Литература: Дж. Мезер, Конечно определенные ростки отображенни, сб. Математика, 14:1 (1970), 145-175. J. C. Tougeron, Idéaux de tonctions différentiables I, Ann. Inst. Pourier, 18 (1968), $177-240$.
P. Ганнинг, X. Росси, Аналитические функции многих комплехсных переменных, «Мир», М., 1969.
Дж. Милнор, Особые точки хомплексных гаперповерхностей, сМирл, М., 1971.

Пусть, как и выше, $\mathcal{E}(n,m)$ — векторное пространство ростков $({\mathbf{R}}^n,0)\to {\mathbf{R}}^m$. Обозначим через $\mathcal{R}(n)\subset$ $\subset \mathcal{E}(n,n)$ подмножество обратимых относительно композиции ростков, удовлетворяющих условию $f(0)=0$. Тогда пара $(\theta (n),\circ )$ есть группа и росток $\tilde{f}\in \mathcal{E}(n,n)$, удовлетворяющий условию $f(0)=0$, принадлежит $\mathcal{B}(n)$ в том и только том случае, когда матрица $Df(0)$ невыро\»зденна. Группа $\mathcal{D}(n)$ действует на $\mathcal{E}(n,m)$ с помощью композиции: если $\tilde{\mathcal{E}}\in (n,m)$ и $\tilde{h}\in \mathcal{F}(n)$, то $\tilde{f}\circ \tilde{h}\in \mathcal{E}(n,m)$.
11.1. Определение. Ростки $f_0,f_1\in \mathcal{E}(n,m)$ иазываются правоэквивалентными (или $r$-экөиваленткыми), если существует такой росток $\tilde{h}\in \mathcal{B}(n)$, что $f_0\circ {\tilde{h}}^2={\tilde{F}}_1$,

Пусть $j^k:\mathcal{E}(n)\to \mathcal{E}(n)/m(n{)}^{k+1}=\mathbf{R}[x_1,\dots ,x_{n}V/⟨x_1,\dots$ ${\dots ,x_n)}^{k+1}$ — отображение, сопоставляющее каждому ростку его струю. Для удобства обозначим $\mathcal{E}(n)/m(n{)}^{n+1}$ через ${\hat{\mathcal{E}}}_k(n)$. Каждому ростку $f$ отображение $f^{\mathit{k}}$ сопоставляет соответствующую $k$-струю, т. е. многочлен Теилора $f$ порядка $k$ в начале координат.

11.2. Определение. Росток $\tilde{f}\in \mathcal{E}(n)$ называется $k$-определенным (достаточным), если каждый росток $\tilde{g}\in \mathcal{E}(n)$, имеющий такую же $k$-струю, что и $\tilde{f}$, правоэквивалентен $\tilde{f}$.

Иными словами: если $j^k\tilde{f}=l^k\tilde{g}$, то существует росток $\tilde{h}\in \mathcal{g}(n)$, такой, что $\tilde{f}=\tilde{g}\circ \tilde{h}$.

Можно дать соответствующее определение и для ростков из $\mathcal{E}(n,m)$, но это не приведет ни к каким дополнительным разумным результатам. Это выяснится ниже, после того как мы познакомимся с простейшими видами $k$-определенности.
$k$-определенность ростка $\tilde{f}$ — это скорее свойст о многочлена $j^{k}f$, чем самого ростка $\tilde{f}$. Қаждый росток, $k$-струя которого есть $k$-определенный многочлен, превращается $\mathbf{R}$ этот многочлен в подходящей системе координат. Таким образом, в этой ситуации $k$-струя определяет соответствующий росток.

В этой главе изучается следующий вопрос: какие струи из ${\hat{\mathcal{E}}}_k(n)$ определяют соответствующие им ростки?
Рассмотрим несколько примеров.
1. Никакая 0-струя не определяет росток.
2. ${\hat{\mathcal{E}}}_1(n)=\mathbb{R}\times {\mathbb{R}}^n$, поскольку $j\tilde{f}=f_0+\sum _i{f}_i{x}_i$, и росток $f$ 1-определен в том и только том случае, когда хстя бы одна из первых производных $\tilde{f}$ в начале коочдинат отлична от 0 (или, эквивалентно, $Df(0)eq0$ ). Это объясняется тем, что тогда $f$ можно привести к виду $(x_1,\dots ,x_n)\to f_0+x_1$.
3. Лемма Морса утверждает, что если $f\in \mathcal{E}(n)$ и $Df(0)=0$, то росток $f2$-определен в том и только том случае, когда
$$\det ({\partial }^2//\partial x_i\partial x_l(0))eq0.$$

Эти примеры показывают, что недостаточные струи встречаются тем реже, чем выше степень многочлена. Недостаточные 1-струи образуют прямую $\mathbf{R}\times \{0\}$ — ${\mathbb{R}}^{n+1}$. Oпределена проекция пространства 2-струй в пространство 1-струй, и слой над каждой 1-струей — это пространство симметрических матриц, т. е. пространство всевозможных коэффициентов мономов степени 2. Над каждой точкой линии недостаточных 1-струй недостаточные 2-струи также образуют множество меры нуль, заданное условием $\{$ det $\left(a_{ij}\right)=0$ \} в пространстве симметрических матриц $\left\{\left(a_{ij}\right)\right\}$.

