорема. Комплексно аналитическая особенность алгебраически изолирована в том и только том случае, когда она изолирована.

Доказательство. Пусть росток $\tilde{f} \in \mathcal{O}(n)$ алгебраически изолирован; тогда $\mathfrak{m}_{O}(n)^{k} \subset\left\langle\partial f / \partial z_{i}\right\rangle$. В частности, $z_{i}^{k} \in\left\langle\partial f \mid \partial z_{i}\right\rangle$, поэтому
\[
\Sigma(\tilde{f}) \subset\{z \mid D f(z)=0\}^{\sim} \subset\left\{z z_{l}^{k}=0\right\}^{\sim}=\{0\}^{\sim} .
\]

Обратно, предположим, что $\{0\}^{2}=(\Sigma(f))^{2}$. Тогда $\{0\}^{\sim}=\{z \mid D f(z)=0\}^{2}$, поскольку в противном случае нашлась бы содержащаяся в $\{z \mid D f(z)=0\}$ вещественно аналитическая кривая $\varphi(t)$, такая, что $\varphi(0)=0$ (см. лемму об отборе кривых в книге Милнора). Вдоль этой кривой мы имели бы $D f=0$ и, следовательно, $f=0$, поскольку $f(0)=0$. Но это означало бы, что кривая $\varphi(t)$ лежит в $\Sigma(f)$, т. е. начало координат неизолированная особенность.

Росток множества нулей идеала $\left\langle\partial f / \partial z_{i}\right\rangle$ состоит только из начала координат. Идеал всех ростков, обращающихся в нуль в начале координат, — зто идеал $\left\langle z_{i}\right\rangle$. Теорема о нулях для голоморфных ростков (см. Ганнинг и Росси) утверждает, что в таком случае второй идеал является радикалом первого. Радикал это множество таких ростков $\tilde{g}$, некоторая степень которых лежит в $\left\langle\partial f / \partial z_{i}\right\rangle$. Следовательно, $\left(z_{l}\right)^{k_{j}} \in$ $\in\left\langle\partial f / \partial z_{l}\right\rangle$, и отсюда вытекает, что $\mathfrak{m}_{o}(n)^{k} \subset\left\langle\partial f / \partial z_{i}\right\rangle$ для достаточно большого $k$.

Вот одно из следствий предыдущих теорем: голоморфный росток с изолированной особенностью в начале координат всегда можно преобразовать в полиномиальньй росток с помощью голоморфной замены координат. Это вытекает из того, что для аналитических ростков все описанные выше преобразования могут быть выбраны аналитическими.

Вопрос о том, является ли росток $f \in \mathscr{E}(n, m)$ конечно определенным при $m>1$, можно решать точно таким же образом, как и при $m=1$. Однако при $m>1$ росток конечно определен в том и только том случае, когда он имеет ранг $m$. Поэтому в общем случае мы поступим более разумно, если разрешим делать преобразования образа, т. е. $\mathbf{R}^{m}$, и будем изучать орбиты действия группы $\mathscr{B}(n) \dot{X} \mathscr{B}(m)$ на $\mathscr{E}(n, m)$. В этом случае тоже имеются явные условия конечной определенности, которые формулируются в терминах вложения конечномерных векторных пространств. Эти условия анологичны тем, которые приводились выше, и мы не будем их больше обсуждать в этой книге. Метод доказательства тот же, что представленный выше для теоремы Мезера. Однако в том месте, где мы воспользовались леммой Накаямы, приходится применять подготовительную теорему Мальгранжа