Цель этой главы — доказать приведенный ниже результат. Это один из многих результатов, полученных Мезером в этой области, причем большинство из них значительно сильнее.
11.3. Teopema. Пусть $\tilde{f}\in \mathcal{E}(n),u$ nусть
$$\mathfrak{m}(n{)}^k\subset \mathfrak{m}(n)\cdot {⟨\frac{\partial f}{\partial x_1},\dots ,\frac{\partial f}{\partial x_n}⟩}_{\delta (n)}+\mathfrak{m}(n{)}^{k+1};$$

тогда росток $\tilde{f}k$-определен.
Начнем с нескольких замечаний.
Условие теоремы можно переписать в виде
$$\mathfrak{m}(n{)}^k\subset \mathfrak{m}(n)\cdot ⟨\partial f/\partial x_i⟩mod\mathfrak{m}(n{)}^{k+1}$$
$(⟨\partial f/\partial x_l⟩$ — сокращение для ${⟨\partial f/\partial x_1,\dots ,\partial f/\partial x_n⟩}_{\ell (n)})$, и это условие есть условие на $k$-струю ростка $f$, как и должно быть.
Из условия
$$\mathfrak{m}(n{)}^k\subset \mathfrak{m}(n)⟨\partial f/\partial x_l⟩+\mathfrak{m}(n)\cdot \mathfrak{m}(n{)}^k$$

по лемме Накаямы вытекает, что
$$\mathfrak{m}(n{)}^k\subset \mathfrak{m}(n){⟨\partial f/\partial x_i⟩}_{\zeta (n)}.$$

Следовательно, это условие эквивалентно предположениям теоремы. Однако формулировка теоремы имеет то преимущество, что в ней участвуют только конечномерные векторные пространства. Это вытекает из первого замечания. Для каждого явно заданного ростка эти конечномерные пространства могут быть явно вычислены.

Последняя формулировка условия теоремы показывает, что пространство
$$\mathcal{E}(n)/(\mathbb{m}(n)\cdot ⟨\partial f/\partial x_i⟩)$$

конечномерно и порождено мономами степени $⩽k$. Обратно, предположим, что пространство $\mathcal{E}(n)/\mathrm{m}(n)$. — $⟨\partial f/\partial x_l⟩)$ имеет размерность k. Положим $A=$ $=\mathcal{E}(n)/m(n)⟨\partial f/\partial x_l⟩$. По лемме Накаямы
$$0=\mathfrak{m}(n{)}^{t}A\subset \mathfrak{m}(n{)}^{t-1}A\subset \dots \subset \mathfrak{m}(n)A\subset A,$$

где $l⩽k$, поекольку $\dim A=k$. Следовательно,
$$\mathfrak{m}(n{)}^k\subset \mathfrak{m}(n{)}^l\subset \mathfrak{m}(n)⟨\partial f/\partial x_l⟩.$$

Далее, $\mathcal{E}(n)$ изоморфно $\mathrm{m}(n)\oplus \mathrm{R}$ ( $f$ переходит при этом изоморфизме в $(f-f(0))\oplus f(0)$ ). Следовательно,
$$m(n)⟨\partial f/\partial x_i⟩+{⟨\partial f/\partial x_i⟩}_R={⟨\partial f/\partial x_i⟩}_{\mathcal{g}(n)}$$

и конечномерность пространства $\mathcal{E}(n)/\mathit{m}(n)$.
— $⟨\partial f/\partial x_1⟩$ эквивалентна конечномерности пространства $\mathcal{E}(n)/{⟨\partial f/\partial x_i⟩}_{\text{в }(n)}$. Следсвательно,
11.4. Есаи росток DF: $({\mathbf{R}}^n,0)\to {\mathbf{R}}^n$ конечен (определение 6.8 ), то росток $\tilde{f}$ конечно определен ( $k$-oпределен для некоторого $k$ ).

Повторяя приведенные выше рассуждения, использующие лемму Накаямы, но положив на этот раз $A=\mathcal{E}(n)/⟨\partial f/\partial x_l⟩$, находим, что если $\dim (\mathcal{E}(n)/(Df{)}^{\ast }$. — $m(n)\mathcal{E}(n))=k$, то рогток $f(k+1)$-определен.
Теперь приведем доказательство теоремы.
Пусть $\tilde{f},\tilde{g}\in \mathcal{E}(n)$ — два ростка с одной и той же $k$-струей. Мы должны показать, что существует росток $\tilde{h}\in \mathcal{B}(n)$, для которого $\tilde{f}\circ \tilde{h}=\tilde{g}$. Для этого мы вклюінм ростки $\tilde{f}$ и $\tilde{\mathbf{g}}$ в однопараметрическое семейство ростков $\tilde{F}$ :
$$F(x,t)=(1-t)f(x)+\mathrm{tg}(x),t\in \mathbf{R},x\in {\mathbf{R}}^n.$$

Определим росток ${\tilde{F}}_t\in \mathcal{E}(n)$ формулой $F_t(x)=$ $=F(x,t)$. Мы хотим доказать, что дли каждого $t_0\in \mathbf{R}$ найдется некоторое е $>0$, такое, что любой росток ${\tilde{F}}_t$ с $|t-t_0|<$ e $r$-эквнвалентен ${\tilde{F}}_{t_0}$. Отсіода ввнду связности $\mathbb{R}$ будет следовать теорема. Для того чтобы доказать это утверждение отиосительно $\tilde{F}$, рассмотрим росток
$$\tilde{H}:({\mathbb{R}}^n\times \mathrm{R},(0,t_0))\to {\mathbf{R}}^n.$$

Обозначим росток $\tilde{H}(x,t)$ через ${\tilde{H}}_i(x)$. Мы будем искать росток $h_i(x)$, обладающий такими свойствами:
(i) ${\tilde{H}}_t=id\in \mathcal{B}(n)$,
(ii) ${\tilde{H}}_t(0)=0\in {\mathrm{R}}^n$,
(iii) ${\tilde{F}}_t\circ {\tilde{H}}_t={\tilde{F}}_t$, T. e. $F(H(x,t),t)=F(x,t_0)$.
Для $t_2$ близких к $t_0$ росток ${\tilde{H}}_t$ автоматически обратим, поскольку росток ${\tilde{H}}_t$ обратим и $\det (D{H}_t(0))$ иедрерынио зависнт от $t$. Условие (iii) автоматически выволияется при $t=t_0$, и, следовательно, достаточно заменить условие (ii) дифференциальным уравнением, которое вкражает тот факт, что $F_t\circ H_t$ не зависит oт $t_x$ T. e.
(iii) $\sum _i\frac{\partial F}{\partial x_i}(H(x,t),t)\cdot \frac{\partial H_i}{\partial t}(x,t)+\frac{\partial F}{\partial t}(H(x,t),t)=0$.
Мы хотвм решить уравнения (i), (ii), (iii) относнтельно $\mathit{H}$. Для этого сделаеи такое утверждевне.
11.5. Ecлu cyцестоует роcтoк $\tilde{\xi }:({\mathbb{R}}^n\times R,(0,t_0))\to R^n$, об ладаномйі сөойствами
(a) $\sum _i\frac{\partial F}{\partial x_i}(x,n)\cdot {\xi }_i(x,n)+\frac{\partial F}{\partial t}(x,n)=0$,

то существует росток $\tilde{H}$, удовлетворяючиди условиям (i), (ii) $u$ (iii’).

Для того чтобы доказать это утверждение, вужно решить дифференциальное уравнение относительно $H$ :
$$\frac{\partial H}{\partial t}(x,t)=\xi (H(x,t),t)$$

с начальных условием $H_{t_4}=$ id. Существование решения этого уравнения следует из теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Подставляя $H$ вместо $\mathit{x}$ в (a), мы получаем (iіi’), а используя (b), мы видим, что уравнение
$$\frac{\partial H}{\partial t}(0,t)=\xi (H(0,t),t)$$

имеет единственное решение $H(0,t)=0$. Отсюда следует (ii), а (i) есть не что иное, как приведенное выше начальное условие.

Итак, остается только найти ростки ${\tilde{\xi }}_l$, удовлетворяющие условиям (a) и (b).

Мы будем сейчас работать с кольцом ростков $({\mathbf{R}}^n\times \mathbf{R},(0,t_0))\to \mathrm{R}$, которое обозначим через $\mathcal{E}(n+1)$. Пусть $\mathcal{E}(n)$ — подкольцо в $\mathcal{E}(n+1)$, состоящее из ростков, не зависящих от $t$, и $\mathfrak{m}(n)$ — максимальный идеал в $\mathcal{E}(n)$. Мы будем искать элементы ${\tilde{\xi }}_i$ в $\mathcal{E}(n+1)$. Условие (b) означает, что
(b) ${\tilde{\xi }}_i\in \mathfrak{m}(n)\cdot \mathcal{E}(n+1)$ для каждого $i$.

Согласно 4.2, отсюда вытекает, что для каждого $i$ существует-росток ${\tilde{\gamma }}_i\in \mathcal{E}(n+1),j=1,\dots ,n$, такой, что
$${\xi }_i(x,t)=\sum _i{x}_i{\gamma }_i(x,t)$$

Следовательно, существование ростков ${\tilde{\xi }}_i$, удовлетворяющих условиям (a) и (b), эквивалентно следующему утверждению о ростках в $\mathcal{E}(n+1)$ :
$$\frac{\partial F}{\partial t}\in \mathfrak{m}(n)\cdot {⟨\frac{\partial F}{\partial x_1},\dots ,\frac{\partial F}{\partial x_n}⟩}_{y(n+1)}.$$

Одиако $\frac{\partial F}{\partial t}=\frac{\partial }{\partial t}((1-t)f+tg)=g-f\in \mathfrak{m}(n{)}^{k+1}$, так как, по предполокению, $f$ и $g$ имеют одну и ту же $k$-струю. Таким образом, достаточно показать, что

Из условий теоремы получаем
(*)
$$\begin{array}{r}\mathfrak{m}(n{)}^k\cdot \mathcal{E}(n+1)\subset \mathfrak{m}(n)\cdot {⟨\frac{\partial f}{\partial x_i}⟩}_{\mathcal{y}(n+1)}+\\ +\mathfrak{m}(n{)}^{k+1}\cdot \mathcal{E}(n+1)\subset \\ \subset \mathfrak{m}(n){⟨\frac{\partial F}{\partial x_i}⟩}_{\mathcal{y}(n+1)}+\mathfrak{m}(n+1)\cdot \mathfrak{m}(n{)}^k\mathcal{E}(n+1).\end{array}$$

Второе включение вытекает из того, что
$$\begin{array}{rl}\frac{\partial F}{\partial x_l}-\frac{\partial f}{\partial x_l}& =t\cdot \frac{\partial }{\partial x_l}(g-f)\in \mathfrak{m}(n{)}^k\\ \text{ и }\mathfrak{m}(n)& \subset \mathfrak{m}(n+1).\end{array}$$

Заметим теперь, что $\mathcal{E}(n+1)$-модуль $\mathfrak{m}(n{)}^k\cdot \mathcal{E}(n+1)$ конечно порожден, а именно порожден мономами от $x_i$ степени $k$. Применим следующую форму леммы Накаямы:
$$A\subset B+\mathfrak{m}\cdot A\Rightarrow A\subset B$$

к включению (*). Мы получим (a, b):
$$\mathfrak{m}(n{)}^{k+1}\subset \mathfrak{m}(n{)}^k\cdot \mathcal{E}(n+1)\subset \mathfrak{m}(n){⟨\frac{\partial F}{\partial x_l}⟩}_{y(n+1)}$$
11.6. Правые преобразования ( $r$-преобразования) и $r$-эквивалентность можно определить и для струй, т. е. для формальыых степенных рядов, а также для формальных степенных рядов по модулю $\hat{\mathfrak{m}}(n{)}^k$ (т. е. элементов из $\mathrm{R}[x_1,\dots ,x_n]/{⟨x_1,\dots ,x_n)}^k)$.
Положим
${\hat{\mathcal{B}}}_k(n)=$ группа $k$-струй ростков из $\mathcal{B}(n)=$
$=$ группа ростков $n$-строк миогочленов степени $k$ :
$$f(x)=(f_1(x_1,\dots ,x_n),\dots ,f_n(x_1,\dots ,x_n)),$$

причем матрица $Df(0)=(\partial f_l/\partial x_l(0))$ обратима и $f(0)=0$. Групповая операция индуцирована композицией отооражений.
Положим
$${\hat{\mathcal{E}}}_k(n,n)={\left(\mathrm{R}[x_1,\dots ,x_n]/{⟨x_1,\dots ,x_n)}^{k+1}\right)}^n.$$

Это евклидово пространство размерности $n\cdot \left(\begin{array}{c}n+k\\ k\end{array}\right)$. Поскольку ${\hat{\mathcal{f}}}_k(n)$ представляет собой подмножество в ${\hat{E}}_k(n,n)$, определенное условиями $\det (\partial f_l/\partial x_j(0))eq0$ и $f(0)=0$, то ${\hat{\mathcal{B}}}_k(n)$ — дифференцируемое многообразие.
Групповая операция в ${\hat{\mathcal{B}}}_k(n)$ :
$$\begin{array}{rl}{\hat{\mathcal{B}}}_k(n)\times {\hat{\mathcal{B}}}_k(n)& \to {\hat{\mathcal{B}}}_k(n),\\ (f(x),g(x))& \mapsto f(g(x))mod{(x_1,\dots ,x_n)}^{k+1}\end{array}$$

является дифференцируемым отображением. Коэффициенты композиции $f\circ g$ получаются при подстановке коэффициентов $f$ и \& в некоторые канонические многочлены. Отображение
$$\widehat{{\mathcal{R}}_k}(n)\to {\hat{\mathcal{B}}}_k(n),$$

определяемое формулой
$$f(x)\mapsto f^{-1}(x)mod{⟨x_1,\dots ,x_n⟩}^{k+1},$$

также дифференцируемо.
Дифференцируемое многообразие, на котором введена структура группы так, что групповые операции дифференцируемы, называется ерупnoй $Ju$.
11.7. Упражнвние. Докажите, что $\dim {\hat{\mathcal{E}}}_k(n,m)=$ $=m\cdot \sum _{i=0}^k\left(\begin{array}{c}n+i-k\\ i\end{array}\right)-m\left(\begin{array}{c}n+k\\ k\end{array}\right)$.

Группа Ли ${\hat{\mathcal{B}}}_k(n)$ денствует на ${\hat{\mathcal{E}}}_k(n,m)$ с помощъю композиции ${\hat{\mathcal{E}}}_k(n,m)\times {\hat{\mathcal{D}}}_k(n)\to {\hat{\mathcal{E}}}_k(n,m):(f,g)\to f\circ g$.

Это действие совместимо с композицией действия $\mathcal{A}(n)$ на $\mathcal{E}(n,m)$ и взятия струи, т. е. следующая диаграмма коммутативна:
$$\begin{array}{c}\mathcal{E}(n,m)\times \mathcal{B}(n)\to \mathcal{E}(n,m)\\ r^k\times {|}^k\downarrow \\ {\dot{E}}_k(n,m)\times {\overline{B}}_k(n)\to {\dot{\mathcal{E}}}_k(n,m)\end{array}$$

Классы правоэквнвалентиых отображений в $\mathcal{E}(n,m)$ — это орбиты действия $\mathcal{f}(n)$, а классы эквивалентности их $k$-струй — орбиты действия ${\hat{\mathcal{f}}}_k(n)$ на ${\hat{\mathcal{E}}}_k(n,m)$. Следовательно, если ростки $f,g\in \mathcal{E}(n)$ правоэквивалентны, то $f$ и $\hat{g}$ лежат в одной и той же орбите действия ${\hat{\mathcal{S}}}_k(n)$ на ${\hat{\mathcal{E}}}_k(n)$. Рассматривая эти конечномерные орбиты в хонечномерном евклидовом пространстве, мы получаем необходимое условие $r$-эквивалентности:
11.8. Лемма. Пусть $f\in \mathcal{O}(n)$ — росток с $k$-струей $f\in {\hat{\mathcal{B}}}_k(n)$. Обозначим через $\{{\hat{\mathcal{B}}}_k(n)$ орбиту $\{$ nри дейкасательное пространство к этой орбите в точке $\mathfrak{f}$, рассматриваемое как подпространство евклидова пространства ${\hat{\mathcal{E}}}_k(n)$. Тогда
$$T_1\{{\hat{A}}_k(n)=\mathfrak{m}(n)⟨\frac{\partial f}{\partial x_1},\dots ,\frac{\partial f}{\partial x_n}⟩mod\mathfrak{m}(n{)}^{k+1}.$$

Доказательство. Рассмотрим росток $\overline{\delta }:({\mathbb{R}}^{n+1},0)\to$ $\to ({\mathbb{R}}^n,0),(x,t)\mapsto \delta (x,t)={\delta }_t(x)$, где ${\tilde{\delta }}_0=$ id: $({\mathbb{R}}^n,0)\to$ $\to ({\mathbf{R}}^n,0)$.

Это росток диф ференцируемого однопараметрического семейства преобразований из $\mathcal{O}(n)$, имеющего тождественный росток при нулевом значении параметра. Такой росток индуцирует росток пути $(\mathbf{R},0)\to$ $\to ({\hat{\delta }}_k(n),\hat{f}),t\mapsto \hat{\delta }{\hat{\delta }}_t$. \&Векторы скорости таких путей в. момент времени 0 образуют касательное пространство $T_f\{{\hat{P}}_k(n)$. Если мы запишем $\delta (t,x)$ в виде $x+\epsilon (t,x)$, то на росток $\tilde{\epsilon }\in \mathcal{E}(n+1,n)$ налагаются только ограничения в $(0,x)=0$, в $(t,0)=0$. Таким образом, следующие векторы, приведенные по модулю $\mathfrak{m}(n{)}^{k+1}$, исчерпывают все касательные векторы:
$${\frac{\partial }{\partial t}(f(x+\epsilon (t,x)))|}_{t=0}={\sum _{i=1}^n\frac{\partial f}{\partial x_i}\cdot \frac{\partial e_i}{\partial t}|}_{t=0}.$$

Поскольку на е нет других ограничений, кроме указанных выше, производная $\partial e_i/\partial t_{t-0}$ может быть любым элементом из $m(n)$. Это означает, что касательное пространство есть $\mathfrak{m}(n)⟨\partial f/\partial x_l⟩mod\mathfrak{m}(n{)}^{k+1}$

Мы уже отметили выше, что достаточность ростка на самом деле есть свойство его струи, и теперь поясним это более подробно. По аналогии с 11.3 $r$-струя $f\in {\hat{\mathcal{E}}}_r(n)$ называется $k$-определеніой (для некоторого $k⩽r$ ), если для любого $\hat{g}\in {\hat{\mathcal{E}}}_r(n)$, удовлетворяющего условию ${\pi }_k^r\hat{f}={\pi }_k^r\hat{g}\in {\hat{\mathcal{E}}}_k(n)$, существует элемент $\hat{h}\in {\hat{\mathcal{B}}}_r(n)$, такой, что $\hat{f}=\hat{g}\circ \hat{h}$.
11.9. Следствив (теоремы Мезера 11.3). Если $f\in \mathcal{E}(n)$ и струя $j^{k+1}(f)k$-определена, то росток $f$-определен.
Доказательство. Положим
$$U=\{\hat{g}\in {\hat{\mathcal{E}}}_{k+1}(n)\mid {\pi }_k^{k+1}\hat{g}=j^k\hat{f}\}.$$

Обозначим через $V=j^{k+1}(f){\hat{\mathcal{B}}}_{k+1}(n)$ орбиту струи $j^{k+1}(f)$ под действием правых преобразований.

Если струя $j^{k+1}(f)k$-определена, то множество $(k+1)$-струй с той же $k$-струей, что и у $f$, содержится в орбите струи $j^{k+1}(f)$, т. е. $U\subset V$. Следовательно, $T_{f}U\subset T_{f}V$. Однако $T_{f}U={\mathrm{m}}^{k+1}(n)mod{m}^{k+2}(n)$, поскольку зсякая струя $g\in U$ отличается от $j^{k+1}(f)$ только в членах порядка $k+1$. По лемме 11.8, $\mathfrak{m}(n{)}^{k+1}\subset \mathfrak{m}(n)⟨\partial f/\partial x_i⟩mod\mathfrak{m}(n{)}^{k+2}$, значит, nо теореме Мезера, росток $f(k+1)$-определен. Но струя $j^{k+1}(f)$ $k$-определена, поэтому росток $f$ также $k$-определен.

Это доказательство можно обобщить и получить такой результат.
11.10. Следствие.
$$\begin{array}{rl}\mathrm{m}(n{)}^k\subset \mathfrak{m}(n)⟨\partial f/\partial x_t⟩& \Rightarrow \text{ росток }f\text{-определен }\Rightarrow \\ & \Rightarrow \mathrm{m}(n{)}^{k+1}\subset \mathfrak{m}(n)⟨\partial f/\partial x_l⟩\cdot \end{array}$$

В частности, росток $\tilde{f}\in \mathcal{E}(n)$ является конечно определенным в том-и только в том случае, когда росток. $Df:({\mathbf{R}}^n,0)\to {\mathbf{R}}^n$ конечен.

Доказательство. Первая импликация следует из теоремы Мезера. Если росток $\overrightarrow{f}k$-определен, то струя $j^{k+i}(f)k$-определена и из доказательства первого следствия получаем, что
$$\mathrm{m}(n{)}^{k+1}\subset \mathfrak{m}(n)⟨\frac{\partial f}{\partial x_i}⟩+\mathfrak{m}(n{)}^{k+2}.$$

Отсюда, по лемме Накаямы, $\mathfrak{m}(n{)}^{k+1}\subset \mathfrak{m}(n)⟨\partial f/\partial x_l⟩$ (см. второе замечанне после 11.3).

Наконец, в 11.4 и предшествовавших замечаниях мы видели, что условие $\mathrm{m}(n{)}^k\subset \mathfrak{m}(n)⟨\partial f/\partial x_i⟩$ эквивалентно конечности ростка $Df$.

Утверждение о том, что конечная определенность ростка $f$ равносильна конечности $Df$, — это теорема, принадлежащая $T$ ужроку. Из предыдущего вытекает, что верно более точное утверждение:

Eсли $\dim \mathcal{E}(n)/⟨\partial /\partial x_i⟩=k$, ro pocтoк $f(k+1)$-onределен.
11.11. Определение. Росток $\tilde{f}\in \mathcal{E}(n)$, удовлетворяющий условию $\tilde{f}(0)=D\tilde{f}(0)=0$, называется особым ростком, или просто особенностью. Особенность называется изолированиой, если росток множества $\mathrm{\Sigma }(\tilde{f})=$ $=\{x\in {\mathbf{R}}^n\mid f(x)=Df(x)=0\}$ совпадает с ростком множества $\{0{\}}^{\sim }$. Oсобенность $f$ называется алеебранчески изомированной, если росток $Df$ конечен (т. е. росток $f$ конечно определен).
11.12. Злмечанив. Алеебрацчески изолированная особекность изолирована, но существуют ияолировакмье особенности, не являючиепя алгебраически иэолированными.

Докаяательство. Если $\mathrm{m}(n{)}^k\subset {⟨\partial f/\partial x_i⟩}_{g(n)}$ и, в част* ности, $x_j^k\in {⟨\partial f/\partial x_i⟩}_{\varnothing (n)}$ для всех $j$, то из равенства $Df(x)=0$ следует, что $x_j^k=0$, откуда $x_l=0$. Следовательно, алгебраически изолированная особенность изолирована.

С другой стороны, $\exp (-1/x^2)$ — это пример изолированной особенности с нулевой струей. Следовательно, эта особенность алгебраически не изолирована.
Вот еще один интересный пример.
11.13. УпражнєниЕ. Покажите, что особенность ${(x^2+y^2)}^2\in \mathcal{E}(2)$ изолирована, но алгебраичесхи не изолирована.
11.14. Замечание. Росток ${(x^2+y^2)}^2$ не является конечно определенным, но он определен своей бесконечной струей. Это верно для всякого вещественно аналитического ростка с изолированной в вещественном смысле особеннос тью. Такие ростки, кроме того, конечно определены относительно группы преобразо. ваний класса $C^k$ для любого фиксированного $k<\mathrm{\infty }$. Это утверждение вытекает из неравенства Лоясевича (см. Мальгранж, Идеалы дифференцируемых функцнй, стр. 73) и работы: Takens F., A note on suffciency of Jets, Invent. Math., 13 (1971), 225-231.

Как это часто бывает, в комплексном случае вся ситуация становится более приемлемой. Введем обозначения:
$\mathcal{A}(n)$ — кольцо вещественно аналитических рост. ков $(R^n,0)\to R$;
$O(n)$ — кольцо комплексно аналитических ростков $({\mathrm{C}}^n,0)\to \mathbf{C}$.
Имеются канонические вложения $\mathcal{A}(n)\subset \mathcal{E}(n)$ и of $(n)\subset O(n)$.
11.15. Лемма. Пусть, $f\in \mathcal{A}(n)$. Тогда
$${\dim }_R\mathcal{E}(n)/{⟨\partial f/\partial x_i⟩}_{\delta (n)}<\mathrm{\infty }$$

в том и только том случае, когда
$$\dim O(n)/{⟨\partial f/\partial z_i⟩}_{O(n)}<\mathrm{\infty }.$$

Доказательство. Обозначим максимальные идеалы в $\mathcal{A}(n)$ и $O(n)$ через ${\mathfrak{m}}_{\mathcal{A}}(n)$ и ${\mathfrak{m}}_{\mathcal{O}}(n)$.
$\Rightarrow$. Из $\mathfrak{m}(n{)}^k\subset {⟨\frac{\partial f}{\partial x_1}⟩}_{8(n)}$ следует включение $\mathfrak{m}(n{)}^k\subset$ $c{⟨\frac{\partial f}{\partial x_i}⟩}_{\mathrm{g}(n)}+\mathfrak{m}(n{)}^{k+1}$. Кроме того,
$$m_A(n{)}^k\subset {⟨\frac{\partial f}{\partial x_i}⟩}_{A(n)}+m_{\mathcal{A}}(n{)}^{k+1}.$$

Действительно, моном $\phi \in {\mathfrak{m}}_{\mathcal{A}}(n{)}^k$ степени $k$ может быть записан в виде
$$\phi (x)=\sum {\lambda }_t(x)\frac{\partial f}{\partial x_i}(x)mod\mathfrak{m}(n{)}^{k+1}.$$

Заиеннм каждое ${\lambda }_{\text{, его }}^{\text{е }}$ многочленом Тейлора порядка $k$. Остаток лежит в $\mathfrak{m}(n{)}^{k+1}$ и аналитичен, следовательно, выролняется (*).
По лемме Накаямы,
$$m_M(n{)}^k\subset {⟨\frac{\partial f}{\partial x_i}⟩}_{A(n)}.$$

В частности, всякий моном $\phi$ степени $k$ принадлежит идемлу ${⟨\partial \mid \partial x_i⟩}_{\alpha (n)}$, а этот идеал содержится в ${⟨\partial f/\partial x_i⟩}_o(n)$ Но такие мономы порождают $m_O(n{)}^k$, мначнт,
$${\mathfrak{m}}_0(n{)}^n\subset {⟨\frac{\partial f}{\partial z_t}⟩}_{O(n)}.$$
«. Пронэводные $\partial f/\partial z_i(z)$ принимакот- вещественные зиачевия ири вещественных $z$. Это означает, что, взяв вещественные части в $m_0(n{)}^k\subset {⟨\partial f/\partial z_1⟩}_{O(n)}$, мы
$$m_A(n{)}^k\in {⟨\frac{\partial t}{\partial k_1}⟩}_{z(n)}$$

Эта лемма показывает, что если росток $f$ вещественно аналитичен и комплексный росток $f\in Q(n)$ алгебраически изолирован, то $\tilde{f}$ алгебраически изолирован как вещественный росток.
11.16. Теорема. Комплексно аналитическая особенность алгебраически изолирована в том и только том случае, когда она изолирована.

Доказательство. Пусть росток $\tilde{f}\in \mathcal{O}(n)$ алгебраически изолирован; тогда ${\mathfrak{m}}_O(n{)}^k\subset ⟨\partial f/\partial z_i⟩$. В частности, $z_i^k\in ⟨\partial f\mid \partial z_i⟩$, поэтому
$$\mathrm{\Sigma }(\tilde{f})\subset \{z\mid Df(z)=0{\}}^{\sim }\subset {\{z{z}_l^k=0\}}^{\sim }=\{0{\}}^{\sim }.$$

Обратно, предположим, что $\{0{\}}^2=(\mathrm{\Sigma }(f){)}^2$. Тогда $\{0{\}}^{\sim }=\{z\mid Df(z)=0{\}}^2$, поскольку в противном случае нашлась бы содержащаяся в $\{z\mid Df(z)=0\}$ вещественно аналитическая кривая $\phi (t)$, такая, что $\phi (0)=0$ (см. лемму об отборе кривых в книге Милнора). Вдоль этой кривой мы имели бы $Df=0$ и, следовательно, $f=0$, поскольку $f(0)=0$. Но это означало бы, что кривая $\phi (t)$ лежит в $\mathrm{\Sigma }(f)$, т. е. начало координат неизолированная особенность.

Росток множества нулей идеала $⟨\partial f/\partial z_i⟩$ состоит только из начала координат. Идеал всех ростков, обращающихся в нуль в начале координат, — зто идеал $⟨z_i⟩$. Теорема о нулях для голоморфных ростков (см. Ганнинг и Росси) утверждает, что в таком случае второй идеал является радикалом первого. Радикал это множество таких ростков $\tilde{g}$, некоторая степень которых лежит в $⟨\partial f/\partial z_i⟩$. Следовательно, ${\left(z_l\right)}^{k_j}\in$ $\in ⟨\partial f/\partial z_l⟩$, и отсюда вытекает, что ${\mathfrak{m}}_o(n{)}^k\subset ⟨\partial f/\partial z_i⟩$ для достаточно большого $k$.

Вот одно из следствий предыдущих теорем: голоморфный росток с изолированной особенностью в начале координат всегда можно преобразовать в полиномиальньй росток с помощью голоморфной замены координат. Это вытекает из того, что для аналитических ростков все описанные выше преобразования могут быть выбраны аналитическими.

Вопрос о том, является ли росток $f\in \mathcal{E}(n,m)$ конечно определенным при $m>1$, можно решать точно таким же образом, как и при $m=1$. Однако при $m>1$ росток конечно определен в том и только том случае, когда он имеет ранг $m$. Поэтому в общем случае мы поступим более разумно, если разрешим делать преобразования образа, т. е. ${\mathbf{R}}^m$, и будем изучать орбиты действия группы $\mathcal{B}(n)\dot{X}\mathcal{B}(m)$ на $\mathcal{E}(n,m)$. В этом случае тоже имеются явные условия конечной определенности, которые формулируются в терминах вложения конечномерных векторных пространств. Эти условия анологичны тем, которые приводились выше, и мы не будем их больше обсуждать в этой книге. Метод доказательства тот же, что представленный выше для теоремы Мезера. Однако в том месте, где мы воспользовались леммой Накаямы, приходится применять подготовительную теорему Мальгранжа